专题15 单调性问题-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题15 单调性问题
【题型归纳目录】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
题型二：求单调区间
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
题型四：不含参数单调性讨论
题型五：含参数单调性讨论
【考点预测】
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【方法技巧与总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
【典例例题】
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【方法技巧与总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，单调递增，则在上增的越来越快，
当时，单调递减，则在上增的越来越慢，
当时，单调递减，则在上减的越来越快，
当时，单调递增，则在上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为______________.

【答案】
【解析】由函数图象可得，在定义域内函数的单调递减区间为 ，
故不等式的解集为：，
故答案为：
题型二：求单调区间
【方法技巧与总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
令，解得
又函数的定义域为
则函数的单调递增区间为．
故答案为：．
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间为__________．
【答案】
【解析】∵，则
令，则
∴函数的单调减区间为
故答案为：.
例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是______________.
【答案】
【解析】的定义域为R，
且，令，解得：，
即函数的单调递增区间是.

故答案为：
变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数，的增区间为___________.
【答案】
【解析】由已知得，，
令，即，解得，
令，即，解得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
故答案为:.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.
【答案】(1，2)
【解析】f′(x)＝6x2－18x＋12，
令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
故答案为：(1，2)
变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是________.
【答案】，
【解析】的定义域是，，
由，即，解得或，
故的单调递增区间是，
故答案为：，
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
例9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，
即，
∴．故的取值范围为．
故选：B.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】，
因为在上是减函数，
所以在上恒成立，
即，
当时，的最小值为，所以，
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
因为函数在上不单调
所以必有解
当只有一个解时，
得出函数在上单调递增，与题干矛盾，故必有两个不等实根
则，解得或
故答案为
变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】在上恒成立，根据二次函数图像可知，应满足，解得.
题型四：不含参数单调性讨论
例10．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间．
【解析】（1），则，得．
由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由已知得．
又由（1）知，所以．
故．
，
由，得，或；由，得．
故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的图象在点处切线的方程；
（2）证明：函数在区间上单调递增.
【解析】（1），则，
又，
则函数图像在点处切线的方程为.
（2），当时，，，
则，故函数在区间上单调递增.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，求的单调区间．
【解析】，
当，，当，，
所以的减区间为，的增区间为.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论的单调性．
【解析】当时，，则，
当时，，
当时，，
故的减区间为，增区间为.
题型五：含参数单调性讨论
【方法技巧与总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【解析】因为的定义域是，
所以，
当时，在定义域上恒成立，在单调递增.
当时，令，解得，，
当和时，，当时，，
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
综上可得：当时在单调递增，
当时在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（），求的单调区间；
【解析】函数的定义域为，
，
令，则或，
当，即时，，
所以函数在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为；
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性；
【解析】因为，
所以
若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【解析】因为，所以.
若，则恒成立；
若，则当时，，当时，.
故当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调单调递减区间为，递增区间为.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.
【解析】因为，
所以．
①当时，，在上单调递增；
②当时，时，；
时，；
故在和上单调递增，在上单调递减．
综上：当时， 在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，在上单调递减．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
【解析】由题设，，   
当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，令 得或，  
当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.
当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在上单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递增，，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数，则的单调增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，求导得：，由，解得，
所以的单调增区间是.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】∵函数在上是增函数，
∴在上恒成立，
∵，
∴当时，恒成立，满足题意；
当时，在上恒成立，
在上恒成立，
故只需，解得：，故可得：
当时，在上恒成立，
在上恒成立，
故只需，解得：，故可得：
综上可得：实数a的取值范围是，
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵x∈时，，
∴若在内单调递减，则在上恒成立，
即得在恒成立，∴.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，则或（舍），
因为在区间上不单调，故即，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（    ）
A． B．，
C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，，
，
因为，所以由得，
故选：C．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于A，，所以在上单调递增；
对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；
对于D，，所以在上单调递减．
故选：AB．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是

A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】BD
【解析】由题意，当时，；当，；当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A错，B正确；C错，D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.

【答案】
【解析】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
12．（2023·上海·高三专题练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】，，
故只需在上恒成立，
则在上恒成立，
其中在上恒成立，
故，所以，
故答案为：.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的单调递减区间是________ ．
【答案】
【解析】，令，解得 ，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意不相等的正数都有恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由，不妨设，
由可得，
即，
根据单调性的定义可得在为增函数，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
所以，.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.

【答案】
【解析】根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，
又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，
∴，
故最大为.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，求导得：，
由，即，解得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
四、解答题
17．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，

，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．求f（x）的单调区间.
【解析】由题意，可得，，
令，，
当时，，当时，，又，
时，，时，，
在递增，在递减；
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间为，求实数的值．
【解析】的单调递减区间为,
，是的两个根，
，
即.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数的单调区间.
【解析】(1)当时，，
则，
又，
设所求切线的斜率为，则，
则切线的方程为：，
化简即得切线的方程为：.
(2)，其定义域为，
，
∵，∴ax＋1＞0，
∴当时，；
当时，.
的增区间为，减区间为.
21．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)若在点处的切线为，求a，b的值；
(2)求的单调区间.
【解析】（1）的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
（2）由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
列表得：
x




-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，＝－a，
当a≤0时，>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，则当x∈时，>0；
当x∈时，<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【解析】的定义域为，.
当，则x∈时，，故在单调递增.
当a＜0，则x∈时，；x∈时，
故在单调递增，在单调递减.
综上所述, 当在上单调递增；
当在上单调递增，在上单调递减.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性．
【解析】的定义域为，，
若，则恒成立，故在上为减函数；
若，则当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
综上，当时，在上为减函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数．
25．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
(2)讨论函数的单调性；
【解析】（1），，解得：；
由切线方程知：时，，，解得：.
（2）由题意知：定义域为，；
①当时，，在上恒成立，
在上单调递减；
②当时，令，解得：，；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.