2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

这是一份2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则（  ）A.24.      B. 25.       C. .        D. .2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（   ）A..      B. .       C. .        D. .3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（   ）A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（   ）A..      B. .       C. .        D. .5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝                                       （  ）A..      B. .       C. .        D. .    6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （   ）A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.3．如果实数满足条件，，则______.4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：                                          ①                       ②证明：以为三边长可构成一个直角三角形.第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.         三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.   第二试 （C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.  二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.  三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：                                          ①                       ②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.             2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则            （    ）A.24.      B. 25.       C. .        D. .【答】A.由，得，故.所以. 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝          （    ）A..      B. .       C. .        D. .【答】C.延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以. 3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为               （    ）A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.当时，，解得；当时，，没有符合条件的解；当时，，没有符合条件的解；当时，，解得； 当时，，解得.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为                                                           （    ）A..      B. .       C. .        D. .【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝                                                                       （    ）A..      B. .       C. .        D. .【答】 D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE. 又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝. 6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （    ）A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.【答】B.设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.  二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以解得.，当时，取得最小值. 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.【答】 .设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.又因为△BDF∽△BAC，所以.两式相加得，即，解得.所以四边形DECF的面积为. 3．如果实数满足条件，，则______.【答】  .因为，所以.由可得，从而，解得.从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.把代入计算可得，所以.  4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.【答】  7. 设（为正整数），则，故为有理数.令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.同理可得（其中为正整数），则.又，所以，所以.（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）时，同理可求得.（3）时，同理可求得或（1,2）.（4）时，同理可求得.因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）. 第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解  （1）易求得点的坐标为，设，，则，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).                 …………………………………10分（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.                         …………………………………15分又，所以，解得.                    …………………………………20分 二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.解  作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.                                …………………………………5分因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.…………………………………10分连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.       …………………………………15分同理，可求得，.                     …………………………………20分所以＝.       …………………………………25分 三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：                                          ①                       ②证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1  将①②两式相乘，得，即，       ………………………………10分即，即，       ………………………………15分即，即，即，即，即，          …………………………………20分所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.        ……………………………25分证法2  结合①式，由②式可得，变形，得              ③        ………………………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.             …………………………………15分，   ……………20分所以或或.结合①式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.     …………25分 第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB. 解  因为BN是∠ABC的平分线，所以.又因为CH⊥AB，所以，因此.      …………………………………10分又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.             …………………15分又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.  ……20分同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.  ………………25分 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.   第二试 （C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.  二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.  三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：                                          ①                       ②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1  将①②两式相乘，得，即，       ………………………………10分即，即，       ………………………………15分即，即，即，即，即，               …………………………………20分所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.       ……………………………25分解法2  结合①式，由②式可得，变形，得              ③      ………………………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.                    …………………………………15分，     ………20分所以或或.结合①式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分