初一数学暑假讲义 第2讲.绝对值.教师版

【例1】         ⑴ ①          ；② 绝对值不大于3的整数有         ．

⑵ 绝对值大于2而小于5的负整数是          ．

⑶ 下列说法正确的是 （     ）

1. 符号相反的数互为相反数
2. 任何有理数都有倒数
3. 最小的自然数是1
4. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远

⑷ 的绝对值为        ，的相反数为        ，

的倒数为        ，的负倒数为        ．

⑸ 若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值.

【解析】       ⑴ ① ；②，，，；

⑵ ，；

⑶  D；

⑷ ，，，；

⑸ 3．

【例2】         ⑴ 已知、为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（   ）

A．　    B．

C．      D．

⑵ ，则________；，则________．

⑶ 若与互为相反数，则的值为（      ）．

A．8       B．         C．         D．7

⑷方程 的解的个数是（      ）．

A．1       B．2         C．3         D．无穷多

(5) 求出所有满足条件的非负整数对.

(6) 设、同时满足①；②．那么      ．

（北京一零一中学期中）

【解析】       它本身，它的相反数，0；

⑴ 经分析则、、、在数轴上表示如图所示：

数轴上右边的数总比左边的数打，所以，选C；

⑵ ，，要使，当且仅当且，

有，则；变形，根据绝对值的非负性，有，，

∴

⑶  B

⑷  D．

(5) 根据题意和两个代数式的值只能在与中取，用逐一列举的方法，求得

满足条件的非负整数对有三对.

(6) 因为，而完全平方式非负，所以，且非负．

又因为，所以，观察可知，，所以．

【例3】         ⑴ 已知数、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是           

⑵ 如图，根据数轴上给出的、、的条件，

试说明的值与无关.

【解析】⑴ ；⑵.

【例4】         ⑴ 已知，试求

 的值；

⑵ 已知与互为相反数，求

【解析】       ⑴ 易得，；

则原式

    ．

⑵ 因为与互为相反数，所以，从而得到

所以原式等于．

【例5】         已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

【解析】      设甲数为x，乙数为y

由题意得：，

(1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则4y=8，所以y=2，

若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则=8，所以，x=6

(2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则=8，所以，

若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则2y=8，所以y=4，x=12

【例6】         若，则        ．

【解析】因为，所以，原式．

【例7】         化简：⑴ ；⑵ ；⑶

【解析】       零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号

⑴ 当时，则；

当时，则，

⑵ 当时，则；

当时，则

⑶ 先找零点，令，，则，，零点可以将数轴分成三段：

若，则，，；

若，则，，；

若，则，，．

【拓展】

【解析】       当时，则

当时，则

当时，则

当时，则

以上各题先求零点．

【例8】         已知是非零有理数，且，求的值．

【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负或者一负二正，分两种情况讨论：

⑴如果是一正二负，不妨设，

则原式；

⑵如果是一负二正，不妨设，

则原式；

可知原式的值为0

【拓展】已知，且都不等于，求的所有可能值．

【答案】或或

【例9】         如果为互不相等的有理数，且，那么等于（  ）

A．1       B．2         C．3         D．4

【解析】已知，可设，由于，所以与必互为相反数

(否则，不合题意)，即.又因为，所以.

由于，所以与必相等(否则，不合题意)，

即，从而得.因为，所以.因此有.

所以.

若设，同理可得.答案为C.

【例10】     将1，2，3…100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a，另一个数记为b，代入代数式中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．

【解析】先分类讨论去绝对值符号：

所以，当50组中的较小的数恰好是1到50时，这50个值的和最小，
最小值为．

知识模块一  绝对值的定义  课后演练

【演练1】   ⑴ a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值

等于2的数，则           ．

（人大附中期中）

⑵ 若，则=          ．

 （东城区期末）

⑶ 已知，，则的值为（    ）

A．；      B．；+7        C．7     D．

（人大附中期中）

⑷ 已知，，且，则            ．

【解析】       ⑴ 4或0；⑵ 0或6；  ⑶ A ；⑷ 3或13．

【演练2】   若，则；．

【解析】  ，．

知识模块二  绝对值代数意义的应用 课后演练

【演练3】   ⑴化简：

⑵化简代数式

【解析】       ⑴原式

⑵当时，原式；

当时，原式；当时，原式

所以综上讨论，原式

【演练4】   若，求的值．

【解析】法1：∵，则

原式

法2：由，可得，则

原式

点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，

简化解题步骤有着重要作用．

【演练5】   设为非零实数，且，，．

化简．

【解析】 ，，；，；，，

所以可以得到，，；

．

【演练6】   有理数，，，满足，求的值．

【解析】       2或