初一数学春季讲义 第8讲-方程与不等式 教师版

   怎么就不一样？

编写思路：

  对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。

本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.

对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.

【引例】       已知，其中，⑴ 求的取值范围；⑵ 求的取值范围.

【解析】       ⑴ 解方程组得，

∵ ，∴ ，∴ ，即，

同理可得.

⑵ ,

可得，即.

【点评】此题是已知参数的范围，确定解的范围.

【例1】         1. 直接求未知数法：

⑴ 已知方程组，为何值时，？

⑵取什么值时，关于、的二元一次方程组得到的的值

① 都小于1；② 都不小于1

2．   整体法：

⑶已知，则的取值范围是          .

⑷ 已知关于、的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围是           .

⑸ 若方程组的解为、，且，求的取值范围.

   3.与绝对值非负性综合：

⑹ 已知，且，则的取值范围是          .

⑺ 如果是关于x、y的方程的解，

求不等式组的解集.

【解析】 ⑴ 解方程组得，∵，∴，∴.

⑵ 解方程组得，

① ，解得；② ，解得.

⑶ 观察方程组，不必分别求出的值，只须即可得到，即，解得.

⑷ 两个方程相加即可得.

⑸ 两个方程相减，得：.

⑹ .

⑺ 由非负性性质可以求得，，则原不等式组的解集为.

【例2】         ⑴已知方程组的解为正数. 化简.

⑵已知关于x，y的方程组：的解满足，化简：.

【解析】 ⑴ 解方程组得，∵，∴，解得.

 ∵，∴，∴.

⑵.

当时，;

当时，.

【点评】根据解的情况确定参数的范围，从而化简绝对值.

 求解不等式中的参数，通常根据不等式的基本性质来判断并确定含参数的式子的取值范围．如例3. 有的根据不等式的解集列出方程（组），从而求解，确定不等式中参数的值.如例4

   确定不等式（组）中参数的取值范围，常用的方法有：

    ⑴逆用不等式（组）解集确定；⑵分类讨论确定；⑶借助数轴确定.

【例3】         ⑴ 若的解集为，求的解集.

⑵ 已知，为常数，若的解集是，求不等式的解集．

⑶已知关于的不等式的解集是，试求的解集

【解析】       ⑴由于不等号方向改变，故，且，得，符合题意．

将代入不等式得，，解得.

⑵解得，由于解集为，不等号方向改变，故且，

得；解得，因为，所以解集为.

⑶由题可知，，解得，解得，即

【点评】由已知解集确定参数的正负情况，从而解出新的不等式.

【例4】         ⑴关于的不等式组的解集是，则       ．

⑵若不等式组的解集是，则        ．

⑶不等式组的解集是 5<x<22, 求a·b=        .

⑷若关于的不等式组的解集是，求不等式的解集.

【解析】 ⑴ .由题意得，解得.

⑵ ．由题意，得：.

当，时，

⑶由题意，得：，

∴       所以.

⑷解不等式组得，依题意得，解得，代入不等式中      

得，解得.

【例5】         已知方程的解是不等式的最小整数解，求参数的取值范围．

【解析】       解方程得，，

解不等式 得，

即是不等式的最小整数解，

故可得，

解得.

【拓展】若关于的不等式的解都是不等式的解，求的取值范围．

【解析】       化简得，

的解集为，

由题意可得

，

解得.

【点评】若不等式A的解都是不等式B的解，则A的解集都在B的解集里.

【拓展】若满足不等式的必满足，求的取值范围.

【解析】       原不等式可化为

当时，则，由题意得

解得

        当时，则不等式无解.

当时，则，由题意得

，无解.

        综上得.

      有的不等关系隐藏在题目条件中需要细心发现，当题目中参数较多时，可选出其中一个为已知并且用它来表示其他的参数，如例7

【例6】         已知关于、的方程组和方程组的解相同，求关于的不等式  的解集.

【解析】       重组方程组得，解得，代入另外两个方程得，解得， 

代入不等式得，解得.

【例7】         已知a,b,c是三个非负数，并且满足,设,

记的最大值为，最小值为，求.

【解析】       由题意，得：.

又因为 .

得

所以.

【变式】已知实数、、满足，，则的最大值为      ，最小值为        .

【解析】       由，解得

.

因为，所以

解得

因此的最小值为，最大值为3.

【例8】若a,b满足，求的最值.

                                                      (2012年北京十二中期末考试)

【解析】       由题意，得 ,

又∵ ，∴.

解得

所以s的最大值为，最小值为.

【点评】例8把看作已知量，并且用它来表示和，根据非负性即可得到的取值范围，从而得到最值.

训练1.     解方程组得到的、的值，

⑴ 如果满足，求；

⑵ 如果、的值都不小于，求的范围；

⑶ 如果，求、的范围

【解析】       ⑴ 解方程组得，∵，∴，解得；

⑵ ．依题意得，解得；

⑶ ，．∵，代入方程组的解得，.

训练2.     已知、为常数，若不等式的解集是，求不等式

的解集

【解析】       ∵的解集是，∴，

将其代入得，化简得，

解得.

训练3.     已知方程组与方程的解相同，求解不等式．

【解析】       解得，将代入

得，解得，

将代入得.

解得.

训练4.     已知、、是三个非负有理数，且满足，，又，的

最大值为，的最小值为，求（为整数）的值

（清华附中期末）

【解析】       解方程组（将看作参数）,解得，

因为，所以    解得，

将代入得，，所以

∴，∴

当为偶数时，；

当为奇数时，.

题型一  方程根的取值范围 巩固练习

【练习1】   已知方程组的解满足，求m的取值范围.

【解析】       .

【练习2】   案式的基本模型111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111已知且，则的取值范围为      ．

【解析】       用方程组中第1个方程减去第2个方程，得，因为，

所以，解得．

题型二  求不等式中的参数 巩固练习

【练习3】   若不等式的解集为，则不等式的解集为

                      .

【解析】       由已知不等式的解集可得，且，于是，代入所求不等式，

解得.

【练习4】   ⑴ 若不等式组 的解集为,求的值.

⑵ 若不等式组的解集为，那么的值为      

【解析】       ⑴由题意，， ∴

当 ， .

⑵ 8.

题型三  方程（组）与不等式综合应用 巩固练习

【练习5】   已知非负数x,y,z满足，若，求的最值.

【解析】       由题意，得：

又因为 ，

所以的最大值为3，最小值为2.