专题11 玩转指对幂比较大小-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题11 玩转指对幂比较大小
【题型归纳目录】
题型一：直接利用单调性
题型二：引入媒介值
题型三：含变量问题
题型四：构造函数
题型五：数形结合
题型六：特殊值法
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
【典例例题】
题型一：直接利用单调性
例1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由对数运算公式可得，
因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即
因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即，
所以，
故选：B.
例2．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，而，所以；
又，
令，
而函数在上递增


故选：A
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则1a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，，
，
∴.
故选：A.
题型二：引入媒介值
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为.
所以.
因为.
所以.
所以.
故选：A.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以.
故选：C
例6．（2023春·山西大同·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
因为，
所以.
故选：D.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故选：B.
变式2．（2023春·福建泉州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的单调性可得，，
根据对数函数的单调性可得，
所以，
故选：D.
变式3．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
题型三：含变量问题
例7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，，，其中，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为，所以，，，且，所以，故A错误；
因为，，即，故B错误，C正确；
因为，，即，故D正确.
故选：CD.
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若，则下列说法中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由于
对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误
对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误
对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确
对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确
故选：CD
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；
由题意得：，所以，B正确；
，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误；
，其中，，所以，即，D正确.
故选：BD
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由知：，即，而，即，
∴，而在定义域上单调递增，
∴.
故选：B.
题型四：构造函数
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．
故选：D
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以，
设，则，
所以在上单调递增.
所以，即，
于是有，所以，即，
所以.
故选：B.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
得，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又因，
且，
所以，
即，
所以.
故选：D.
变式6．（2023·上海·高三专题练习）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】构造函数法
记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩得，因此.
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
变式7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，即，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递减，所以，故D正确；
当，，满足，但是，故B错误；
当，，满足，但是，故C错误；
故选：AD
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则，，的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
题型五：数形结合
例13．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；

故选：A.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系内，作出函数，，，的图像如下：
因为，，，
所以是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；
由图像可得：.
故选：C.

例15．（2023·全国·高三专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．
【答案】
【解析】函数的零点，
即为方程的解，
在坐标系中分别画出函数与的图象，
如图所示，结合图象，可得.
故答案为：.

变式9．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设函数为，而.

如图，的图象在的下方，而且随着的增大，的图象与的图象越来越接近，即当时，的值越来越大，所以有，.
方法二：构造函数，
则，，
，
在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，
所以，，即.
故选：B.
题型六：特殊值法
例16．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为， 所以取，则
，
，
，所以.
故选：C.
例17．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列选项中正确的为（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】A错，例如满足，便；
B正确，，，又，所以，而，所以；
C正确，设，，，则，，
所以，即．
D错误，，，，所以，不一定成立．
故选：BC．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设.
因为，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当，且时，，即．
所以，，所以最小，
又因为，所以．综上可知，．
故选：B
2．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数.若，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，即，
又是增函数，所以．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，，即，，
又，所以，
所以；
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得，
因为，所以，即，
所以，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．
故选:D．
6．（2023·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数在上单调递减，若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，而偶函数在上单调递减，
则，而，即，
所以.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为当时，对任意的不相等实数总有成立，故当时为减函数，又偶函数，且，，故，故
故选：D
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知，，，，则下列命题正确的有（      ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A，，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，若，则，即，故B错误；
对于C，若时，，
此时无意义，故C错误；
对于D，，则，
则，
所以，故D正确.
故选：AD.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知x，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为x，且，即x，，且，设，因为函数在R上单调递增，函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，
A，由，得，所以，故选项A正确；
B，因为x，，所以当x=0或y=0时，，没意义，故选项B错误；
C，因为，而只有当时，才能成立，故选项C错误；
D，因为，所以，即，故选项D正确．
故选：AD
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b满足（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由，则,则
所以，所以选项A不正确.
,所以选项B不正确.
由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.
因为，故等号不成立，故选项D正确.
故选：CD
14．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】为正数，可设，则，，；
对于AB，，
，，又，，A正确，B错误；
对于CD，，
，，又，，C错误，D正确.
故选：AD.
15．（2023·全国·高三专题练习）下列不等关系中一定成立的是（    ）
A． B．
C．， D．，
【答案】ABC
【解析】A. 因为，所以，故正确
B.因为在上递增，则，因为在上递减，则，所以 ，故正确；
C. 因为，所以，，故正确；
D. 当时， ，故错误；
故选：ABC
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，的零点为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故
故选：BCD.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以当时，，因为，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以D正确，
故选：BD
18．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
对于A，
，故A不正确；
对于B，，

，
，故B正确；
对于C，

，故C 正确；
对于D，由B知，，故D正确；
故选：BCD.

三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
【答案】或
【解析】因为是R上的减函数，且，
所以，所以，
因为是R上的增函数，且，
所以，所以，
所以
故答案为：或
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则a，b，c三者的大小关系是___________．
【答案】
【解析】显然有，
因为，
所以该函数是偶函数，
当时，由函数的单调性的性质可知该函数单调递增，
，
，因为，所以，
因为，所以，
因此，所以有，
即，
故答案为：
21．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知，则正实数，1三者的大小关系是 ___________；
【答案】
【解析】，故；，故；
，故，故，.
故，
故答案为：
22．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习），则的大小关系为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，且，即，
所以，
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知， ，，则的大小关系为_____________．
【答案】
【解析】因为，，，
故，
故答案为：
24．（2023春·四川眉山·高三校考开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为_______.
【答案】
【解析】因为，，.
故答案为：.
25．（2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校考模拟预测）设，，，则a，b，c大小关系为___________.
【答案】
【解析】由题意可知， ，
，
当时，在上单调递增，
因为，即.
，所以.
故答案为：.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知，，设，，，则a，b，c的大小关系是______.（用“＜”连接）
【答案】
【解析】由题意，知.
因为，
所以，
由，得；由，得，
所以，可得，
由，得；由，得，
所以，可得，
综上所述，a，b，c的大小关系是.
故答案为：.