广东省佛山市顺德区卓越高中2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

顺德区卓越高中2022学年第一学期高一年级期中联考

数学测试卷

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

第I卷（选择题）

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A. (1，2) B. (0，1) C. (-∞，2) D. (0，+∞)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据根式有意义化简集合，再进行集合的运算，即可得到答案；

【详解】，，

，

，

故选：D.

2. 命题“”的否定（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】全称命题的否定为特称命题，具体的否定方法：改量词，否结论.

【详解】因为原命题“”，所以其否定为“”，

故选：D.

3. 已知命题，命题，，则成立是成立的（  ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解不等式可得，

对于命题，当时，命题明显成立；

当时，有：，解得：，

即命题真时，

故成立是成立的充分不必要条件.

故选A.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出的值，故不等式即为，从而可求其解，从而得到正确的选项．

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两根，

∴，解得.

∴不等式为，

解得，

∴不等式的解集为.

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.本题属于基础题．

5. 若函数，且，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后由求出的值.

【详解】设，则，，

则，解得，故选A.

【点睛】本题考查函数解析式的应用，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.

6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.

【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，

所以在上单调递增，且，

则等价于或，

根据的单调性和奇偶性，解得或，

故选：A

7. 已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（　　）

A. M﹣（M﹣N）＝N B. （M﹣N）+（N ﹣M）＝

C （M+N）﹣M＝N D. （M﹣N）∩（N ﹣M）＝

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合的新定义逐一判断即可.

【详解】解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x}，

且，

或，

对于A，M﹣（M﹣N）＝M∩ N，故A不正确；

对于B，设，，

则（M﹣N）+（N ﹣M）＝ ，故B不正确；

对于C，设，，

则（M+N）﹣M＝，故C不正确；

对于D，根据题中的新定义可得：（M﹣N）∩（N﹣M）＝．

故选：D．

8. 已知函数则（    ）

A. 最大值为，最小值为 B. 的最大值为，无最小值

C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为，最小值为

【答案】C

【解析】

【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．

【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，

然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．

由图象可知，当时，取得最大值，

所以由得或．

结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．

故选：C．

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（    ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

【答案】AC

【解析】

【分析】根据相等函数的定义逐个选项进行判断可得答案.

【详解】对于A，，两个函数的定义域相同，都是，对应关系相同，故为相同函数，故A正确；

对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两个函数不为相同函数，故B错误；

对于C，两个函数的定义域相同，都是，对应关系相同，故为相同函数，故C正确；

对于D，因为的定义域为，所以，两个函数的对应关系不同，故不为相同函数，故D错误.

故选：AC

10. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若且，则

D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断B正确；作差比较可判断C正确；取特值可判断A、D错误.

【详解】若,，则，故A错误；

若，则，，故B正确；

若且，则，即，故C正确；

若，取，，，则，，

此时，故D错误.

故选：BC

11. 若，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.

【详解】因为，，，

对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，取，，得，故D错误.

故选：ABC

12. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A.  B. 是奇函数

C. 在上有最大值 D. 的解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；

对于B选项，函数的定义域为，

令，可得，则，

故函数是奇函数，B对；

对于C选项，任取、且，则，

即，所以，

所以，函数为上的减函数，

所以，在上有最大值，C错；

对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.

故选：ABD.

第II卷（非选择题）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据待定系数法可求出结果.

【详解】因为二次函数有两个零点和1，所以可设，

又因为有最小值，所以，

因为，所以，

所以，.

故答案为：

14. 已知集合，集合，则集合的真子集的个数为__________（填写数字）

【答案】

【解析】

【分析】求出两个集合的并集，再根据列举法和真子集的定义可求出结果.

【详解】因为，，

所以，

所以集合的真子集为：，，，，，,,,,,,,,,.

所以集合的真子集的个数为个.

故答案为：

15. 关于的不等式的任意两个解的差不超过14，则的最大值与最小值的差是__________.

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论解不等式，根据已知条件列式求出的范围得最大、最小值可得结果.

【详解】若，则无解，不符合题意；

若，由得，

当时，得，依题意，得，

当时，得，依题意得，得，

综上所述：的取值范围为或.

所以的最大值与最小值的差是.

故答案为：

16. 设函数,若，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.

【详解】（i）当，即时，，，

由得，即，

因为，所以恒成立，所以；

（ii）当，即时，，，

由得，即，即恒成立，

所以；

（iii）当，即时，，，

由得，即，所以，

综上所述：的取值范围是.

故答案为：

四､解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合的交集、补集运算即可求解；

（2）由题意知,结合数轴建立不等式求解即可.

【详解】（1）时，，

，

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，

所以，

故或，

解得或

故m的取值范围为

【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，集合的真子集，必要不充分条件，属于中档题.

18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；

（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；

②若时函数值域是，求的取值范围.

【答案】（1），图象答案见解析；（2）①减区间：和；②.

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．

（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程的正数解，可得结论．

【详解】（1）当，，则

因为为奇函数，则，

即时，

所以，

图象如下：

（2）如图可知，减区间为：和

，

令

∵∴

故由图可知．

【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．

19. 已知全集为R，集合A={x|(x-6)·(x+3)>0}，B={x|a<x≤a+2}.

（1）若，求实数a的取值范围;

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围.

【答案】（1）[-3，4]   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合A，然后利用数轴比较端点值，求出实数a的取值范围；（2）把A∩B=B转化为B⊆A，然后利用数轴比较端点值，求出a的取值范围

【小问1详解】

，解得：或，所以，∵，B={x|a<x≤a+2}，如图所示

∴解得-3≤a≤4，∴实数a的取值范围为[-3，4].

【小问2详解】

∵A∩B=B，∴B⊆A，如图所示

∴a+2<-3或a≥6，解得a<-5或a≥6，

∴实数a的取值范围为

20. 已知函数是定义在上的奇函数，且

（1）求的值；

（2）用定义法证明：函数在定义域上是增函数；

（3）求使成立的实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）.

【解析】

【分析】（1）解法一：由和列式求出，再检验奇偶性即可得解；解法二：根据在上恒成立，求出，再根据求出；

（2）设且，然后作差、变形、判号，再根据单调性定义下结论即可得证；

（3）根据奇偶性和单调性求解即可.

【小问1详解】

解法一：因为函数是定义在上的奇函数，

所以，得，解得，

经检验时，是定义在上的奇函数.

法二：是定义在上的奇函数，则在上恒成立，

即在上恒成立，则，

所以，又因为，得，所以.

【小问2详解】

由（1）知，.

设且，

则，

，，，

，，在上是增函数.

【小问3详解】

由（1）知在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

所以由，得，

所以，即，解得.

故实数的取值范围是.

21. 已知函数.

（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；

（2）分、两种情况讨论即可.

【详解】（1）对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，

因此，实数a的取值范围是.   

（2）.

当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；

当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时

综上所述，

22. 如图，某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元.

（1）设总造价为（单位：元），长为（单位：），求出关于的函数关系式；

（2）当长取何值时，总造价最小，并求这个最小值.

【答案】（1）   

（2）当的长为米时，总造价有最小值元.

【解析】

【分析】（1）根据题目中已知条件可求出关于的函数关系式；

（2）根据基本不等式可求出结果.

【小问1详解】

设（单位：），因为（单位：），则，所以，

由，得，

所以.

【小问2详解】

因为，

当且仅当，

即（单位：）时，（元）.

答：当的长为米时，总造价有最小值元.