专题36 圆锥曲线基础过关小题-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题36 圆锥曲线基础过关小题
【考点预测】
一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


统一方程

参数方程


第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长短轴长
长轴长短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距

离心率

点和椭圆
的关系


通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长

（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
标准方程


图形

y
x









B1
B2
F2
A2




A1

F1






B1
F1
x

y









A1
F2
B2

A2


焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围


实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率

渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系


共渐近线的双曲线方程


弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
标准方程

y
x
O


F
l

y
x
O


F
l

F
y
x
O


l

图形
y
x
O


F
l
























对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标




准线方程




三、抛物线中常用的结论
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典例例题】
例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．7

例2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．

例3．（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．4

例4．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（    ）
A． B．
C． D．

例5．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．

例6．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ）
A．6 B． C．3 D．

例7．（2023秋·河北邢台·高二统考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例8．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

例9．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）双曲线的一条渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．

例10．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10

例11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

例12．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ）
A．1 B． C．2 D．3

例13．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（    ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线

例14．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线

例15．（2023·陕西西安·统考一模）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.

例16．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆，过左焦点F作直线交C于A，B两点，连接（O为坐标原点）并延长交椭圆于点D，若，则椭圆的离心率为_____________．

例17．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是_______．


【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东烟台·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为的直线交椭圆于、两点，则的周长为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东潍坊·高二统考期末）设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（    ）
A．2a B．2b C．4a D．4b
3．（2023·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ）
A．1 B． C． D．
5．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）椭圆上一点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为（   ）
A．5 B．3 C．4 D．7
6．（2023·江苏盐城·高二校考期末）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（    ）
A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为
C．点到原点的距离的最大值为 D．椭圆的离心率为
7．（2023·甘肃兰州·高二校考期末）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ）
A．20 B．16 C．14 D．12
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ）
A．2 B． C．4 D．
9．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
12．（2023·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ）
A． B． C．或 D．或1
13．（2023·山西运城·高二统考期末）椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
14．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）椭圆的焦点坐标是（    ）
A． B．
C． D．
15．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ）
A．2 B．1 C． D．4
16．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
17．（2023·安徽淮北·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．
18．（2023·山东烟台·高二统考期末）若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（    ）
A． B． C． D．
19．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ）
A． B． C． D．
20．（2023·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ）
A． B． C．或 D．
21．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
22．（2023·辽宁营口·高二统考期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
24．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（    ）
A．2 B． C．8 D．4
25．（2023·江西上饶·高二统考期末）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
26．（2023·河北邢台·高二统考期末）已知点，抛物线的焦点为F，射线与抛物线C相交于点M，与其准线交于点N，若，则（    ）
A．1 B．2 C． D．3
27．（2023·广东广州·高二统考期末）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为（    ）
A． B．2 C．4 D．5
28．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ）
A． B． C． D．
29．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若,则该双曲线的离心率为(    )
A． B． C． D．2
30．（2023·湖南张家界·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
31．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为
A． B． C． D．
33．（2023·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ）
A．3 B．2 C． D．
34．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ）
A．4 B．2 C． D．1
35．（2023·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
36．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
38．（2023·浙江宁波·高二统考期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
39．（2023·山东烟台·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的有（    ）
A．若曲线表示椭圆，则或
B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C．若曲线表示双曲线，则
D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
40．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
41．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ）
A． B．
C． D．
三、填空题
43．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______．
44．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.
45．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆上的点.若，是椭圆的两个焦点，则等于________________.
46．（2023·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.
47．（2023·河北保定·高二统考期末）已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则三角形的周长为___________．
48．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.
49．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
50．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为________.
51．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．
52．（2023·江苏连云港·高二统考期末）经过两点的椭圆的标准方程为______.
53．（2023·高二课时练习）经过和两点的椭圆的标准方程为______．
54．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O是坐标原点，，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，M是E上一点，，且的面积为，则E的离心率为______．
55．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知为坐标原点，为双曲线（，）的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为______．
56．（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为______．
57．（2023·高二课时练习）经过两点，，且焦点在x轴上的双曲线的标准方程为______．
58．（2023·高二课时练习）点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为______．
59．（2023·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______
60．（2023·高二课时练习）双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．
61．（2023·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线的一个离心率______．
62．（2023·陕西榆林·高二统考期末）过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为______.
63．（2023·山西临汾·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且，为坐标原点，则的面积为________.
64．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
65．（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为______.
66．（2023·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则______.
67．（2023·高二课时练习）直线与椭圆相交于A、B两点，则______．
68．（2023·湖北·校联考模拟预测）过抛物线焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若，则p的值为______.
69．（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．
70．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
71．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则b=______．
72．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为__________，的最小值为___________．
73．（2023·高二课时练习）如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是______，最小值是______．