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    2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

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    2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

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    这是一份2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试),共13页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
    2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1. ,则  A.24.      B. 25.       C. .        D. .2ABC中,最大角A是最小角C的两倍,且AB7AC8,则BC=(   A..      B. .       C. .        D. .3表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为(   A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点ABCDO为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为(   A..      B. .       C. .        D. .5如图,在矩形ABCD中,AB3BC2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE                                         A..      B. .       C. .        D. .    6是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是                 A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.2 DABC的边AB上的一点,作DE//BCAC于点E,作DF//ACBC于点F,已知ADEDBF的面积分别为,则四边形DECF的面积为______.3如果实数满足条件,则______.4已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有_____.第二试 (A)一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为AB,与轴的交点为C.ABC的外接圆的圆心为点P.1)证明:P轴的另一个交点为定点.2)如果AB恰好为P的直径且,求的值.二.(本题满分25分)CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,分别是ADCBDC的内心,AC=3,BC=4,求.三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:                                                                 证明:以为三边长可构成一个直角三角形.第二试 (B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二. (本题满分25分) 已知ABC中,ACB=90°AB边上的高线CHABC的两条内角平分线 AMBN分别交于PQ两点.PMQN的中点分别为EF.求证:EFAB.         三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.   第二试 (C一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.  二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.  三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:                                                                 是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.             2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.,则                A.24.      B. 25.       C. .        D. .【答】A.,得,故.所以. 2ABC中,最大角A是最小角C的两倍,且AB7AC8,则BC              A..      B. .       C. .        D. .【答】C.延长CAD,使ADAB,则,所以CBD∽△DAB,所以,故,所以.又因为,所以. 3表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为                   A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.【答】C.由方程得,而,所以,即,解得,从而只可能取值.时,,解得时,,没有符合条件的解;时,,没有符合条件的解;时,,解得 时,,解得.因此,原方程共有3个解.4设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点ABCDO为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为                                                               A..      B. .       C. .        D. .【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道,以五个点ABCDO为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形,它们可以分为两类:1)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一,这样的三角形有4个,它们的面积都为2)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O,这样的三角形也有4个,它们的面积都为.所以以五个点ABCDO为顶点可以构成448个三角形,从中任意取出两个,共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等,则只能都取自第(1)类或都取自第(2)类,不同的取法有12.因此,所求的概率为. 5如图,在矩形ABCD中,AB3BC2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE                                                                           A..      B. .       C. .        D. .【答】 D.BC的中点为O,连接OECE.因为ABBCAEOE,所以ABOE四点共圆,故BAECOE. ABAEOC=OE,所以ABE∽△OCE,因此,即.CEBE,所以,故CBE. 6是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是                   A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.【答】B.,则,它为完全平方数,不妨设为(其中为正整数),则.验证易知,只有当时,上式才可能成立.对应的值分别为5020102.因此,使得为完全平方数的共有4个,分别为1959198919992007.  二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根,所以解得.时,取得最小值. 2 DABC的边AB上的一点,作DE//BCAC于点E,作DF//ACBC于点F,已知ADEDBF的面积分别为,则四边形DECF的面积为______.【答 .ABC面积为,则因为ADE∽△ABC,所以.又因为BDF∽△BAC,所以.两式相加得,即,解得.所以四边形DECF的面积为. 3如果实数满足条件,则______.【答】  .因为,所以.可得,从而,解得.从而,因此,即,整理得,解得(另一根舍去).代入计算可得,所以.  4已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有_____.【答】  7. 为正整数),则,故为有理数.,其中均为正整数且.从而,所以,故,所以.同理可得(其中为正整数),则.,所以,所以.1时,有,即,易求得或(3,6)或(6,3.2时,同理可求得.3时,同理可求得或(1,2.4时,同理可求得.因此,这样的有序数对共有7对,分别为(240,240),(135,540),(540,135),(60,60),(60,15),(15,60),(15,15. 第二试 A一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为AB,与轴的交点为C.ABC的外接圆的圆心为点P.1)证明:P轴的另一个交点为定点.2)如果AB恰好为P的直径且,求的值.  1)易求得点的坐标为,设,则.P轴的另一个交点为D,由于ABCDP的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OBOC×OD,则.因为,所以点轴的负半轴上,从而点D轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).                 …………………………………102)因为ABCD,如果AB恰好为P的直径,则CD关于点O对称,所以点的坐标为.                         …………………………………15,所以解得.                    …………………………………20 二.(本题满分25分)CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,分别是ADCBDC的内心,AC=3,BC=4,求.  EABEFABF.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,.CDAB,由射影定理可得,故.                                …………………………………5因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以.…………………………………10连接DD,则DD分别是ADCBDC的平分线,所以DCDADCDB=45°,故D=90°,所以DD.       …………………………………15同理,可求得.                     …………………………………20所以.       …………………………………25 三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:                                                                 证明:以为三边长可构成一个直角三角形.证法1  ①②两式相乘,得       ………………………………10       ………………………………15,即          …………………………………20所以,即.因此,为三边长可构成一个直角三角形.        ……………………………25证法2  结合式,由式可得变形,得                      ………………………10又由式得,即代入式,得.             …………………………………15   ……………20所以.结合式可得.因此,为三边长可构成一个直角三角形.     …………25 第二试 B一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二. (本题满分25分) 已知ABC中,ACB=90°AB边上的高线CHABC的两条内角平分线 AMBN分别交于PQ两点.PMQN的中点分别为EF.求证:EFAB.   因为BNABC的平分线,所以.又因为CHAB,所以因此.      …………………………………10FQN的中点,所以CFQN,所以,因此CFHB四点共圆.             …………………15,所以FCFH,故点FCH的中垂线上.  ……20同理可证,点ECH的中垂线上.因此EFCH.ABCH,所以EFAB.  ………………25 三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.   第二试 C一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.  二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.  三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:                                                                 是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.解法1  ①②两式相乘,得       ………………………………10       ………………………………15,即               …………………………………20所以,即.因此,为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.       ……………………………25解法2  结合式,由式可得变形,得                    ………………………10又由式得,即代入式,得.                    …………………………………15     ………20所以.结合式可得.因此,为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.……………………………25                  

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