专题30 快速掌握二项式定理基本题型-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题30 快速掌握二项式定理基本题型
【考点预测】
知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【典例例题】
例1．（2023·河南南阳·高二统考期末）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则有，即，
再令可得，
所以，
故选:A.
例2．（多选题）（2023·浙江绍兴·高三期末）已知，函数，其中x的系数为8，则的系数可能为（    ）
A．12 B．16 C．24 D．28
【答案】AB
【解析】x的系数为8，则，
当或时，的系数为；
当时，则的系数为，
因为，所以可能为7，12，15，16，21，
则可取12，16.
故选：AB．
例3．（2023·湖南长沙·高三校考阶段练习）若，则______.
【答案】
【解析】令，则；
令，则；
故.
故答案为：.
例4．（2023·河北保定·高三校考期末）的展开式中的常数项是________．
【答案】
【解析】二项式展开式的通项为，
令，可得，故，
所以展开式的常数项为．
故答案为：
例5．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）的展开式中的系数是__________.
【答案】14
【解析】的展开式的通项为，
令，则，
令，则，
故的系数是.
故答案为：14.
例6．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知，则________．
【答案】243
【解析】令，得，①
令，得，②
②①，得，即．
①②，得，即．
所以．
故答案为：.
例7．（2023·江苏无锡·高三统考期末）若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．
【答案】60
【解析】展开式第项，
，
第5项为常数项：，，，
．
故答案为：60.
例8．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）的展开式中，项的系数为_________．
【答案】40
【解析】，
的展开式中项为，
的展开式中没有项，
所以的展开式中含项的系数为40．
故答案为：40.
例9．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为__________.
【答案】7
【解析】,
所以,又,均为正整数，
所以为7的倍数,故,此时满足题意，
故答案为：7.
例10．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在的展开式中的系数为_____．
【答案】15
【解析】因为，
且的展开式为，
故的系数为．
故答案为：15．
例11．（2023·山东东营·高二统考期末）已知，则______．
【答案】10
【解析】，其二项展开式的通项为，
是展开式的系数，令，可得.
故答案为:10.

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不属于的展开式的项的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，含项的系数为（    ）
A．160 B．192 C．184 D．186
【答案】B
【解析】二项式的展开式的通项，
当时，，项的系数为192.
故选：B.
3．（2023秋·广东·高三统考期末）的展开式中含的项的系数为（    ）
A． B．60 C． D．30
【答案】A
【解析】的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
的展开式中含的项的系数为.
故选：A.
4．（2023·全国·高二专题练习）的展开式的常数项为（    ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【解析】由题意得的展开式的通项为，
令，则，
所以的展开式的常数项为.
故选：D.
5．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）
A．-960 B．960 C．448 D．-448
【答案】D
【解析】依题意只有时第5项的二项式系数最大，
项的系数为.
故选：D
6．（2023秋·浙江·高三期末）二项式的展开式中的常数项是（    ）
A． B．15 C．20 D．
【答案】B
【解析】展开式通项为：，
令，常数项为．
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（    ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【解析】二项式的展开式中，通项公式为，
，时为有理项共6项，故无理项的项数共有
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）二项式展开式中，有理项共有（    ）项．
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】二项式展开式中，
通项为，其中，
的取值只需满足，则，
即有理项共有7项，
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为；
③所有奇数项的二项式系数和为；
④所有偶数项的二项式系数和为．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】第9项的系数为，第5项的系数为，，故①错误；
令，得所有项的系数和为，故②正确；
所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和且为二项式系数和的一半，故为，故④正确，③错误；
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）按降幂排列的展开式中，系数最大的项是（    ）
A．第项和第项 B．第项
C．第项和第项 D．第项
【答案】B
【解析】因为的展开式通项为，
其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，
故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.
故选：B.
11．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（    ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】令得，
令得，
所以．
故选：A．
12．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵，
令，则，即，
令，则，即，
，即.
故选：C.
13．（2023·全国·高三专题练习）若，则(    )
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】B
【解析】，
令可得，
令可得，
两式相加可得，∴．
故选：B．
14．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）展开式中，的系数为（　　）
A． B．320 C． D．240
【答案】A
【解析】因为，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，
因此项的系数为：，
故选：A.
15．（2023·广东广州·统考二模）若的展开式的各项系数和为8，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】令得，解得
故选：C.
16．（2023·全国·高二专题练习）今天是星期三，再过天是星期（    ）．
A．一 B．二 C．四 D．五
【答案】C
【解析】
，
因为是整数，
所以除以7的余数为1，
今天是星期三，再过天是星期四.
故选：C．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（    ）
A．1 B．3 C．7 D．13
【答案】D
【解析】由，
∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，
∴，当k=1时，m=13满足题意.
故选：D
二、多选题
18．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第4项的二项式系数最大
D．展开式中含项的系数为84
【答案】ABD
【解析】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；
对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B正确；
对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，
所以，又，
所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误；
对于D，因为的展开通项为，
令，得，则，所以含项的系数为84，故D正确．
故选：ABD．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
【答案】BD
【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，
令，得所有项的系数和为，故B正确，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，
因为展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：BD．
20．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）对于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ）
A．各项系数之和为0 B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项 D．x的系数为－28
【答案】AC
【解析】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；
对于B，二项式系数最大的为，故B不正确；
对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确；
对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
21．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）二项式的展开式的常数项为________．
【答案】60
【解析】根据二项展开式的通项，
令，，则，
故常数项为60.
故答案为：60.
22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）二项式的展开式中常数项为，则的值为______．
【答案】1
【解析】由题意可得二项式的展开式的通项为 ，
令 ，
则，解得 ，
故答案为：1
23．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【答案】40
【解析】因为二项式系数和，
因此，
又，
令，常数项为.
故答案为：40.
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）在展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）
【答案】100
【解析】中只有的展开式中才含有，
故中的项与展开式中含的项相乘得到，
展开式中项的系数为，
故的项的系数为.
故答案为:100.
25．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示）
【答案】和
【解析】解:由题知,记展开式的通项为,
则,
由,得或8,
所以,
故有理项是和.
故答案为:和
26．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
【答案】
【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
27．（2023·全国·高二专题练习）若在的展开式中，第4项是常数项，则______________．
【答案】12
【解析】设展开式中第项为，则，
又展开式中第4项是常数项，
∴时，，
∴
故答案为：12
28．（2023·全国·高二专题练习）若的展开式中存在非零常数项，则正整数n的最小值为___________.
【答案】7
【解析】的展开式的通项，
令，得，因为，所以当时，有最小值为7.
故答案为：7.
29．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）在的展开式中，的系数为____________.
【答案】150
【解析】两个二项式展开式的通项之积为
，，
则令，解得，
故展开式中的系数为.
故答案为：150.
30．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）的展开式中，的系数等于____________．（用数字作答）
【答案】120
【解析】由题意分两种情况：
①，
②，
故的系数为：，
故答案为：120.
31．（2023·全国·高三专题练习）若的二项展开式中系数最大的项为第7项，则______．
【答案】12
【解析】的二项展开式有项，
因为系数最大的项为第7项，由二项式系数性质可得.
故答案为：12.
32．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______.
【答案】60
【解析】由题可知：，所以，
展开式通项为，
令，得4，常数项为.
故答案为：60.
33．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）若，则__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】令，则有，
令，则有，
所以.
故答案为：
34．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________.
【答案】
【解析】由展开式的二项式系数之和为64得，解得，
即，其展开式的通式为
令得，

故答案为：.
35．（2023·全国·高三对口高考）的展开式中二项式系数和为_____________．
【答案】32
【解析】的展开式中二项式系数和为
．
故答案为：32.
36．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）的展开式中，常数项是______________.
【答案】
【解析】的展开式通项为，
令，得，
故常数项是．
故答案为：．
37．（2023春·浙江·高三开学考试）展开式中含项的系数为__________．
【答案】21
【解析】展开式的通项公式为，
令则，
所以含项为，
所以系数为21，
故答案为：21．
38．（2023·高三课时练习）二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，且x的次数为整数的项）的系数之和为_________.
【答案】32
【解析】二项式的展开式的通项公式，
由为整数，得，
所有有理项的系数之和为.
故答案为：32
39．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）若的展开式中的系数为9，则实数__________．
【答案】1
【解析】展开式的通项公式为：，
则，，
所以展开式中的系数为，
解得．
故答案为：1
40．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为___________.
【答案】
【解析】因为的展开式中各项系数和为，
所以，即．
所以的常数项为．
故答案为：80
41．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
【答案】
【解析】的展开式中的系数，是的展开式中的系数与的展开式中的系数之积，
即.
故答案为：
42．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数最大的项________．
【答案】     9    
【解析】由题意得：，解得：或，
因为，
所以（舍去），从而，
因为二项式的展开式通项为：，
所以系数为，要求其最大值，
所以只要满足，即，
解得：，
因为，
所以，
所以系数最大项为
故答案为：9；
43．（2023秋·河北保定·高三统考期末）的展开式中x项的系数是___________．
【答案】
【解析】，，
展开式中项的系数为，
故答案为：4
44．（2023·全国·高二专题练习）已知，若，则自然数n＝______.
【答案】5
【解析】令，得，
令，得，所以，.
故答案为：5.
45．（2023·高二课时练习）若今天是星期二，则天后是星期______．
【答案】一
【解析】令

，
所以除以7的余数为6，故今天是星期二，则天后是星期一，
故答案为：一
46．（2023·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是______．
【答案】0.96
【解析】因为，
且将精确到0.01，故近似值为0.96
故答案为：0.96
四、解答题
47．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________.
【解析】展开式的通项为:
，
令，解得，故展开式的常数项为．
由题意可得，故有．
由于展开式的系数最大的项等于，，解得．
由于，所以
故答案为：