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+重庆市第八中学校2022-2023学年九年级下学期月考数学模拟试卷（5月份）
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2022-2023学年重庆八中九年级下学期月考数学模拟试卷（5月份）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．0.1010010001
C．π D．
2．（4分）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从上面看到的图形状是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．x4÷x4＝x B．a2+a3＝a5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．a2•a2＝a4
4．（4分）某天早上王刚上学，先步行一段路．遇到雅子同学和她爸爸驾车去学校，在雅子邀请下王刚上车和同学一起去学校．结果提前了16min到校．其部分行程情况如图所示．若他出门时步行，正好准时到校，则他的家离学校（ ）
A．2400m B．1600m C．1800m D．2000m
5．（4分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
6．（4分）估计（）÷的值应在（ ）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（4分）下列合题，其中是真命题的为（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．旋转前后的图形一定全等
8．（4分）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝48.6 B．48.6（1+x）2＝60
C．60（1﹣x）2＝48.6 D．48.6（1﹣x）2＝60
9．（4分）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE＝BC，连接OE交BC于点F．若AB＝12，BC＝8，则BF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（ ）
A．16 B．15 C．13 D．12
12．（4分）有依次排列的两个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：x，3﹣x，3，x，x+3；
②第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）计算：﹣（）﹣2+（﹣2021）0＝ ．
14．（4分）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
15．（4分）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）（m﹣3n）（m+n）﹣（m﹣2n）2；
（2）（x+1）÷．
18．（8分）下面是小溪同学设计的“利用直角三角形作矩形的尺规作图过程：
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，O是AC中点．求作：点D，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO；
②以点O为圆心，OB为半径画弧交BO的延长线于点D；
③连接AD、CD，所以四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
根据小溪同学设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（ ）（填推理依据）．
（3）在矩形ABCD的边AB上任取一点E，想在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，并写出简要作图过程）
19．（8分）某学校调查九年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）：
九（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81．
九（2）班10名学生中成绩x在90≤x＜95组中的数据是：94，90，92．
九年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九（1）班
a
94
b
42.8
九（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a、b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）有同学认为九（1）班的成绩更好，请结合表中数据，说说该同学的理由；
（3）九（2）班共有50名学生，请估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数（成绩x≥90即为优秀）．
20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
21．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在A岛西偏南30.96°的B处，即∠ABD＝30.96°，往东行驶10海里后到达该岛西南方向的C处，即∠ACD＝45°．货轮继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96°≈0.60）
23．（10分）根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x2+y2+z2，
例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝22+82+22＝72．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 ；
（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数．
25．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
2022-2023学年重庆八中九年级下学期月考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．0.1010010001
C．π D．
【答案】C
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、π是无理数，故本选项符合题意；
D、化简结果为3，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从上面看到的图形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从上面看这个组合体，看到的是“一”字排列的三个正方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：C．
3．（4分）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．x4÷x4＝x B．a2+a3＝a5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．a2•a2＝a4
【答案】D
【解答】解：A、x4÷x4＝1，故此选项错误；
B、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项错误；
D、a2•a2＝a4，正确；
故选：D．
4．（4分）某天早上王刚上学，先步行一段路．遇到雅子同学和她爸爸驾车去学校，在雅子邀请下王刚上车和同学一起去学校．结果提前了16min到校．其部分行程情况如图所示．若他出门时步行，正好准时到校，则他的家离学校（ ）
A．2400m B．1600m C．1800m D．2000m
【答案】C
【解答】解：由题意可得，王刚步行速度为：600÷10＝60（m/min），坐车速度为：（1200﹣600）÷（12﹣10）＝300（m/min），
设王刚家离学校x米，根据题意，得：，
解得x＝1800，
即他的家离学校1800m．
故选：C．
5．（4分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【答案】B
【解答】解：∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴OB：OD＝1：3，
∴OD＝OB＝2×3＝6，
过C点作CH⊥OD于H，如图，
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，
∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，
在Rt△OCD中，CH＝DH＝，
∴C点坐标为（3，）．
故选：B．
6．（4分）估计（）÷的值应在（ ）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解答】解：原式＝+
＝3+，
∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
故选：C．
7．（4分）下列合题，其中是真命题的为（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．旋转前后的图形一定全等
【答案】D
【解答】解：A．平分非直径的弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
C．在反比例函数中的每一个象限内，y随x的增大而减小，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
D．旋转前后的图形一定全等，这是正确的，是真命题，选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝48.6 B．48.6（1+x）2＝60
C．60（1﹣x）2＝48.6 D．48.6（1﹣x）2＝60
【答案】C
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，60（1﹣x）2＝48.6．
故选：C．
9．（4分）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解答】解：连接OD，
∵CD切⊙O于D，
∴半径OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠ACD＝30°，CD＝2，
∴tanC＝＝＝，
∴OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．
故选：B．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE＝BC，连接OE交BC于点F．若AB＝12，BC＝8，则BF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵OG⊥AB，
∴OG∥BC，
∴AG＝BG＝6，
∴OG＝BC＝4，
∵GE＝BC＝8，
∴BE＝GE﹣BG＝8﹣6＝2，
∵BF∥OG，
∴△BEF∽△GEO，
∴，
∴．
故选：A．
11．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（ ）
A．16 B．15 C．13 D．12
【答案】D
【解答】解：解不等式组得x≤1且x≥a，
∵不等式组无解，
∴a＞1，
由分式方程＝﹣1得y＝，
∵y﹣3≠0，即y≠3，
∴≠3，可得a≠3，
∵分式方程＝﹣1有正整数解，即是正整数，
∴a＝5或a＝7，
∴所有满足条件的a的值之和为5+7＝12，
故选：D．
12．（4分）有依次排列的两个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：x，3﹣x，3，x，x+3；
②第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解答】解：∵第一次操作后的整式串为：x，3，x+3，
∴第二次操作后的整式串为x，3﹣x，3，x+3﹣3，x+3，
即x，3﹣x，3，x，x+3，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为3x（3﹣x）•x•（x+3）＝3x2（9﹣x2），
∵x＜﹣3或x＞3，
∴x2＞9，即9﹣x2＜0，
∴3x2（9﹣x2）＜0，
即第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为x，3﹣2x，3﹣x，x，3，x﹣3，x，3，x+3，
第四次操作后整式串为x，3﹣3x，3﹣2x，x，3﹣x，2x﹣3，x，3﹣x，3，x﹣6，x﹣3，3，x，3﹣x，3，x，x+3，
共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为x+3+x+3＝2x+6，
第二次操作后所有整式的和为x+3﹣x+3+x+x+3＝2x+9，
第三次操作后所有整式的和为x+3﹣2x+3﹣x+x+3+x﹣3+x+3+x+3＝2x+12，
...，
第n次操作后所有整式的积为2x+3（n+1），
∴第2022次操作后，所有的整式的和为2x+3×（2022+1）＝2x+6069，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）计算：﹣（）﹣2+（﹣2021）0＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2﹣4+1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结果有3个，
∴小明和张华两人恰好选中同一根绳子的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 16﹣8π ．（结果保留π）
【答案】16﹣8π．
【解答】解：连接AD，则BD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
即三个圆的半径都是4，
由勾股定理得：AD＝＝＝4，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣3S扇形BFD＝﹣3×＝16﹣8π，
故答案为：16﹣8π．
16．（4分）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 51人或59人 ．
【答案】51人或59人．
【解答】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成x组，由题意得：
∵若每个小组8人，则还余3人，
∴该班人数为：8x+3，
∵若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，
根据题意得出不等式组：
，
解得：5＜x＜8，
∴该班可分为6组或7组，
∴该班有：6×8+3＝51人，或7×8+3＝59人，
故答案为：51人或59人．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）（m﹣3n）（m+n）﹣（m﹣2n）2；
（2）（x+1）÷．
【答案】（1）2mn﹣7n2；（1）﹣x﹣4．
【解答】解：（1）原式＝m2+mn﹣3mn﹣3n2﹣（m2﹣4mn+4n2）
＝m2+mn﹣3mn﹣3n2﹣m2+4mn﹣4n2
＝2mn﹣7n2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣（x+4）
＝﹣x﹣4．
18．（8分）下面是小溪同学设计的“利用直角三角形作矩形的尺规作图过程：
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，O是AC中点．求作：点D，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO；
②以点O为圆心，OB为半径画弧交BO的延长线于点D；
③连接AD、CD，所以四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
根据小溪同学设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）（填推理依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（ 有一个角的直角的平行四边形是矩形 ）（填推理依据）．
（3）在矩形ABCD的边AB上任取一点E，想在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，并写出简要作图过程）
【答案】（1）如图所示，四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角的直角的平行四边形是矩形；
（3）如图所示，连接EO并延长交CD于G，作EG的垂直平分线MN，分别交AD于H，交BC于F，连接EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是菱形．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
（2）证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（有一个角的直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角的直角的平行四边形是矩形；
（3）如图所示，连接EO并延长交CD于G，作EG的垂直平分线MN，分别交AD于H，交BC于F，连接EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是菱形．
19．（8分）某学校调查九年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）：
九（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81．
九（2）班10名学生中成绩x在90≤x＜95组中的数据是：94，90，92．
九年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九（1）班
a
94
b
42.8
九（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a、b的值：a＝ 92 ，b＝ 96 ；
（2）有同学认为九（1）班的成绩更好，请结合表中数据，说说该同学的理由；
（3）九（2）班共有50名学生，请估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数（成绩x≥90即为优秀）．
【答案】（1）92，96；
（2）九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定；
（3）35人．
【解答】解：（1）九（1）班的平均数为a＝×（96+83+96+86+99+98+92+100+89+81）＝92，
九（1）班10名学生的成绩中96分的最多，有2个，故众数b＝96，
故答案为：92，96；
（2）九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定；
（3）50×＝35（人），
答：估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数有35人．
20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝，一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）t＞．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y＝，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN＝+×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴+×2×t＞3，
∴t＞．
21．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
【答案】（1）120元；
（2）a＝25．
【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在A岛西偏南30.96°的B处，即∠ABD＝30.96°，往东行驶10海里后到达该岛西南方向的C处，即∠ACD＝45°．货轮继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96°≈0.60）
【答案】货轮继续向东航行没有触礁的危险．
【解答】解：设AD＝x海里，
在Rt△ABD中，BD＝＝≈x，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝x，
∵BC＝BD﹣CD，
∴x﹣x＝10，
解得x＝15，
∴AD＝15海里，
∵AD＞10海里，
∴货轮继续向东航行没有触礁的危险．
23．（10分）根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x2+y2+z2，
例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝22+82+22＝72．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： 99 ，最小的三位对称数： 101 ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 101101 ；
（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．
【答案】（1）99；101；
（2）101101；
（3）5115，5665，1551，1001，6556，6006．
【解答】解：（1）最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101．
故答案为：99；101；
（2）∵一位数的对称数有9个；
两位数的对称数有9个，
三位数的对称数个位与百位可取1～9，十位可取0～9，
∴有90个；
四位数的对称数个位与千位可取1～9，十位与百位可取0～9，
∴有90个；
五位数的对称数万位与个位可取1～9，千位、百位、和十位可取0～9，
∴有900个，
此时99999为第1098个对称数，
∴第1100个对称数为101101．
故答案为：101101；
（3）设四位的对称数B的各个数位上的数字分别2倍后，取个位数数字分别为a，b，b，a（0≤a≤8，0≤b≤8的整数），
∵K（B）＝8，
∴a2+b2+b2+a2＝8，
∴a2+b2＝4，
∴a＝0时，b＝2；a＝2时，b＝0；
①当a＝0，b＝2时，四位的对称数为5115，5665；
②当a＝2，b＝0时，四位的对称数为1551，1001，6556，6006，
综上所述，B为5115，5665，1551，1001，6556，6006．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）存在，点P的坐标为（1，6）；（3）函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象见解答，方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数为3．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6）＝ax2﹣6ax﹣6a，
即﹣6a＝6，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）存在，理由：
对于y＝﹣x2+x+6，令x＝0，则y＝6，故点C（0，6），
∵点C关于x轴的对称点为点D，则点D（0，﹣6），
①当AB是边时，
∵AB∥DP且AB＝DP＝5，
故点P的坐标为（5，﹣6）或）（﹣5，﹣6），
当x＝5时，y＝﹣x2+x+6＝﹣14≠﹣6，
当x＝﹣5时，y＝﹣x2+x+6＝﹣24≠﹣6，
故两个点P均不在抛物线上；
②当AB是对角线时，设点P的坐标为（x，y），
由中点坐标公式得：（3﹣2）＝（0+x）且（0+0）＝（﹣6+y），解得，
故点P的坐标为（1，6），
当x＝1时，y＝﹣x2+x+6＝6，故点P在抛物线上；
综上，点P的坐标为（1，6）；
（3）函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象如下，
设y′＝x+6，则方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根即为函数y和y′的交点，
从图象看，交点的个数为3个，
故方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数为3．
25．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】（1）30°；
（2）y＝；
（3）12﹣4或8．
【解答】解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，即y2＝（6﹣x）2+（2）2，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；
当BE＝DE时，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．
2022-2023学年重庆八中九年级下学期月考数学模拟试卷（5月份）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．0.1010010001
C．π D．
2．（4分）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从上面看到的图形状是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．x4÷x4＝x B．a2+a3＝a5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．a2•a2＝a4
4．（4分）某天早上王刚上学，先步行一段路．遇到雅子同学和她爸爸驾车去学校，在雅子邀请下王刚上车和同学一起去学校．结果提前了16min到校．其部分行程情况如图所示．若他出门时步行，正好准时到校，则他的家离学校（ ）
A．2400m B．1600m C．1800m D．2000m
5．（4分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
6．（4分）估计（）÷的值应在（ ）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（4分）下列合题，其中是真命题的为（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．旋转前后的图形一定全等
8．（4分）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝48.6 B．48.6（1+x）2＝60
C．60（1﹣x）2＝48.6 D．48.6（1﹣x）2＝60
9．（4分）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE＝BC，连接OE交BC于点F．若AB＝12，BC＝8，则BF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（ ）
A．16 B．15 C．13 D．12
12．（4分）有依次排列的两个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：x，3﹣x，3，x，x+3；
②第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）计算：﹣（）﹣2+（﹣2021）0＝ ．
14．（4分）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
15．（4分）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）（m﹣3n）（m+n）﹣（m﹣2n）2；
（2）（x+1）÷．
18．（8分）下面是小溪同学设计的“利用直角三角形作矩形的尺规作图过程：
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，O是AC中点．求作：点D，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO；
②以点O为圆心，OB为半径画弧交BO的延长线于点D；
③连接AD、CD，所以四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
根据小溪同学设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（ ）（填推理依据）．
（3）在矩形ABCD的边AB上任取一点E，想在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，并写出简要作图过程）
19．（8分）某学校调查九年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）：
九（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81．
九（2）班10名学生中成绩x在90≤x＜95组中的数据是：94，90，92．
九年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九（1）班
a
94
b
42.8
九（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a、b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）有同学认为九（1）班的成绩更好，请结合表中数据，说说该同学的理由；
（3）九（2）班共有50名学生，请估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数（成绩x≥90即为优秀）．
20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
21．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在A岛西偏南30.96°的B处，即∠ABD＝30.96°，往东行驶10海里后到达该岛西南方向的C处，即∠ACD＝45°．货轮继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96°≈0.60）
23．（10分）根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x2+y2+z2，
例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝22+82+22＝72．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 ；
（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数．
25．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
2022-2023学年重庆八中九年级下学期月考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．0.1010010001
C．π D．
【答案】C
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、π是无理数，故本选项符合题意；
D、化简结果为3，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从上面看到的图形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从上面看这个组合体，看到的是“一”字排列的三个正方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：C．
3．（4分）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．x4÷x4＝x B．a2+a3＝a5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．a2•a2＝a4
【答案】D
【解答】解：A、x4÷x4＝1，故此选项错误；
B、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项错误；
D、a2•a2＝a4，正确；
故选：D．
4．（4分）某天早上王刚上学，先步行一段路．遇到雅子同学和她爸爸驾车去学校，在雅子邀请下王刚上车和同学一起去学校．结果提前了16min到校．其部分行程情况如图所示．若他出门时步行，正好准时到校，则他的家离学校（ ）
A．2400m B．1600m C．1800m D．2000m
【答案】C
【解答】解：由题意可得，王刚步行速度为：600÷10＝60（m/min），坐车速度为：（1200﹣600）÷（12﹣10）＝300（m/min），
设王刚家离学校x米，根据题意，得：，
解得x＝1800，
即他的家离学校1800m．
故选：C．
5．（4分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【答案】B
【解答】解：∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴OB：OD＝1：3，
∴OD＝OB＝2×3＝6，
过C点作CH⊥OD于H，如图，
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，
∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，
在Rt△OCD中，CH＝DH＝，
∴C点坐标为（3，）．
故选：B．
6．（4分）估计（）÷的值应在（ ）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解答】解：原式＝+
＝3+，
∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
故选：C．
7．（4分）下列合题，其中是真命题的为（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．旋转前后的图形一定全等
【答案】D
【解答】解：A．平分非直径的弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
C．在反比例函数中的每一个象限内，y随x的增大而减小，故选项的命题不是真命题，选项不合题意；
D．旋转前后的图形一定全等，这是正确的，是真命题，选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝48.6 B．48.6（1+x）2＝60
C．60（1﹣x）2＝48.6 D．48.6（1﹣x）2＝60
【答案】C
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，60（1﹣x）2＝48.6．
故选：C．
9．（4分）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解答】解：连接OD，
∵CD切⊙O于D，
∴半径OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠ACD＝30°，CD＝2，
∴tanC＝＝＝，
∴OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．
故选：B．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE＝BC，连接OE交BC于点F．若AB＝12，BC＝8，则BF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵OG⊥AB，
∴OG∥BC，
∴AG＝BG＝6，
∴OG＝BC＝4，
∵GE＝BC＝8，
∴BE＝GE﹣BG＝8﹣6＝2，
∵BF∥OG，
∴△BEF∽△GEO，
∴，
∴．
故选：A．
11．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程＝﹣1有正整数解，则所有满足条件的a的值之和为（ ）
A．16 B．15 C．13 D．12
【答案】D
【解答】解：解不等式组得x≤1且x≥a，
∵不等式组无解，
∴a＞1，
由分式方程＝﹣1得y＝，
∵y﹣3≠0，即y≠3，
∴≠3，可得a≠3，
∵分式方程＝﹣1有正整数解，即是正整数，
∴a＝5或a＝7，
∴所有满足条件的a的值之和为5+7＝12，
故选：D．
12．（4分）有依次排列的两个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，3，x+3，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：x，3﹣x，3，x，x+3；
②第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解答】解：∵第一次操作后的整式串为：x，3，x+3，
∴第二次操作后的整式串为x，3﹣x，3，x+3﹣3，x+3，
即x，3﹣x，3，x，x+3，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为3x（3﹣x）•x•（x+3）＝3x2（9﹣x2），
∵x＜﹣3或x＞3，
∴x2＞9，即9﹣x2＜0，
∴3x2（9﹣x2）＜0，
即第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为x，3﹣2x，3﹣x，x，3，x﹣3，x，3，x+3，
第四次操作后整式串为x，3﹣3x，3﹣2x，x，3﹣x，2x﹣3，x，3﹣x，3，x﹣6，x﹣3，3，x，3﹣x，3，x，x+3，
共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为x+3+x+3＝2x+6，
第二次操作后所有整式的和为x+3﹣x+3+x+x+3＝2x+9，
第三次操作后所有整式的和为x+3﹣2x+3﹣x+x+3+x﹣3+x+3+x+3＝2x+12，
...，
第n次操作后所有整式的积为2x+3（n+1），
∴第2022次操作后，所有的整式的和为2x+3×（2022+1）＝2x+6069，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）计算：﹣（）﹣2+（﹣2021）0＝ ﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2﹣4+1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小明和张华两人恰好选中同一根绳子的结果有3个，
∴小明和张华两人恰好选中同一根绳子的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 16﹣8π ．（结果保留π）
【答案】16﹣8π．
【解答】解：连接AD，则BD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
即三个圆的半径都是4，
由勾股定理得：AD＝＝＝4，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣3S扇形BFD＝﹣3×＝16﹣8π，
故答案为：16﹣8π．
16．（4分）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 51人或59人 ．
【答案】51人或59人．
【解答】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成x组，由题意得：
∵若每个小组8人，则还余3人，
∴该班人数为：8x+3，
∵若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，
根据题意得出不等式组：
，
解得：5＜x＜8，
∴该班可分为6组或7组，
∴该班有：6×8+3＝51人，或7×8+3＝59人，
故答案为：51人或59人．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）（m﹣3n）（m+n）﹣（m﹣2n）2；
（2）（x+1）÷．
【答案】（1）2mn﹣7n2；（1）﹣x﹣4．
【解答】解：（1）原式＝m2+mn﹣3mn﹣3n2﹣（m2﹣4mn+4n2）
＝m2+mn﹣3mn﹣3n2﹣m2+4mn﹣4n2
＝2mn﹣7n2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣（x+4）
＝﹣x﹣4．
18．（8分）下面是小溪同学设计的“利用直角三角形作矩形的尺规作图过程：
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，O是AC中点．求作：点D，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO；
②以点O为圆心，OB为半径画弧交BO的延长线于点D；
③连接AD、CD，所以四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
根据小溪同学设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）（填推理依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（ 有一个角的直角的平行四边形是矩形 ）（填推理依据）．
（3）在矩形ABCD的边AB上任取一点E，想在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，并写出简要作图过程）
【答案】（1）如图所示，四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角的直角的平行四边形是矩形；
（3）如图所示，连接EO并延长交CD于G，作EG的垂直平分线MN，分别交AD于H，交BC于F，连接EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是菱形．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD为矩形，点D即为所求．
（2）证明：∵AO＝OC，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵∠ABC＝90°，
∴ABCD是矩形（有一个角的直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角的直角的平行四边形是矩形；
（3）如图所示，连接EO并延长交CD于G，作EG的垂直平分线MN，分别交AD于H，交BC于F，连接EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是菱形．
19．（8分）某学校调查九年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）：
九（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81．
九（2）班10名学生中成绩x在90≤x＜95组中的数据是：94，90，92．
九年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九（1）班
a
94
b
42.8
九（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a、b的值：a＝ 92 ，b＝ 96 ；
（2）有同学认为九（1）班的成绩更好，请结合表中数据，说说该同学的理由；
（3）九（2）班共有50名学生，请估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数（成绩x≥90即为优秀）．
【答案】（1）92，96；
（2）九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定；
（3）35人．
【解答】解：（1）九（1）班的平均数为a＝×（96+83+96+86+99+98+92+100+89+81）＝92，
九（1）班10名学生的成绩中96分的最多，有2个，故众数b＝96，
故答案为：92，96；
（2）九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定；
（3）50×＝35（人），
答：估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数有35人．
20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝，一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）t＞．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y＝，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN＝+×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴+×2×t＞3，
∴t＞．
21．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
【答案】（1）120元；
（2）a＝25．
【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在A岛西偏南30.96°的B处，即∠ABD＝30.96°，往东行驶10海里后到达该岛西南方向的C处，即∠ACD＝45°．货轮继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96°≈0.60）
【答案】货轮继续向东航行没有触礁的危险．
【解答】解：设AD＝x海里，
在Rt△ABD中，BD＝＝≈x，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝x，
∵BC＝BD﹣CD，
∴x﹣x＝10，
解得x＝15，
∴AD＝15海里，
∵AD＞10海里，
∴货轮继续向东航行没有触礁的危险．
23．（10分）根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x2+y2+z2，
例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝22+82+22＝72．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： 99 ，最小的三位对称数： 101 ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 101101 ；
（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．
【答案】（1）99；101；
（2）101101；
（3）5115，5665，1551，1001，6556，6006．
【解答】解：（1）最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101．
故答案为：99；101；
（2）∵一位数的对称数有9个；
两位数的对称数有9个，
三位数的对称数个位与百位可取1～9，十位可取0～9，
∴有90个；
四位数的对称数个位与千位可取1～9，十位与百位可取0～9，
∴有90个；
五位数的对称数万位与个位可取1～9，千位、百位、和十位可取0～9，
∴有900个，
此时99999为第1098个对称数，
∴第1100个对称数为101101．
故答案为：101101；
（3）设四位的对称数B的各个数位上的数字分别2倍后，取个位数数字分别为a，b，b，a（0≤a≤8，0≤b≤8的整数），
∵K（B）＝8，
∴a2+b2+b2+a2＝8，
∴a2+b2＝4，
∴a＝0时，b＝2；a＝2时，b＝0；
①当a＝0，b＝2时，四位的对称数为5115，5665；
②当a＝2，b＝0时，四位的对称数为1551，1001，6556，6006，
综上所述，B为5115，5665，1551，1001，6556，6006．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试画出函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）存在，点P的坐标为（1，6）；（3）函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象见解答，方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数为3．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6）＝ax2﹣6ax﹣6a，
即﹣6a＝6，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）存在，理由：
对于y＝﹣x2+x+6，令x＝0，则y＝6，故点C（0，6），
∵点C关于x轴的对称点为点D，则点D（0，﹣6），
①当AB是边时，
∵AB∥DP且AB＝DP＝5，
故点P的坐标为（5，﹣6）或）（﹣5，﹣6），
当x＝5时，y＝﹣x2+x+6＝﹣14≠﹣6，
当x＝﹣5时，y＝﹣x2+x+6＝﹣24≠﹣6，
故两个点P均不在抛物线上；
②当AB是对角线时，设点P的坐标为（x，y），
由中点坐标公式得：（3﹣2）＝（0+x）且（0+0）＝（﹣6+y），解得，
故点P的坐标为（1，6），
当x＝1时，y＝﹣x2+x+6＝6，故点P在抛物线上；
综上，点P的坐标为（1，6）；
（3）函数y＝|ax2+bx+c|的大致图象如下，
设y′＝x+6，则方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根即为函数y和y′的交点，
从图象看，交点的个数为3个，
故方程|ax2+bx+c|﹣x＝6的根的个数为3．
25．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】（1）30°；
（2）y＝；
（3）12﹣4或8．
【解答】解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，即y2＝（6﹣x）2+（2）2，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；
当BE＝DE时，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．
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