初一数学秋季讲义 第5讲.找规律、程序运算和定义新运算 教师版

这是一份初一数学秋季讲义 第5讲.找规律、程序运算和定义新运算 教师版，共15页。
5
找规律、程序运算
和定义新运算

满分晋级阶梯

代数式3级
找规律、程序运算
和定义新运算

代数式2级
整体思想求值

代数式1级
整式的概念及加减运算

秋季班第五讲
秋季班第四讲
暑期班第四讲












漫画释义
生活水平提高了

题型切片

题型切片（六个）
对应题目
题型目标
数列的规律
例1；练习1
数表的规律
例2；练习2
图形的规律
例3；练习3
算式的规律
例4；练习4
程序运算
例5、例6：练习5
定义新运算
例7；练习6

思路导航

找规律
解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
⑸数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
常见的数列规律：
⑴ 1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
⑵ 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
⑶ 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
⑷ 2，5，10，17，26，…，（为正整数）．
⑸0, 3, 8, 15， 24，…， （为正整数）．
⑹ 2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
⑺，，，，，，…，（为正整数）．
⑻，，，，，，…，（为正整数）．
⑼特殊数列：
①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相
邻的前两个数的和.
②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.

数列的规律
数列的规律

【例1】 ⑴ 观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数
的第个数是 ．（为正整数）

⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．

⑶找规律，并按规律填上第五个数: ，第个数为： . （为正整数）
⑷有一列数，，，，…，那么第个数是 ．第个数为 .
（为正整数）
（5）一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第个式子
是 ，第个式子是 .（为正整数）
【解析】 ⑴ ； （2） ， ⑶，；⑷ ， ；（5），．

数表的规律
数列的规律


【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，若用有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示分数.那么表示的分数是 .


（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第行第列的数字: ．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
1
2
5
10
17
…
4
3
6
11
18
…
9
8
7
12
19
…
16
15
14
13
20
…
25
24
23
22
21
…
……


⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.
①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .
当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .
②如果设“X”型框中间的数为a，请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和；
③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.

-1
3
-5
7
-9
11
-13
15
-17
19
-21
23
-25
27
-29
31
-33
35
-37
39
-41
43
-45
47
-49
51
-53
55
-57
59
-61
63
-65
67
-69
71
…
…
…
…
…
…

【解析】 ⑴
⑵ ；观察可得规律：
第一行第二列的数：；
第二行第三列的数：；
第三行第四列的数：；
……
第行第列的数：
故可得第20行第21列的数为：.
（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列
图形的规律
数列的规律

【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基
础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第（是正整数）个
图案由 个基础图形组成．


⑵观察下列图形：

它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n个图形
有 个★.
⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三
角形三边的中点，得到图3．

① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；
② 按上面的方法继续下去，第个图形中有多少个三角形？

⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 ．
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形

【解析】 ⑴ ，； ⑵；28,3n+1；
⑶ ①，．② ． ⑷或或；



算式的规律
数列的规律


【例4】 观察下列等式：①；②；③；④…；则根据此规律第6个等式为 ，第个等式为 ．
【解析】 ； .
思路导航


一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．
程序运算
数列的规律


【例5】 ⑴ 如下图，输入，则输出值是 ．


⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 .


⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第次输出的结果为，
第次输出的结果为，……，第次输出的结果为 ．




⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的的所有值.


【解析】 ⑴；此程序为选择式，因，故.
⑵ ；经过第一次程序运算得，因为，需要返回循环；经第二次运算得，
因为，此程序结束，故输出结果为.
⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）
⑷ 由题意：，，
，，
∴只有，，，3符合题意．
（也可用方程思想理解：∵ 为正整数， ∴ .
当时，.
当时，.
当时，.
当时，.
综上所述，或或或）.

【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题：
（1）若A为785，则E=_____________；
（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；
（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．
【解析】 ⑴E=1089；
⑵ E的值都相同．
理由如下：设A=100a+10b+c且a－c=2，则B=100c+10b+ a．
∴C=A－B=(100a+10b+c)－(100c+10b+ a)=99a－99c=99(a－c)=99×2=198．
∴D=891．∴E=C+D=198+891=1089．
(3) E=1089．
证法1：设A=100a+10b+c且a－c>2，则B=100c+10b+ a．
∴C=A－B=(100a+10b+c)－(100c+10b+ a)=100(a－c)+(c－a)=100(a－c－1)+10×9+(10+c－a) ．
∴D=100(10+c－a) +10×9+ (a－c－1) ．
∴E=C+D=[100(a－c－1)+10×9+(10+c－a)]+[ 100(10+c－a) +10×9+ (a－c－1)]=1089．

思路导航


定义新运算
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
定义新运算
数列的规律


【例7】 ⑴现定义两种新运算，对于任意两个整数，都有：，
.试求：的值.

⑵ 用“”定义新运算：对于任意，都有．
例如，，那么3= ；
当为有理数时，（2）= ．

⑶ 对于正整数，，，，规定，若，则 ．

⑷ 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，
① 是的差倒数，则 ；
② 是的差倒数，则 ；
③ 是的差倒数，则 ，…，依此类推，则 ．

【解析】 ⑴ 6；
⑵ 22，；
⑶由题意得，故，又为正整数，所以.
⑷ ① ；② 4；③ ；.
【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．

【选讲题】

【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母．
请你按图中箭头所指方向（即 的方式）从开始数连续的正整数当数到12时，对应的字母是_______；当字母第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母第次出现时（为正整数），恰好数到的数是 （用含的代数式表示）．


【解析】 B，603， .
（2）数满足下列条件：， ,,, 则的值为 .
【解析】 1006

(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：
⑴ 填表：


剪的次数





正方形个数






⑵ 如果剪了次，共剪出多少个小正方形？
⑶ 如果剪次，共剪出多少个小正方形？

【解析】 ⑴ 如表．
剪的次数





正方形个数





⑵ 如果剪了次，共剪出个小正方形；
⑶ 如果剪次，共剪出个小正方形.




思维拓展训练(选讲)

训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）
A． B． C． D．以上答案均不对

【解析】 C.

训练2. 根据右图所示的程序计算变量的值，若输入自变量的值为，则输出的结果是 ．
（汇文中学期中）
【解析】 .

训练3. 读一读：式子“”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号．
例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为
；
又如可表示为．
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
⑴ （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示
为 ．
⑵ 计算 ．（填写最后的计算结果）
（北大附中期中）
【解析】 ⑴ ；⑵

训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算．
例如：
输入顺序
1，★★★，，ENTER=
屏幕显示

2

上述操作即是求的值，运算结果为2．
回答下面的问题：
⑴ 小明的输入顺序为，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．
⑵ 小杰的输入顺序为，★★★，，ENTER=，★★★，，ENTER=，★★★，，ENTER=，★★★，，ENTER=，运算结果是 ．

⑶ 若在，，，……，，，，……，，这些数中，任意选取两个作为、的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．
（一零一期中）
【解析】 ⑴ ⑵ ⑶
复习巩固

数列的规律
【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：，，，，…，它的第个数是（　　）
A．　　 B．　　 C．　　 D．

⑵ 观察下列单项式，，，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数）
【解析】 ⑴ C． ⑵ ，.
数表的规律
【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A，B，C三列，按这个规律，1999在第          列。
A           B           C
1           2           3
6           5           4
7           8           9
12         11          10
13…
【解析】 A
图形的规律
【练习3】 如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：

第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去.
⑴ 请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（）填入下表：
次数（）
1
2
3
4
…

正方形总个数（）
5
9


…

⑵ 请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？
【解析】 ⑴ 当n=3时，m=13；n=4时，m=17…一般地m=4n+1；
⑵ 由m=4n+1得103=4n+1 n=25.5，因n不是整数，故按此要求操作不可能得到103个．
算式的规律
【练习4】 观察图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
……
①　
②　
③　
……
④　

（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第个图形相对应的等式．
【解析】 （1）（2）.


程序运算
【练习5】 ⑴ 根据右图中的程序，当输入时，输出结果 .






⑵ 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，则满足条件的不同的值分别是： .

【解析】 ⑴ ；
⑵ ，，，，
，∴只有，，，符合题意．
定义新运算
【练习6】 定义运算※为※
① 求※，※．
② 求※（※），（※）※．
③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
④ 如果※（※），求．
【解析】 ① ※，※．
② 要计算※（※），先计算括号内的数，有：※，再计算第二步※，
所以※（※）．对于（※）※，同样先计算括号内的数，※，
其次※，所以（12※ 3）※4＝59．
③ 由于※，※，所以有
※※，因此“※”有交换律．由②的例子可知，运算“※”没有结合律．
④ ※，※（※）※（），
即，．

数学史

世界著名的“三角形”----莱布尼茨三角形
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德.和牛顿先后独立发明了微积分.

我们可以观察一下这个三角形有什么规律呢？
其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推.







数学活动

玩一个上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，看看有没有什么发现？
解析：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这就是著名的斐波拉契数列）
第十三种品格：公平
没有理由抱怨
她站在台上，不时不规律的挥舞着她的双手；仰著头，脖子伸得好长好长，与她尖尖的下巴扯成一条直线；她的嘴张着，眼睛眯成一条线，诡谲的看着台下的学生；偶然她口中也会依依唔唔的，不知在说些什么.基本上她是一个不会说话的人，但是她的听力很好，只要对方猜中或说出她的意见，她就会乐得大叫一声，伸出右手用两个指头指着你或者拍着手，歪歪斜斜的向你走来，送给你一张用她的画制作的明信片.她就是黄美廉，一位自小就染患脑性麻痹的病人.脑性麻痹夺去了她肢体的平衡感，也夺走了她发声讲话的能力.从小她就活在诸多肢体不便及众多异样的眼光中，她的成长充满了血泪，然而她没有让这些外在的痛苦击败她内在奋斗的精神，她昂然面对，迎向一切的不可能.终于获得了加州大学艺术博士学位，她用她的手当画笔，以色彩告诉人“寰宇之力与美”，更灿烂的活出生命的色彩.全场的学生都被她不能控制自如的肢体动作震慑住了.这是一场倾倒生命、与生命相遇的演讲.“请问黄博士”，一个学生小声的问：“您从小就长成这个样子，请问您怎么看您自己？您都没有怨恨吗？”大家心头一紧，真是太不成熟了，怎么可以当着面，在大庭广众之前问这个问题，太刺人了，很担心黄美廉会受不了.“我怎么看自己？”美廉用粉笔在黑板上重重的写下这几个字.她写字时用力极猛，有力透纸背的气势，写完这个问题，她停下笔来，歪着看着发问的同学，然後嫣然一笑，回过头来，在黑板上龙飞凤舞的写了起来：
一、我好可爱！二、我的腿很长很美！三、爸爸妈妈很爱我！四、上帝很爱我！五、我会画画！我会写稿！六、我有只可爱的猫！七、还有……八、……
教室内一片鸦雀无声，没有人敢讲话.她回过头来定定的看着大家，再回过头去，在黑板上写下了她的结论：“上天是公平的，我只看我所有的，不看我所没有的.”满足的笑容，从她的嘴角荡漾开来，眼睛眯得更小了，有一种永远也不被击败的傲然，写在她脸上.



今天我学到了