专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程
【考点预测】
求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。
【典例例题】
例1．（2023·高二课时练习）等腰三角形ABC中，若底边的两个顶点的坐标分别为，则第三个顶点C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，底边的两个顶点为，则，
即第三个顶点C在线段的垂直平分线上，
设，易知的中点坐标为，，
所以的垂直平分线斜率，利用直线的点斜式方程可得
即的垂直平分线方程为，
又三点构成三角形，所以，
即C的轨迹方程为.
故选：A
例2．（2023·高二课时练习）若x轴上方的一动点P到x轴的距离与它到原点的距离的比是，则点P的轨迹方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，其中，P到x轴的距离为，P到原点的距离，
由题意知，整理得，所以，
故点P的轨迹方程是，
故选：C
例3．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设,因为,所以
又因为,所以,
即得
可得点的轨迹方程为
故选:.
例4．（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】因为M到顶点和的距离的和为，
所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），
则，，所以，，
M的轨迹方程为.
故答案为：.
例5．（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为________.
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以E的轨迹方程为.
故答案为：.
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知的周长是16，，，则动点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】因为的周长是16，，，
所以，，
故点到两个定点的距离之和等于定值，且大于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆（注意不共线），
易得，故，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：.
例7．（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，
所以，，抛物线方程为.
故答案为：.
例8．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【答案】
【解析】设，，则由已知可得.
又是线段的中点，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的轨迹方程是.
故答案为：.
例9．（2023·高二课时练习）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程．
【解析】因为△ABC的周长为16，
所以，设，
因此顶点C的轨迹是以A（－3，0），B（3，0）为焦点不与横轴相交的椭圆，
设，
所以，
所以顶点C的轨迹方程为.
例10．（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．
【解析】设点，因为中的两个顶点是，
所以，，
因为边与边所在直线的斜率之积是，
所以，整理得
所以，顶点的轨迹方程为，
所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线.
例11．（2023·高二课时练习）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程．
【解析】依题意可得，
两边平方得，即，
当时，；
当时，.
所以点P的轨迹方程为：或.

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.

故选：D
2．（2023·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】错∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，作图如下：

易知，则，即，
故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为，则，则，
故，则椭圆方程为：.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．

5．（2023·广东广州·高二秀全中学校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A.
6．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（    ）
A． B．（y≠0）
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
7．（2023·湖南娄底·高二校联考期末）已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，则满足.故 .故.
又点在圆上.故.
故选:C
8．（2023·全国·高三专题练习）的两个顶点为,周长为16，则顶点C的轨迹方程为（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知点C到A、B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以为焦点,长轴长为10的椭圆,.故.所以方程为.
又故三点不能共线,所以
故选A
9．（2023·全国·高三对口高考）动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，因为与点连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以，即；故选B.
【点晴】本题主要考查求轨迹方程的求法，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
二、填空题
10．（2023·四川资阳·高二校考期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】圆的圆心为，，
圆的圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，则，，
由椭圆定义得的轨迹方程为，
故答案为：
11．（2023·上海·高三专题练习）已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于，则动点的轨迹方程为__．
【答案】
【解析】平面上动点到两个定点和的距离之和等于，
满足椭圆的定义，可得，，则，
动点的轨迹方程为：，
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【答案】
【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】设点，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即.
因此点P的轨迹方程是.
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为：，定点，若，为圆上的两个动点，则线段的中点的轨迹方程为______；若弦经过点，则中点的轨迹方程为______．
【答案】         
【解析】设，，因为为线段的中点，所以，，
又因为为圆上一点，所以，即，
所以点的轨迹方程为．
因为的中点为，所以，又因为经过点，
所以，所以点的轨迹是以线段为直径的圆，
其轨迹方程为．
故答案为：；.
16．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，

根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
17．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.
【答案】
【解析】设动圆的圆心为，半径为R，
因为动圆与圆外切，与圆内切，
所以，
所以，
所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：
18．（2023·高二课时练习）设圆，过原点作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】∵∠OPC=90°，动点P在以M(,0)为圆心，OC为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为.
19．（2023·高三课时练习）已知点与两个定点、的距离的比为，则点的轨迹方程为_____．
【答案】
【解析】设点坐标为，
因为点与两个定点、的距离的比为，
所以，，
，，
化简得，故点的轨迹方程为．
三、解答题
20．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.求点的轨迹方程；
【解析】设线段中点为，点，

，，
，，
又因为点A在圆上，

，
即点C的轨迹方程为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小，求点的轨迹方程．
【解析】由题意可知，点到点的距离和点到直线的距离相等，
故点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设点的轨迹方程为，则，解得，
故点的轨迹方程为.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
【解析】方法一：设点，
，，，，
由题意可知：，
，，
整理得：，
三点不共线，
应去除.
直角顶点的轨迹方程为：(除去两点.
方法二：设BC中点为D()，则DB＝DC＝DA，即A在以D为圆心，为半径的圆上(不能和B、C重合)，
故A的轨迹方程为(除去两点).
24．（2023·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
（2）设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
25．（2023·高二课时练习）如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．

【解析】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R，
则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2，
所以|PF|－|PE|＝2.
由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支，
因为a＝1，c＝2，所以b＝，
所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程．
【解析】设点坐标为，
因为点与两个定点，的距离的比为，
所以，
整理得.
故答案为：
27．（2023·广西桂林·高二校考期中）（1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；
（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.
【解析】（1）由题知，点在圆上运动，定点，
设，
因为点为线段的中点，
所以，即，
因为点在圆上，即，
所以，化简得
所以点的轨迹方程为；
（2）由题知，两定点，动点满足，即，
设，
所以，
因为，
所以，化简得，
所以点的轨迹方程为；
28．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
【解析】（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，

分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段的长度；
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
，
，
,
．
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，

顶点的轨迹方程为
29．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.
【解析】（1）设圆心C的坐标为，半径为r，
∵圆心C在直线上，
∴，
∵圆C经过，两点，
∴，
即，
化简得：，又，
所以，
∴圆心C的坐标为，，
所以圆C的标准方程为：；
（2）设，，
∵M为OP的中点，
∴，
∴，
∵P在圆C上，
∴，即，
∴OP的中点M的轨迹方程为.
30．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）平面内，动点到点的距离与它到直线的距离之比为．求动点的轨迹方程．
【解析】设
得，
点到直线的距离
由题可知：
化简得：
所以动点的轨迹方程为
31．（2023·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【解析】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.
【解析】整理可得：圆，圆的圆心，半径；
圆与圆相外切，，
动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支，
，，，，
动圆圆心的轨迹方程为：.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程.
【解析】设，，由重心公式得：，整理可得：，
又在抛物线，，即，
的重心的轨迹方程为：.
34．（2023·高二课时练习）如图，点P是圆：上的动点，作轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形.

【解析】设M的坐标为，则P的坐标为.
因为点P在圆O上，则，整理得：.
所以M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆.
35．（2023·高二课时练习）已知两个定点，，动点P满足直线PA和直线PB的斜率乘积为，求点P的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线．
【解析】设所求轨迹上任意点且，
因为定点，，动点满足直线和直线的斜率乘积为，
则，所以，
整理得，即，其中，
点的轨迹表示以为焦点的椭圆.