初一数学春季讲义 第1讲-平面直角坐标系 教师版

这是一份初一数学春季讲义 第1讲-平面直角坐标系 教师版，共12页。教案主要包含了信念的三个层次等内容，欢迎下载使用。
                卡帅奇梦记  编写思路：    一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。    二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。    三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。   定    义示例剖析有序数对：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．  与是两个不同的有序数对.平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．  点的坐标：如右图，由点分别向轴和轴作垂线，垂足在轴上的坐标是，垂足在轴上的坐标是，则点的坐标为．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来． 象限和轴：横轴（轴）上的点的坐标满足：；纵轴（轴）上的点的坐标满足：； 第一象限内的点的坐标满足：；第二象限内的点的坐标满足：；第三象限内的点的坐标满足：；第四象限内的点的坐标满足：；点都在轴上；点都在轴上．易错点1：当时，和是两个不同的有序实数对．易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．  【引例】已知、、为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出、、三点；⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点，并写出它的坐标；⑶ 描点后并进一步判断点、、、分别在哪一象限？⑷ 观察、两点，它们的坐标有何特点？与呢？与呢？ 【解析】       ⑴ 如右图所示；⑵ ；⑶ ：第二象限；：第三象限；：第四象限；：第一象限⑷ 、坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于轴对称．、坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于轴对称．、坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称． 【例1】         ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”所在位置的坐标为           ．⑵ 由坐标平面内的三点构成的是（    ）A．钝角三角形  B．直角三角形  C．锐角三角形  D．等腰直角三角形 ⑶ 若规定向北方向为轴正方向，向东方向为轴正方向，小明家的坐标为，小丽家   的坐标为，则小明家在小丽家的（     ） A．东南方向      B．东北方向     C．西南方向     D．西北方向 ⑷ 已知点在轴上，则点的坐标为        ．                                                                    ⑸ 方格纸上两点，若以点为原点，建立平面直角坐标系，则点坐标为，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点坐标为（    ）A．     B．      C．       D． 【解析】       ⑴； ⑵B； ⑶ B； ⑷ ；⑸ A． 【例2】         ⑴ 如果点在第四象限，那么的取值范围是（    ）A．      B．      C．       D．                                                              （人大附中期中）⑵ 已知点在第三象限，且它的坐标都是整数，则（    ）A．1             B．2             C．3            D．0                                                            （一五六中学期中）⑶ 已知点在第一象限，点在第四象限，若都为整数，则         ．                                                                 （人大附中期中）⑷ 已知点，若点在轴上，则点的坐标为              ；若点在第二象限，并且为整数，则点坐标为               ．                                                                  （四中期中）⑸ 如果点在第二象限，则点在（    ）A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限      D．第四象限 ⑹ 设在第三象限，则：①     在第     象限；②     在第     象限；③     在第     象限. 【解析】       ⑴D； ⑵ B； ⑶ 7或8； ⑷ ，； ⑸A；⑹由题意知，答案依次为：一；三；一. 【例3】         ⑴ 对任意实数，点一定不在（    ）A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限 ⑵ 点，当变化时，点不可能在第（     ）象限．A．一           B．二           C．三           D．四                                                               （四中期中）⑶ 证明：①点不在第三、四象限；②点不在第四象限．【解析】       ⑴ C；⑵ D；⑶ ①∵，∴点不在第三、四象限；② 若，不等式组无解，∴点不在第四象限.【点评】       “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．【变式】平面直角坐标系内，点一定不在（　　）A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限      D．第四象限【解析】       C 【点评】       本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．     定    义示例剖析 平行于坐标轴的直线： 与横轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）；与纵轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）. 直线平行于轴；直线平行于轴． 角平分线： 一、三象限角平分线：点表示法，，为任意实数，且；二、四象限角平分线：点表示法，，为任意实数，且. 注：1平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；2平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．  【引例】已知是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点的具体位置：⑴ 若，则点在               ； ⑵ 若，则点在               ； ⑶ 若，则点在               ；⑷ 若，则点在            ； ⑸ 若，则点在                 ； ⑹ 若，则点在              ． 【解析】       ⑴ 第一或三象限；⑵ 第二或四象限；⑶ 坐标轴上；⑷ 原点；⑸ 一、三象限角平分线上；⑹ 二、四象限角平分线上.  【例4】         ⑴ 已知点在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点的坐标为                   ．⑵已知点在坐标轴夹角平分线上，则点的坐标为                     ． ⑶ 已知点在第二、四象限的角平分线上，求的值．【解析】       ⑴；⑵或；⑶. 【例5】         ⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位置关系是      ．                                                                     （八十中学期中试题）⑵ 在下列四点中，与点的连线平行于轴的是（    ）A．        B．    C．     D．                                                             （人大附中期中试题）⑶ 过点且与轴平行的直线是        ，与轴平行的直线是         ．⑷ 已知：点，试分别根据下列条件，直接写出点的坐标.①点在轴上：           ②点在轴上：            ③点的纵坐标比横坐标大：           ④点在过点且与轴平行的直线上：             (2011年北京四中期中考试题) 【解析】            ⑴平行；所在的直线与轴平行，则这两点纵坐标相同，横坐标不同．⑵D．两点所在的直线与轴平行，则这两点横坐标相同，纵坐标不同．⑶．⑷①；②；③；④.     1. 点到轴的距离点到到轴的距离是，到轴的距离是.2. 点到水平直线、竖直直线的距离点到直线（为常数）的距离为，注：当时，就是点到横轴（轴）的距离为；点到直线（为常数）的距离为，注：当时，就是点到纵轴（轴）的距离为． 3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离  在直线上，点，则；在直线上， 点，则. 【引例】⑴点到横轴的距离为       ，到纵轴的距离为        ．⑵点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是      ．【解析】                ⑴，；⑵. 【例6】         ⑴ 点到轴的距离为，到轴的距离为，该点坐标为                          ．⑵ 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则的值为（     ）A．5             B．          C．5或          D．或1                                                              （人大附中期中）⑶ 若轴上的点P到轴的距离为3，则点P的坐标为（    ）．A．                     B．或 C．                      D．或                                                                    （西外期中）⑷ 点到直线的距离为      ，到直线的距离为      ．⑸ 点到直线的距离为，求的坐标．⑹ 已知点①若轴，则          ；       ②若轴，则          ；        【解析】       ⑴（，）、（，）、（，）、（，）；⑵ C；    ⑶ B；    ⑷ ，；⑸ ，∴，∴点的坐标为（，）或（，）．⑹① ；② 针对第（5）题对点到特殊直线、坐标轴和特殊点的距离问题进行变式. 【变式1】点到直线的距离为，求的坐标．【解析】       ，即，解得∴点的坐标为（，）或（1，1） 【变式2】点到坐标轴的距离为3，求的坐标．【解析】       分类讨论：点到x轴：，解得，点到y轴：，解得综上，点的坐标为（9，-3）或（-3,3）或（3,0）.【变式3】点到点的距离为3，求的坐标．【解析】       观察可得这两个点的纵坐标相同，可得解得或故点的坐标为或.注：本题也可变为点到点的距离为3，求的坐标．由题意得，解得或. 故点的坐标为或.【点评】例6（5）和变式1是为了让学生区分点到平行于x轴、y轴的公式计算方法，而变式2是一道典型的需要分类讨论的问题，学生需要考虑全面. 【例7】         已知：实数满足，且以关于的方程组的解为坐标的点在第二象限，求实数的取值范围．                                                       （2013首师大附中中学期中）【解析】       解得 ，代入方程组解得，由题意得，解得   题型一  平面直角坐标系的基本概念  巩固练习【练习1】   ⑴ 点（，）在第一象限，则的取值范围是            ．⑵ 在直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是          ．⑶ 点在（     ）A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限   D．第四象限【解析】         ⑴ ；⑵ ；⑶ B． 【练习2】   ⑴ 已知，则的坐标为         ，在第      象限内．⑵ 若，满足，则在第     象限．⑶ 如果点在第二象限，那么点在第      象限．⑷ 已知点在第二象限，则点在（    ）A．第一象限       B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限【解析】         ⑴ ，在第四象限；⑵ 二；⑶ 三；⑷ D． 题型二  坐标平面内的特殊直线  巩固练习【练习3】   ⑴ 若点在第二象限的角平分线上，则          ．⑵ 点在第三象限的角平分线上，则　　　　；⑶ 若点在第一、三象限的角平分线上，且点到轴的距离为2，则点的坐标是(    )A．    B．    C．或   D．或 【解析】         ⑴ ； ⑵ ；⑶ C． 【练习4】   ⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位置关系        是      ．⑵ 已知：，点在轴上，且．则点的坐标为       ．⑶ 已知：点坐标为，过作轴，则点纵坐标为（    ）A．2     B．     C．     D．无法确定⑷ 线段的长度为3且平行于轴，已知点坐标为，则点的坐标为       .   【解析】       ⑴ 垂直；⑵ ；⑶  B；⑷  题型三  点到线的距离  巩固练习 【练习5】   ⑴ 点到轴距离为          ，到轴距离为          ．⑵ 点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是（  ）A．   B．   C．   D．                                                                         （北京27中期中）⑶ 若点到轴的距离是2，到轴的距离是3，则这样的点有（    ）A．1个     B．4个     C．3个     D．2个⑷ 已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是         ．⑸ 点到直线的距离为        ，到直线的距离为       .【解析】         ⑴ 4，5；⑵ C；⑶ B；⑷ 或；⑸ 1，5．