初一数学寒假讲义 第1讲.实数初步.教师版

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           “实数”的风波 题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2；立方根的定义与性质例4；例5；演练3,4；实数例6；例7；演练5 考点一:了解平方根及算术平方根的概念1、的平方根是          ，的算术平方根是          .【解析】考点二:了解立方根的概念2、的立方根是       ，的立方根是        .【解析】考点三:了解无理数的概念3、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？【解析】有理数：，；无理数：【例1】考察平方根及算术平方根的概念及性质，用根号表示非负数的平方根及算术平方根；【例2】利用非负数的性质解题；【例3】要挖掘被开方数为非负数的隐含条件，确定字母取值范围或取值解题；【例4】考察立方根的概念及性质；【例5】考察立方根的综合应用；【例6】考察无理数、实数的概念；【例7】考察实数与数轴的关系；【例8】考察无理数的小数及整数部分. 定  义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．也就是说，若，则就叫做的平方根． ，就叫做4的平方根 平方根的表示：一个非负数的平方根可用符号表示为“”．5的平方根可表示为 总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是，其中2叫做4的算术平方根.算术平方根的表示：一个非负数的算术平方根可用符号表示为“”．5的算术平方根可表示为在式子中，且.式子有意义，总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根.平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方运算互为逆运算.                           【教师备案】1、知识点引入：2、老师可以在讲的过程中结合具体例子总结： ⑴当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()．⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若，则；②不管为何值，总有⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：.利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围． 对新概念的理解能力【例1】         ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①；      ②；        ③5；       ④；       ⑤.⑵ 求下列各式的值：①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥   ⑶ 解关于的方程：①； ②；③⑷ 比较下列各数大小：①          ②       ③     ⑸ 一个正数的平方根是和，则_________.【解析】       ⑴ ① 和；    ②和；    ③和；    ④ 和；    ⑤和⑵ ① 5；     ②；     ③；     ④2；     ⑤6；      ⑥⑶①；②；③⑷① ;② ;③ .⑸. 非负性的考查【例2】         ⑴ 若，则的值为（    ）A． B． C． D．                               （北京中考）⑵若与的值互为相反数，则的平方根是          .⑶若，求的值．            【解析】       ⑴ B.⑵ ，，，∴平方根是.⑶综合应用能力【例3】         ⑴中的取值范围_________.⑵已知，求的值.【解析】  ⑴   ⑵∵且∴即，∴∴ 【备选】已知，求的值.【备选】∵  ∴ ∴原式为 两边平方得  ∴定  义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根.， 2就叫做8的立方根 表示：一个数的立方根可用符号表示，读作“三次根号”.5的立方根可表示为 总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.     对新概念的运用能力【例4】         ⑴ 求下列各数的立方根：①；  ②8；  ③；  ④；  ⑤ ；⑵ 比较大小①     ；      ②     ⑶ 求出下列各式中的：①若，则     ；②若，则    ；③若，则     ；④若，则      ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（    ）A、没有意义B、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C、一个正数有两个立方根D、互为相反数的立方根也互为相反数【解析】       ⑴ ① ； ②； ③； ④ 2； ⑤ ⑵ ①<  ②=⑶ ①0.7    ② 6    ③    ④3；⑷   考查综合运用能力 【例5】         若和互为相反数，求的值.【解析】       ∵与互为相反数，∴与也互为相反数，即，∴【点评】相反数的立方根仍为相反数. 定  义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数 …都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数. 5和都是实数 实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 分类：                    注：无理数的四种形式：（1）圆周率（2）开不尽的方根；（3）含有无理数的式子；（4）特殊结构的数.  对新概念的运用能力【例6】         ⑴ 下列说法正确的个数为（     ）①无理数都是实数②实数都是无理数③无限小数都是无理数④带根号的数都是无理数⑤没有绝对值最小的实数A、1个  B、2个   C、3个   D、4个⑵ 在中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①；②；③；④⑷ 已知是的平方根，，，求的值. 【解析】       ⑴ A;⑵5个；⑶相反数：①；②；③；④绝对值：①；②；③；④.⑷    实数与数轴的一一对应关系【例7】         ⑴如图所示，在点A和点B之间表示整数的点共有_________个.   ⑵如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点到点的距离与点到点的距离相等，则所表示的数是（   ）A、         B、    C、         D、  【解析】 ⑴ 4个；  ⑵ C   近年来对无理数的估算问题考查的越来越多，先给老师们准备几个有关整数部分和小数部分的题，然后再通过一道真题进行详细讲解，并让学生逐步掌握估算无理数范围的方法.无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若，则估计的范围为（    ）                 A.              B.          C.              D. （实验中学期中）  ⑵ 若实数的整数部分是，则的取值范围是___________. ⑶ 观察例题：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的小数部分为，的小数部分为，求的值.【解析】       ⑴ B;⑵⑶. 【例8】         （2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值。小明的方法：∵，设。∴。∴，∴，解得。∴问题：⑴请你依照小明的方法，估算的近似值；⑵请结合上述具体实例，概括估算的公式：已知非负整数，若，且，则           （用含的代数式表示）；⑶请用⑵中的结论估算的近似值。【解析】⑴∵，设（）. ∴.∴.∴.解得 .∴. ⑵. ⑶.      训练1.     ⑴ 有下列说法：①任何实数都可以用分数表示；  ②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（     ）A．1    B．2    C．3    D．4⑵ 实数中，无理数有（     ）A．1个    B．2个    C．3个    D．4个⑶的平方根是（     ）A．5    B．    C．    D．【解析】 ⑴ A⑵ C ⑶ D 训练2.     ⑴ 若为实数，且.则的值为_____________.⑵ 如果，则.【解析】 ⑴  ，；  ⑵ 由解得， 训练3.     ⑴ 数轴上表示的对应点分别是A、B，点B关于原点的对称点是点，则线段的                 长度为________ ⑵ 已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的值.【解析】 ⑴； ⑵. 训练4.     已知是非零实数的算术平方根，是的立方根，求的平方根.【解析】       的平方根是          知识模块一  平方根的定义及性质 课后演练【演练1】   求下列各数的平方根、算术平方根 平方根          算术平方根          【解析】         平方根算术平方根 【演练2】   ，则的值为（    ）A.－6        B. 9       　　 C. 6      　    D. －9                 （西城一模）【解析】       B           知识模块二  立方根的定义及性质  课后演练【演练3】   求下列各数的立方根  立方根         【解析】          立方根 【演练4】   已知的立方根是，求的平方根.【解析】       ∵，∴∴，∴的平方根为 知识模块三  实数 课后演练【演练5】   ⑴ 在实数中，其中无理数的个数为（    ）A.       B. 2        C. 3      D. 4                                 ⑵ 下列各式中，正确的是（    ）                                       A.         B.       C.       D. ⑶ 现有下列说法：①的平方根是；②的算术平方根等于2；③；④平方根和立方根相同的有理数是0；⑤有理数与数轴上的点一一对应；其中不正确的个数为（   ）A．1个    B．2个    C．3个    D．4个 【解析】       ⑴ B；⑵ C；⑶B ③⑤两个错.