初一数学春季讲义 第3讲-实数的化简与应用 教师版

这是一份初一数学春季讲义 第3讲-实数的化简与应用 教师版，共10页。教案主要包含了实数的化简，重点讲解并练习.等内容，欢迎下载使用。
                 想歪了的计算  编写思路：一、简单的实数计算，重点在于开平方和开立方，然后再进行加减混合运算.      二、实数的化简，重点讲解并练习.      三、实数的应用，是一道综合实数与直角坐标系的题.  建议教师对寒假知识进行回顾：平方根、算术平方根、立方根及实数概念.在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的  【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（    ）A、无理数        B、有理数        C、          D、实数 ⑵ 计算：①                      ②③      ④ ⑤【解析】       ⑴ D; ⑵ ①;②0; ③ ;④;⑤. 【例2】 计算：①              ② ③         ④ 【解析】       ①;②；③；④  化简常用式子：⑴  ⑵ ⑶ ； ；  【例3】 ⑴ 当时，化简               .⑵化简：         ；         .⑶ 计算：⑷ 若，则.⑸ 计算： 【解析】       ⑴ ;    ⑵ ;；⑶ ;    ⑷ ；    ⑸ .  【例4】 ⑴ 化简：当时，      ，当时，       ，当时，        .⑵ 当时，化简． ⑶ 已知，则应满足（     ）A、        B、       C、        D、且⑷ 化简⑸若且，则整数的个数是（    ）A、1个   B、2个    C、3个    D、4个 【解析】       ⑴,,;⑵;⑶ B;⑷ ;⑸ D; 【例5】 ⑴ 实数在数轴上的对应点的位置如图所示：        化简  ⑵ 已知实数、在数轴上表示的点如图所示，试化简下列各式：①；②⑶ 已知数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为________  【解析】       ⑴  1；  ⑵， ；⑶   0.【例6】 比较下列各值的大小：①和；② 和；  ③和；④和； ⑤和； ⑥和. 【解析】       ①（应用不等式性质）;②（平方法与立方法）；③(作差法)；④（隐含条件法）；⑤（估算法或作商法、作差法）；⑥（放缩法）  直角三角形中，两直角边分别为，斜边为，则满足.此结论叫做勾股定理.如右图：在直角中，两条直角边分别为，则，所以.    【例7】 如下左图：在平面直角坐标系中，点，做轴于，连接，则， 则根据勾股定理：.以为圆心、为半径画圆，与轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点 .         【解析】       如图1，取点，则,以为圆心，为半径画圆交轴于、两点，则点即为所求. 同理，图2中的点即为所求.                                         图1                             图2   【教师选讲】【研究对象】学生在见到这种类型题时无从下手，所以总结比较大小的方法.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法.【探究方式】不同题型采取不同的方法作为一个比较大小方法的总结. 1、（课本练习）比较下列各组数的大小①；②分析：①；②. 【方法一】平方法或立方法：如果，，若，那么；若，那么. 2、（课本练习）比较下列各组数的大小①；②分析：①因为所以.又因为，所以.（本题用方法一也可解）②【方法二】取近似值法（估算法）：在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值.不过取近似值时，要使它们的精确度相同.再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小.如果没有计算器，则可用估算法.先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较. 3、（课本练习）比较下列各组数的大小①分析：，∴（本题用方法二也可解）【方法三】作差法：设、为任意两个实数，先求出与的差.当时，得到；当时，得到；当时，得到. 以下为其他方法，供老师作为参考选讲【方法四】比较被开方数法：当，时，如果，那么，.比较各值大小①和；②和分析：①；②【方法五】作商法：设、为任意两个正实数，先求出与的商.当时，；当时，；当时，.比较各值大小:分析：因为，所以. 【方法六】根式定义法：该法适用于二次根式和三次根式的大小比较.比较的大小。分析：根据平方根的定义可知,∴。所以，故.而，所以. 【方法七】特殊值法：在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案.          已知、为整数，且，比较的大小          分析：令，，则，，，∵，∴ 【方法八】放缩法（中间值法）：如果，，那么.若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法.比较各值大小:和 分析：因为，，所以，。所以，即。 【方法九】倒数法：设、为任意两个正实数，先分别求出与的倒数、，再根据当时，，来比较与的大小.①和②设，则、、的大小关系是（    ）A、    B、   C、    D、分析：①②当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法.首先，，，.因为，所以，则.又因为，所以，则.由此可得：.故选A. 【方法十】法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小.已知、是实数，且，，试比较与的大小.分析：因为,，则.又，则，所以，为负数.而，，所以，为正数.所以. 【方法十一】添加根号法：若，则.比较的大小.分析：因为，又因为，于是，即.【方法十二】分子有理化法：比较与的大小.分析：，因为，故，所以.           题型一  实数的计算  巩固练习【练习1】   计算：⑴     ⑵    ⑶【解析】       ⑴ ⑵ ；⑶ .【练习2】   计算：⑴        ⑵【解析】       ⑴；⑵. 题型二  实数的化简  巩固练习【练习3】   ⑴已知为实数，那么等于（    ）A.           B．             C．           D．⑵若，则化简的结果是__________.【解析】       ⑴D;  ⑵原式=.【练习4】   计算：⑴               ⑵ 【解析】       ⑴ ;⑵. 【练习5】   数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简．【解析】        题型三  实数应用  巩固练习  【练习6】   作图：在数轴上做出这四个点.  【解析】       先做出以1为边长的正方形，连接对角线【说明】证明边长为1的正方形对角线长为，不应用勾股定理的解法：由面积法：∵，∴