


2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
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这是一份2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试),共13页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1. 设,则( )A.24. B. 25. C. . D. .2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=( )A.. B. . C. . D. .3.用表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为( )A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为( )A.. B. . C. . D. .5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE= ( )A.. B. . C. . D. . 6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是 ( )A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为和,则四边形DECF的面积为______.3.如果实数满足条件,,则______.4.已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有_____对.第二试 (A)一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B,与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1)证明:⊙P与轴的另一个交点为定点.(2)如果AB恰好为⊙P的直径且,求和的值.二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,、分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求.三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件: ① ②证明:以为三边长可构成一个直角三角形.第二试 (B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB. 三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同. 第二试 (C)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同. 三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件: ① ②是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角. 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.设,则 ( )A.24. B. 25. C. . D. .【答】A.由,得,故.所以. 2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC= ( )A.. B. . C. . D. .【答】C.延长CA至D,使AD=AB,则,所以△CBD∽△DAB,所以,故,所以.又因为,所以. 3.用表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为 ( )A.1. B. 2. C. 3. D. 4.【答】C.由方程得,而,所以,即,解得,从而只可能取值.当时,,解得;当时,,没有符合条件的解;当时,,没有符合条件的解;当时,,解得; 当时,,解得.因此,原方程共有3个解.4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( )A.. B. . C. . D. .【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道,以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形,它们可以分为两类:(1)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一,这样的三角形有4个,它们的面积都为;(2)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O,这样的三角形也有4个,它们的面积都为.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4+4=8个三角形,从中任意取出两个,共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等,则只能都取自第(1)类或都取自第(2)类,不同的取法有12种.因此,所求的概率为. 5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE= ( )A.. B. . C. . D. .【答】 D.设BC的中点为O,连接OE、CE.因为AB⊥BC,AE⊥OE,所以A、B、O、E四点共圆,故∠BAE=∠COE. 又AB=AE,OC=OE,所以△ABE∽△OCE,因此,即.又CE⊥BE,所以,故CBE=. 6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是 ( )A.3. B. 4. C. 5. D. 6.【答】B.设,则,它为完全平方数,不妨设为(其中为正整数),则.验证易知,只有当时,上式才可能成立.对应的值分别为50,20,10,2.因此,使得为完全平方数的共有4个,分别为1959,1989,1999,2007. 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根,所以解得.,当时,取得最小值. 2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为和,则四边形DECF的面积为______.【答】 .设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC,所以.又因为△BDF∽△BAC,所以.两式相加得,即,解得.所以四边形DECF的面积为. 3.如果实数满足条件,,则______.【答】 .因为,所以.由可得,从而,解得.从而,因此,即,整理得,解得(另一根舍去).把代入计算可得,所以. 4.已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有_____对.【答】 7. 设(为正整数),则,故为有理数.令,其中均为正整数且.从而,所以,故,所以.同理可得(其中为正整数),则.又,所以,所以.(1)时,有,即,易求得或(3,6)或(6,3).(2)时,同理可求得.(3)时,同理可求得或(1,2).(4)时,同理可求得.因此,这样的有序数对共有7对,分别为(240,240),(135,540),(540,135),(60,60),(60,15),(15,60),(15,15). 第二试 (A)一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B,与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1)证明:⊙P与轴的另一个交点为定点.(2)如果AB恰好为⊙P的直径且,求和的值.解 (1)易求得点的坐标为,设,,则,.设⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则.因为,所以点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1). …………………………………10分(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,即. …………………………………15分又,所以,解得. …………………………………20分 二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,、分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求.解 作E⊥AB于E,F⊥AB于F.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,.又CD⊥AB,由射影定理可得,故,. …………………………………5分因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以=.…………………………………10分连接D、D,则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠DC=∠DA=∠DC=∠DB=45°,故∠D=90°,所以D⊥D,. …………………………………15分同理,可求得,. …………………………………20分所以=. …………………………………25分 三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件: ① ②证明:以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将①②两式相乘,得,即, ………………………………10分即,即, ………………………………15分即,即,即,即,即, …………………………………20分所以或或,即或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分证法2 结合①式,由②式可得,变形,得 ③ ………………………10分又由①式得,即,代入③式,得,即. …………………………………15分, ……………20分所以或或.结合①式可得或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形. …………25分 第二试 (B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB. 解 因为BN是∠ABC的平分线,所以.又因为CH⊥AB,所以,因此. …………………………………10分又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以,因此C、F、H、B四点共圆. …………………15分又,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上. ……20分同理可证,点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB. ………………25分 三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同. 第二试 (C)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同. 三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件: ① ②是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘,得,即, ………………………………10分即,即, ………………………………15分即,即,即,即,即, …………………………………20分所以或或,即或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°. ……………………………25分解法2 结合①式,由②式可得,变形,得 ③ ………………………10分又由①式得,即,代入③式,得,即. …………………………………15分, ………20分所以或或.结合①式可得或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.……………………………25分
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