初一数学春季讲义 第10讲-三角形两大模型 教师版

这是一份初一数学春季讲义 第10讲-三角形两大模型 教师版，共14页。教案主要包含了探究对象，探究目的，教师备选等内容，欢迎下载使用。
             营救小美       “飞镖”模型      “8”字模型      注：老师可视学生情况适当复习三角形内外角和以及三角形三边关系，建议先讲学案上的练习题.   【引例】       如图，，，，试求的角度．                                                             （二分期中）【分析】 本题要求的度数，由于图中没有出现三角形，故不能直接应用三角形内角和定理或外角性质解题．需在原有图形上添加辅助线，构造出三角形．            【解析】       法一：延长交于．∵是的一个外角，∴．又是的一个外角，∴．法二：连接并延长至，∵是的一个外角，是的一个外角∴∴法三：连接，∵∴又∵∴  此题有众多求解方法这里只给出比较重要的三种方法.  【例1】    ⑴如图1，则=        . ⑵如图2，则        ．                        图1                  图2 【解析】       ⑴本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用.①如图1，连接，应用“8字模型”，.② 如图2，应用飞镖模型∵∵∴③如图3，应用外角定理∵又∵∴ ⑵210° 利用两次飞镖模型. 【例2】    ⑴如图1，求=         .⑵如图2，求        ．  图1                                         图2【分析】 本题既可以利用“8字模型”；也可以利用三角形内外角和定理. 【解析】       法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6      ①         ∠C+∠D=∠4+∠6     ②                 ∠E+∠F=∠4+∠5     ③                 ①+②+③=2（∠4+∠5+∠6）   ∵．    ∴． 法二：∵，     ①，   ②．   ③而，，，且．  ④∴①+②+③④得，法三：连接，∴ ⑵.连接利用两次飞镖模型. 【例3】    已知：如图,，，分别平分和．⑴ 求的大小；⑵ 当,为任意角时，探索与,间的数量关系，   并对你的结论加以证明．                                       （西城测试） 【分析】 观察图形，找已知角与所求角之间的关系，发现、在两个不同的三角形，用三角形内外角的关系把、与联系起来，即可求出，并探索出三角关系．【解析】 ⑴ 根据三角形内角和定理，在和中，，，      ∴ ① 同理 ②∵，，∴①+②得，即⑵ 当、为任意角时，，证明：根据三角形外角性质，可得：，，∴∴又∵、分别平分、∴，∴∴，即.【点评】       本题是河南省竞赛题，上海市竞赛题的变式，考查三角形内外角性质的综合应用，也有方程思想的运用，书写过程涉及等式较多，学生常感到困难．可让学生先在草稿上写出所得结论，再分析等量关系，连接起来，最后写出过程．  【探究对象】三角形中涉及到角平分线的倒角方法.【探究目的】通过观察由角平分线构建的两个模型，从而熟练的解决相关的角平分线倒角问题. 【探究1】“飞镖”模型中的角平分线      1、中和的角平分线交于P，探究和之间的关系. 【解析】本题中的四边形“飞镖”模型，可知            又            .      2、凸四边形中和的平分线交于点，探究与,间的数量关系.     【解析】四边形构成“飞镖”模型，，在四边形中，，，，            所以整理得，.        3、凹四边形中和的平分线交于点，探究与,间的数量关系. 【解析】 【探究2】 “8”字模型中的角平分线       4、中的外角和的角平分线交于P点，探究和之间的关系 【解析】由本题中的“8”字模型得出，，可得.   5、凸四边形中的角平分线和的外角的角平分线相交于点，探究与,间的数量关系. 【解析】  6、凹四边形中的角平分线和的外角的角平分线相交于点，探究与,间的数量关系.  【解析】本题中存在“8”字模型和“飞镖”模型，.   【例4】    如图，和中，，又有．⑴求的度数；⑵判断与的位置关系，并对你的结论加以证明．                                                            （四中期中考试）【解析】       ⑴ ∵
   ∴
　　 
　 又∵
　　 ∴.⑵ ，证明如下：
　由飞镖模型可知：，又由⑴知，
　∴，
　∴.注：飞镖模型的结论不能直接使用，学生要先证明.     “飞镖”模型                                             “8”字模型                                                                                             【例5】    如图，求证： . 【解析】       如图延长,交于点则由飞镖模型得在中， (三角形两边之和大于第三边) ∴即∴. 【例6】    如图，、是四边形的对角线，且、相交于点．求证：⑴ ．⑵ ．【解析】       ⑴ 在中，，在中，，两不等式相加得:∴即 ⑵ 应用上题的结论：，，∴．  【例7】    三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，位于线段上，位于线段上．⑴ 说明为什么．⑵ 说明为什么．⑶ 与，哪一个更大？证明你的答案；⑷ 与，哪一个更大？证明你的答案． 【解析】       ⑴ 由三角形不等式，．⑵ 由三角形不等式，．因此，．⑶ 由三角形不等式，，，以及，将三个不等式相加，得．⑷由⑵可知．类似可得，以及．将这三个不等式相加，可得，即．  【教师备选】 【备选1】如图，计算 【解析】提示：连接、，转化为和四边形的内角和之和，结果为        【备选2】如下图所示，中，，在上，，，求的度数．【解析】设，．则，，由外角定理得，，即，则．又，（江苏省中考题）∴，∴，∴．    训练1.如图，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向．求的度数．  【分析】 、、三边的连线构成，所求是的一个内角，先求出和，利用三角形内角和定理即可求出．法一：因为处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向．处在  处的北偏东方向．∴，，∴∵∴∴又∵∴.法二：∵∴∴      ∵是的外角      ∴.       训练2. 如图中的几个图形是五角星和它的变形      图①           图②        图③⑴图①中是一个五角星，求;⑵图①中点向下移到上，五个角的和有无变化？（即)  如图②，说明你的结论的正确性.⑶把图②中点向上移动到上，五个角的和（即）有无变化，如图③，说明你的结论的正确性.【解析】 ⑴180°⑵无变化∵, ∴    =    =180°         ⑶无变化            ∵,            ∴==180°. 训练3.如图，求六个角的和.【解析】          连接、,与的交点为∵三角形内角和等于，∴， ∵，∴同理∴. 训练4.如图，在中，是上任意一点，是上任意一点．试说明： ．【分析】       要证明线段的不等关系，要把线段放到三角形中去，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出．【解析】 延长交于点，        ∵，，        ∴，        即．     题型一  三角形的两大模型之角度关系  巩固练习【练习1】如图∠A=30°，求∠B+∠C+∠D+∠E的度数.          【解析】       ∵∠B+∠E=∠2+∠A，∠C+∠D=∠1+∠A∴∴∠B+∠E+∠C+∠D=210°  【练习2】如图，在中，是它的一个外角，为边上一点，延长到，连接，求证：.        【解析】          ∵是的一个外角∴又∵是的一个外角，∴．∴ 【练习3】如图，已知D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB，交AB于F，交AC于，∠A=40°， ∠D=30°，求∠ACB的度数. 【解析】       80°   【练习4】 将图1中线段上一点（点、除外）向下拖动，依次可得图2、图3、图4．分别探究图2、图3、图4中、、、、（）之间有什么关系？  →→→      图1                  图2                    图3                 图4 【解析】       探究图2、图3、图4可得：（或）图2中：证明：∵∴即图3中：同上可证        图4中：同上可证题型二  三角形两大模型之边的关系  巩固练习 【练习5】如图，在四边形中，.问成立吗？为什么？               【解析】       成立.连接,在中，(三角形任意两边之和大于第三边)，而在中，(直角三角形斜边大于任意直角边)，所以.