苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列精品练习

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第8章 概率
8.2.1随机变量及其分布列
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课程标准
重难点
1. 借助具体实例，了解离散型随机变量及其分布列.
2.体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异.
重点：离散型随机变量及其分布列的了解；
难点：连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异.
知识精讲

知识点01 随机变量的概念
概念：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一
确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量
表示：随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，…表示
取值：随机变量的取值由随机试验的结果决定
取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围
分类：离散型随机变量：随机变量的所有可能取值可以一一列举出来
连续型随机变量：随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来
注意：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.
注意：在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件.
【即学即练1】（2021·浙江浙江·）设在30件产品中有3件是次品，其中A表示“随机地抽取1件是次品”，B表示“随机地抽取4件都是次品”，则A是__________事件，B是__________事件.
【答案】     随机     不可能
【解析】结合随机事件及不可能事件的概念即可得解.
【详解】解：随机地抽取1件是次品是随机事件；由于在30件产品中有3件是次品，所以随机地抽取4件都是次品是不可能事件.故答案为：随机；不可能.
【点睛】本题考查了随机事件及不可能事件的概念，属基础题.
【即学即练2】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高二期中（理））袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ）．
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
【答案】C
【分析】由随机变量的含义可知.
【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
知识点02 离散型随机变量
1． 定义∶取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量.
注意：离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如取值为1，2，…，n，…
离散型随机变量的特征∶
（1）可用数值表示；
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；
（3）试验之前不能确定取何值；
（4）试验结果能一一列出.
2. 连续型随机变量∶与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个区间.
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）①某座大桥一天经过的车辆数为X；
②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；
③一天之内的温度为X；
④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.
上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.
【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，
②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，
③一天之内的温度是连续型变量，
④一次射击中的得分是可一一列举，
由离散随机变量的定义知：①②④.
故选：B

【即学即练4】（2022·山东·高二阶段练习）下列X是离散型随机变量的是（    ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，
故选：B.
知识点03 离散型随机变量的分布列
1.定义∶一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2……xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率p（X=xk） =pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示.
X
x1
x2
...
xk
...
xn
p
p1
p2
...
pk
...
pn
此表称为X的概率分布或分布列.
2. 性质∶
(1)pk≥0，k=1,2，3...，n;
(2)k=1npk=p1+p2+...+pn=1
注意：(1)pi表示的是事件X=xi∶发生的概率，因此每一个pi都是非负数；
(2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1+p2+...+pn应该等于1；
另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
【即学即练5】（2022·江苏·金沙中学）已知离散型随机变量X的分布列如表：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.24
0.36
c

则实数c等于（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】根据概率之和等于1，列方程求解即可.
【详解】解：由题可知0.1+0.24+0.36+c=1，解得c=0.3.故选：A.
【即学即练6】（2022·河北沧州·）已知随机变量X的分布列如表所示，其中a,b,c成等差数列，则abc的最大值是（    ）
X
1
2
3
P
a
b
c

A．19 B．116 C．127 D．132
【答案】C
【分析】由题设条件可得b=13,a+c=23，再利用均值不等式即可求解
【详解】由分布列的性质得，a+b+c=1，又a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，所以b=13,a+c=23，所以abc=13ac⩽13a+c22=127，当且仅当a=c=13时等号成立，所以abc的最大值是127.
故选：C.
知识点04 两点分布与伯努利试验
1.两点分布∶如果随机变量X的分布列为
X
1
0
p
p
1-p
则这个随机变量服从参数为p的两点分布（或0- 1分布）.
2.伯努利试验∶一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.
两点分布也常称为伯努利分布，p常常被称为成功概率.
注意：
(1)两点分布中，随机试验X的取值只有两个可能性∶0或1，且其概率之和为1；
(2)由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率.
【即学即练7】（2022·全国·）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）．
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】CD
【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.
【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；
某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．
故选：CD
【即学即练8】（2022·全国·高二课时练习）下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是______．
①某运动员射击一次，击中目标的次数为随机变量X；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X；
③抛掷一颗骰子，所得点数为随机变量X；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=1，取出白球；X=0，取出红球．
【答案】③
【分析】分析随机变量X的可能取值是否为两种情况，从而作出判断.
【详解】伯努利型分布即两点分布，
其中①某运动员射击一次，击中目标的次数有两种可能，故为伯努利型；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为两种可能，故为伯努利型；
③抛掷一颗骰子，所得点数可能为1,2,3,4,5,6，故不是伯努利型；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=1，取出白球；X=0，取出红球，两种可能，故为伯努利型.
故答案为：③
能力拓展

◆考点01 判断随机试验中的随机变量
【典例1】（2022·江苏·）（多选）如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B．ξ取所有可能值的概率之和是1
C．ξ的取值与自然数一一对应 D．ξ的取值是实数
【答案】ABD
【分析】根据随机变量及其分布列性质即可判断.
【详解】根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；
ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；
ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】此题考查随机变量概念辨析，需要数量掌握随机变量及其分布列的性质，根据性质辨析得解.
【典例2】（2022·全国·高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）最大号码数ξ可取3、4、5，分析可得试验的结果；
（2）呼叫次数η可取0、1、2、…、n，即得答案.
(1)最大号码数ξ可取3、4、5，
ξ=3，表示取出的3个球的编号为：1、2、3，
ξ=4，表示取出的3个球的编号为：1、2、4或1、3、4或2、3、4，
ξ=5，表示取出的3个球的编号为：
1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5；
(2)某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η可取0、1、2、…、n，n∈N+，
表示被呼叫i次，其中i=0、1、2、….
【典例3】（2022·全国·）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示（    ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故ξ=3表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
◆考点02 由离散型随机变量的分布列求概率
【典例4】（2023·全国·）袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率.
【答案】分布列见解析；至少有一个红球的概率为2328
【分析】由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，分别求解PX=0，PX=1，PX=2，PX=3，由此能求出X的概率分布，进而求得至少有一个红球的概率.
【详解】由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，
PX=0=C30C53C83=1056=528，PX=1=C31C52C83=3056=1528，PX=2=C32C51C83=1556，PX=3=C33C50C83=156
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156

设“求至少有一个红球的概率”为事件M，则PM=PX≥1=1−PX=0=1−528=2328，
故求至少有一个红球的概率为2328.
【典例5】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知随机变量X的分布列如表所示：若Y=2X+1，则P(Y=3)的值为（    ）
X
1
2
3
4
5
p
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】利用Y=2X+1，求出X的值，根据随机变量X的分布列即可求解.
【详解】解：因为Y=2X+1，则当Y=3时，X=1，所以P(Y=3)=P(X=1)=0.1.
故选：A.
◆考点03 两点分布的分布列
【典例6】（2022·全国·高二课时练习）对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”．定义X=1,A发生0，A发生，如果PA=p，那么X的分布为______．
【答案】011−pp
【分析】根据两点分布的定义即可得到结果.
【详解】由题意可知，因为PA=p，则PA=1−p故答案为:011−pp
【典例7】（2022·全国·高二课时练习）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X=0,两球全是白球,1,两球不全是白球,求X的分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】由X服从两点分布求解.
【详解】解：由题设知X服从两点分布，且PX=0=C52C152=221，PX=1=1−PX=0=1921．
所以X的分布列为
X
0
1
P
221
1921
分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ia（i=1，2，3，4），则P(2≤X