苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品精练

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6.2.1空间向量基本定理课程标准重难点1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.重点：空间向量基本定理. 难点：选择恰当的基底表示向量.知识点01  空间向量的基本定理空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.【即学即练1】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A． B．C． D．【即学即练2】已知是空间的一个基底，下面向量中与向量，一起能构成空间的另外一个基底的是（    ）A． B． C． D．知识点02  正交基底和单位正交基底正交基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底单位正交基底当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示推论:设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++.【即学即练3】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ）A． B．C． D．【即学即练4】已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.◆考点01 空间向量基底概念及辨析【典例1】（多选）设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（   ）A． B． C． D．【典例2】（多选）以下四个命题中正确的是（    ）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面D．向量，，共面，即它们所在的直线共面【典例3】已知是空间的一组基， 且，，，.(1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．(2)判断，，，四点是否共面，并说明理由．◆考点02用空间向量表示基底【典例4】已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示）【典例5】在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、．【典例6】．在三棱锥体中，，点为的中点，设.(1)记，试用向量表示向量；(2)若，求的值.◆考点03 空间向量正交分解【典例7】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ）A． B． C． D．【典例8】已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____． 题组A  基础过关练一、单选题1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，2．已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（    ）A． B．C． D．3．若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（    ）A． B．C． D．4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ）A． B．C． D．5．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，，构成基底的向量是（    ）A． B． C． D． 二、多选题6．关于空间向量，以下说法不正确的是（    ）A．向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线7．给出下列命题,其中正确的有（    ）A．已知向量,则B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．不相等的两个空间向量的模可能相等C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底三、填空题9．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __．10．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.四、解答题11．如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以，，为基底表示．12．已知空间的一组基，，．(1)写出一个与向量平行的向量；(2)写出一个与向量，共面的向量；(3)向量，是否共线？是否共面？(4)写出一个向量，使之与向量，构成空间的另一组基．题组B  能力提升练 一、单选题1．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，2．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．53．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）A． ，，B． ，，C． ，，D． ，，4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，5．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（    ）A． B．C． D． 二、多选题6．如图，在长方体中，，点P为空间一点，若 ，，则下列判断正确的是（    ）A．线段长度的最小值为B．当时，三棱锥的体积为定值C．无论取何值，点P与点Q不可能重合D．当时，四棱锥的外接球的表面积为7．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（    ）A．的取值范围是B．能构成空间的一个基底C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件D．8．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（    ）A． B．C． D． 三、填空题9．在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为________．10．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______. 四、解答题11．平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．(1)求线段的长；(2)若，判断能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量；若不能，说明理由．12．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．13．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．(1)用，，表示向量；(2)若，且满足       （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．题组C  培优拔尖练如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为______.