福建省三明市宁化县2022-2023学年八年级下学期月考数学试题（解析版）

2022～2023学年下学期第三阶段质量检测试卷八年级数学

（满分：150分　　完卷时间：120分钟）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，居此判定即可．

【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；

C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查中心对称图形的识别，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．

2. 分式有意义的条件是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件（分式的分母不能为），可得．

【详解】解：分式有意义，

∴．

解得：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件（分式的分母不能为）是解题的关键．

3. 如图，已知分别是中的中点，且，则的长为（   ）

A. 8 B. 2 C. 12 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形中位线定理即可得到答案．

【详解】解：分别是中的中点，，

，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

4. 将分式化成最简分式的结果正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将分式进行约分即可化为最简分式．

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了最简分式、约分，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，则下列结论正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形三边关系定理可知，即可判断结论A和结论B；再根据等边对等角可得，根据题意可得，即可判断结论C和结论D．

【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于点，

∴，

在中，，

∴，

即，故结论A正确，结论B不正确；

∵，

∴，

又∵，

∴，故结论C不正确，结论D不正确．

故选：A．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．掌握垂直平分线的性质是解题的关键．

6. 计算 的结果为（   ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将分母化为同分母，再进行同分母分式的加减运算即可得到答案．

【详解】解：

，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减法，先将异分母化为同分母是解题的关键．

7. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】各项分解因式，即可作出判断．

【详解】解：A．原式，不符合题意；

B．原式，不符合题意；

C．原式，符合题意；

D．原式，不符合题意，

故选：C．

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．

8. 如图，在中，，，平分交于点，则的长为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出，进而得出，再根据计算即可．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，

∴，，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边．根据等角对等边确定是解题的关键．

9. 如图，将平行四边形纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰好为等边三角形．若，则重叠部分的面积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据折叠、平行四边形的性质和等边三角形的性质可求出阴影部分的底，高，进而求出面积．

【详解】如图，过作于点，

∴，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∴ ，

在中，由勾股定理得：，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴

由折叠性质可知：，

∴，

∴，

∴，

故选：．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定方法及其应用．

10. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ）

A. －26 B. －24 C. －15 D. －13

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式组解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．

【详解】∵ ，

解①得解集为，解②得解集为，

∵ 不等式组的解集为，

∴，

解得a＞-11，

∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，

∴a＜1且a≠-2，

∴-11＜a＜1且a≠-2，

故a=-8或a=-5，

故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，

故选D．

【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 分解因式：___

【答案】

【解析】

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．

【详解】解：．

故答案为：．

12. 如图，，则当_____时，四边形是平行四边形．

【答案】6

【解析】

【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案．

【详解】解：，

当时，，即对角线互相平分，

四边形是平行四边形，

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．

13. 已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．用反证法证明，第一步假设_________．

【答案】∠B≥90°

【解析】

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．

【详解】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．

【点睛】考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

14. 若一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．

【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，

又∵多边形的外角和等于，

∴多边形的边数是，

故答案为∶ ．

【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．

15. 方程的解是______．

【答案】x=3．

【解析】

【详解】解：去分母得：3﹣x﹣1=x﹣4，﹣2x=﹣6，x=3．经检验x=3是原方程的解．故答案为x=3．

16. 如图，已知，，若，，则的长为_____．

【答案】

【解析】

【分析】以为直角边向右侧作等腰直角三角形，根据证明，可得，因此根据勾股定理求出即可．

【详解】解：如图，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，

，，，

，

，

由勾股定理得：，

则，

，

，即，

在和中，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．

三、解答题：本题共9小题，共86分．

17. 因式分解：．

【答案】

【解析】

【分析】提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握完全平方公式．

18. 如图，是的边的中点，延长交的延长线于点．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形对边平行的性质，可求得，进而可证得．

【详解】∵是的中点，

∴．

∵在中，，

∴．

在和中，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质及判定，牢记全等三角形的判定方法是解题的关键．

19. 解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．

【答案】原不等式组的解集为：，把解集在数轴上表示见解析

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．

【详解】解：由解得：，

由，解得：，

不等式的解集在数轴上表示如下：

∴原不等式组的解集为．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法及在数轴上表示，解题关键是正确解出每个不等式．

20. 先化简，再求值：，其中．

【答案】；．

【解析】

【分析】

先将括号内的项进行通分化简，再分式的除法法则，结合平方差公式因式分解，化简，最后代入数值解题即可．

【详解】解：原式＝

，

当时，

原式＝

．

【分析】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

21. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，．

（1）将线段向左平移6个单位长度得到线段，请画出线段，并写出点，的坐标；

（2）将线段绕点O按逆时针方向旋转得到线段，请画出线段，并计算的长

【答案】（1）画图见解析，，   

（2）画图见解析，

【解析】

【分析】（1）首先确定A、B两点平移后的位置，再连接即可得到线段，然后写出坐标；

（2）根据旋转的性质确定旋转后的位置，再连接即可得到线段，再利用勾股定理求出的长．

【小问1详解】

解：如图，线段即为所求；

其中，；

  【小问2详解】

如图，线段即为所求；

其中，．

【点睛】本题考查了作图-平移变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是掌握相应的作图方法．

22. 如图，是等边三角形．

（1）在的延长线上求作点，使得是直角三角形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（2）在（1）的条件下，求证：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（请直接写出证明过程）

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）以点为圆心，任意半径画弧交直线两点，再以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，相交于一点，连接这个点与点，相交于的延长线于点，即为所作；

（2）由等边三角形的性质可得，，从而得到，，进而推出，得到，进而得到，即可得出结论．

【小问1详解】

解：如图，就是所要求作的直角三角形；

 【小问2详解】

证明：是等边三角形，

，，

在中，，

，，

，

，

，

，

，

在中，是角所对直角边，是斜边，

由此可得：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键．

23. 如图，在四边形中，，点在边上，，，垂足为．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若平分，，，求和的长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）的长为，的长为

【解析】

【分析】（1）先证明，再由，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质即可得出结论．

【小问1详解】

证明：∵，

∴ ，

又∵，

∴四边形是平行四边形；

小问2详解】

解：∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵平分，，

∴，

由（1）得四边形是平行四边形，

∴，

∴的长为，的长为．

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线的判定、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24. 某中学计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用元购买A型设备的数量比用元购买B型设备的数量多4台．

（1）求A，B两种型号设备的单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的，请求出最少的购买费用．

【答案】（1）A，B两种型号设备的单价分别是3000元，2500元   

（2）最少的购买费用为131500元

【解析】

【分析】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为元．根据“用元购买A型设备的数量比用元购买B型设备的数量多4台”列方程，解方程并检验即可得到答案；

（2）设购买A型设备a台，B型设备台，购买两种设备总费用为W元．根据每台设备的单价求出两种设备台的购买费用W，再根据A型设备数量不少于B型设备数量的得到a的取值范围，根据一次函数的性质求出最小值即可．

【小问1详解】

设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为元．

根据题意，得 ，

解得，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

∴ A型设备的单价为（元）

答：A，B两种型号设备的单价分别是元，元．

【小问2详解】

设购买A型设备a台，B型设备台，购买两种设备总费用W元．

，

∵，

∴ W随a的增大而增大，

根据题意，得到，解得，

∴a的最小整数解为13．

∴当时，W取得最小值，最小值：．

答： 最少的购买费用为元．

【点睛】此题考查了一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用等知识，读懂题意，正确列出方程、函数解析式、不等式是解题的关键．

25. 如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交于点．

（1）如图1，若平分，平分，求的度数；

（2）如图2，若，且，，求的度数；

（3）如图3，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）   

（2）   

（3）．证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，根据三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可转化为，代入数据计算即可；

（2）如图，延长到点，使得，证明，推出，，再证明，可得结论；

（3）结论：．首先证明．如图，延长到，使得，连接，证明，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论．

【小问1详解】

解：如图，

∵平分，平分，

∴，，

∴

，

∵在中，，

∴，

∴的度数为；

【小问2详解】

如图，延长到点，使得，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的度数为；

【小问3详解】

结论：．    

理由：如图，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

延长到，使得，连接，

∴，

∵线段绕点顺时针方向旋转得到线段，

∴，

∴，

∵点是的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

延长到，使得，连接，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

即．

【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．