专题21 电磁组合场模型-2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练（解析版）

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2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题21 电磁组合场模型
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—4T）
目标2
平面电磁组合场模型（5T—8T）
目标3
空间电磁组合场模型（9T—12T）
目标4
交变电磁组合场模型（13T—16T）
【特训典例】
一、 高考真题
1．如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。

【答案】（1）正电，；（2）；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图

依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有带电粒子在磁场中运动的时间联立各式解得
2．探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C所处位置的坐标；
（2）求离子打在N板上区域的长度L；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压；
（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，
【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图

由洛伦兹力提供向心力解得半径孔C所处位置的坐标
（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力解得半径

若要能在C点入射，则由几何关系可得解得如图

由几何关系可得
（3）不管从何角度发射由（2）可得由动能定理解得
（4）孔C位置坐标x其中联立可得，解得在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得解得由动能定理
解得
3．两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为粒子运动轨迹如图

所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向解得粒子在时刻的速度粒子在竖直方向运动的距离粒子运动的轨迹如图

在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上；在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向；在时间内，粒子在水平方向运动的距离为接收器的位置为，根据距离的关系可知解得此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则竖直方向需要满足解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上；
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即解得接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
；粒子要在点被吸收，需要满足代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
4．中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。

【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）
【详解】（1）如图所示

将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有；
联立解得
（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得，可得为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足，联立可得要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过平面的坐标为离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得可得离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为，离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为，根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示

从点进入磁场到第一个交点的过程，有
；
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
二、 平面电磁组合场模型
5．如图所示，平面直角坐标系xoy中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场。第一、四象限内磁场方向垂直纸面向里，第二象限内磁场方向垂直纸面向外。第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子甲从点由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，碰撞过程中有一半电量转移给粒子乙。不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，求：
（1）电场强度的大小E；
（2）甲乙两粒子碰撞后，粒子甲第n次经过y轴时甲乙粒子间的距离d；
（3）当乙粒子第一次经过y轴时在第二象限内施加一沿x轴负方向、电场强度大小与第三象限电场相同的匀强电场，已知碰后两粒子在xOy平面内均做周期性运动，且在任一时刻，粒子沿y轴方向的分速度与其所在位置的x坐标的绝对值成正比，甲离子的比例系数为，乙离子的比例系数为。求甲乙两粒子最大速度之比。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对粒子在电场中有粒子在第四象限内的磁场中有根据几何关系有
解得
（2）碰撞过程有；解得；碰后对甲粒子有，解得，粒子圆周运动的周期；可知
当甲粒子第一次到达轴（）时，乙粒子第二次到达轴（），两粒子相距此后每次甲粒子到达轴时，乙比甲沿轴多移动粒子甲第n次经过y轴时甲乙粒子间的距离
（3）由于只有电场力做功，当粒子x方向的位移最大时速度最大，此时x轴方向的分速度为零，沿y轴方向的分速度即为合速度，则由动能定理有；
解得；则甲乙两粒子最大速度之比
6．如图所示，直角坐标系xOy所在的平面内，y轴的左侧存在大小为E=2×105N/C、方向沿x轴负方向的足够大的匀强电场区域。y轴的右侧存在三个依次相切的圆形磁场区域B1、B2、B3，且三个圆形磁场区域都与y轴相切。已知B1、B2磁场区域半径为，磁感应强度大小为B1=B2=2T，方向均垂直纸面向里；B3磁场区域半径为，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向里。一个质量为m，电荷量为-q的带电粒子以初速度v0从A点竖直向下沿直径方向进入B1磁场区域，恰好沿O1O3方向进入B3磁场区域，然后从O点进入电场。不计带电粒子的重力，带电粒子的比荷为=2×105C/kg，求：
（1）带电粒子的初速度v0和在电场区域中运动的路程；
（2）磁感应强度B3的大小和带电粒子最后离开磁场区域的位置坐标；
（3）带电粒子在电磁场中运动的总时间。

【答案】（1），；（2），；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图

由几何知识易得所以所以粒子在B1磁场区域内运动的轨道半径
又由牛顿第二定律解得粒子沿半径方向飞入圆形磁场，必将沿半径方向飞出圆形磁场，故粒子进入电场时的速度方向沿x轴负方向，在电场力的作用下做匀减速直线运动。由牛顿第二定律得所以粒子在电场中的路程
（2）由几何知识易得，故粒子在B3磁场区域内的轨迹半径又由牛顿第二定律解得粒子回到磁场后将继续以v0做匀速圆周运动，由运动的对称性可知，粒子将从A点关于x轴的对称点点离开磁场，所以；
即位置坐标；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动周期由联立可得故在B1、B2磁场区域内
在B3磁场区域粒子在电场中的运动时间所以带电粒子在电磁场中运动的总时间
7．如图所示，在xoy平面内，有一以坐标原点O为圆心、R为半径的圆形区域，圆周与坐标轴分别交于 a、b、c、d点。x轴下方圆弧bd与b¢d¢两个半圆形同心圆弧，bd和 b¢d¢ 之间的区域内分布着辐射状的电场，电场方向指向原点O，其间的电势差为U；x轴上方圆周外区域，存在着上边界为y=2R的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，圆周内无磁场。圆弧b¢d¢上均匀分布着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们被辐射状的电场由静止加速后通过坐标原点O，并进入磁场。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求：
（1）粒子进入磁场时的速度v；
（2）要使粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值B0；并求出此时从磁场上边界垂直射出的粒子在磁场中运动的时间t；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中B0的倍时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度L。

【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）在电场中解得
（2）垂直磁场上边界射出的粒子的圆心必在磁场上边界上，作出轨迹如图所示

设该粒子做匀速圆周运动的轨道半径为r，若磁感应强度达到最大值，则r有最小值。由于
当r有最小值时，取最小值，最小值为O点到磁场上边界的距离2R，根据几何关系有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有解得设此时粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角为θ，则解得带电粒子在磁场中的运动周期粒子在磁场中运动的时间
（3）当时，带电粒子在磁场中的运动半径由几何知识可知，当粒子从d点沿x轴正方向进入磁场，粒子从磁场上边界射出点，为粒子能够到达的上边界的最右端，作出轨迹如图所示

设粒子能够到达的上边界的最右端距y轴的距离为x1，则有解得当粒子与磁场上边界相切时，切点为粒子能够到达的上边界的最左端。设粒子能够到达的上边界的最左端距y轴的距离为x2，则有
解得则粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度
8．如图所示，在的区域内存在两个匀强磁场。以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内磁场方向看直纸面向外，磁感应强度大小未知；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小。第四象限内有沿y轴负向电场强度为E的匀强电场，一比荷为k的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放，经加速后从坐标为的a点进入磁场，恰能第一次从坐标为的b点离开磁场，且粒子经过各磁场边界时的速度方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，求
（1）若粒子未进入半圆形区域内磁场，加速电场的电压多大；
（2）若粒子有进入半圆形区域内磁场，求这个区域内磁场的磁感应强度；
（3）在（2）问中，从粒子由a点飞进磁场开始计时，求粒子以后第三次到达x轴的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）当粒子在电场中加速，根据动能定理可得当粒子速度较大时，粒子不进入半圆形区域内磁场，在磁场B1中直接从a点经半圆周到达b点，此时粒子运动的轨道半径为r1=2R根据洛伦兹力提供向心力可得联立解得
（2）若粒子有进入半圆形区域内磁场，粒子运动的轨迹如图

设进入磁场B1的半径为r2，则由几何关系可得解得则；θ=37°
粒子在B2中的运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 ；
联立解得
（3）粒子在磁场B1中运动的周期在磁场B2中运动的周期从粒子由a点飞进磁场开始计时，粒子第一次到达x轴的时间解得以后粒子进入下方的电场中，先做减速运动，后做反向的加速运动，在电场中运动的时间第二次回到x轴时需要的时间
然后在上方磁场中做半个圆周运动，则第三次回到x轴时需要的时间

三、 空间电磁组合场模型
9．如图所示，截面半径为l的圆柱形空腔位于三维坐标系Oxyz中，分为I、II、III三个区域。的I区域内有沿y轴正方向的匀强磁场；的II区域内有沿y轴正方向的匀强电场；III区域内同时存在沿z轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度与II区域相等。现有一带电粒子从点，以大小为的速度垂直磁场进入I区域，经点沿着z轴进入II区域，然后经过点进入III区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点离开区域III。已知粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子重力，求：
（1）I区域磁感应强度的大小B；
（2）II区域电场强度的大小E；
（3）III区域沿z轴的宽度L。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）I区域内粒子在xOz平面内做匀速圆周运动，轨迹如图

由几何关系得由牛顿第二定律得解得
（2）II区域内粒子在yOz平面内做类平抛运动，z轴方向，y轴方向；
联立解得
（3）进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，粒子在M点沿y轴方向的分速度为解得粒子在xOy平面内做圆周运动，轨迹如图

由几何关系可知可解得则粒子在xOy平面内做圆周运动的周期设由M到N时间为t2，由于M、N两点y坐标相同，则有粒子沿z轴的正方向做初速度为的匀加速直线运动，由运动学公式得代入数据解得
10．在如图所示的空间直角坐标系中，y轴正方向竖直向上，在平面上方存在匀强电场，方向沿y轴负方向；在平面下方存在匀强磁场，方向可以调整。某时刻一质量为m，带电量为q的带正电粒子自y轴上的M点射出，初速度大小为，方向沿x轴正方向。已知M点与坐标原点O的距离为d，粒子第一次到达平面时与坐标原点O的距离也为d，平面下方磁场的磁感应强度大小始终为，不计粒子的重力。
（1）求粒子第一次到达平面时的速度大小；
（2）若平面下方的磁场沿y轴正方向，要使粒子到达该区域后做直线运动，可以在该区域再叠加一匀强电场，求该匀强电场电场强度的大小和方向；
（3）若平面下方的磁场沿z轴正方向，求粒子运动轨迹与平面交点的x坐标；
（4）若平面下方的磁场沿x轴正方向，求粒子第N次到达平面时的坐标。

【答案】（1）；（2），沿z轴负方向；（3）（）；（4）见解析
【详解】（1）粒子第一次在电场中运动的过程，沿x轴方向沿y轴方向粒子第一次到达平面时的速度大小，解得
（2）要使粒子在平面下方做直线运动，匀强电场强度方向应沿z轴负方向得电场强度
（3）设粒子进入磁场时与x轴方向的夹角为，则

粒子在磁场中运动时每次在磁场中运动过程沿x轴负方向移动的距离为每次在电场中运动的时间为，沿x轴正方向移动的距离为归纳得粒子运动轨迹与平面交点的x坐标为（）
（4）粒子每次在电场中运动的时间为，沿x轴正方向移动的距离为在磁场中垂直于x轴的平面上，粒子以大小为的速度做匀速圆周运动粒子每次在磁场中的运动时间
粒子每次进入磁场后沿x轴正方向移动的距离粒子每次进入磁场后沿z轴正方向移动的距离
归纳得，粒子到达平面时y坐标始终是0，x和z坐标分别为
①、3、5、7、…时；
②、4、6、8、⋯时；
11．如图所示，和分别是核长为a的立方体Ⅰ和Ⅱ，点跟坐标原点O点重合。在的空间内充满电场强度为E的匀强电场，在的空间内充满方向垂直于平面向里的匀强磁场，强度未知。某种带正电粒子（不计重力）从点以速度沿方向进入电场，恰好从平面的中心点沿z轴负方向进入立方体Ⅱ，且恰好达到立方体Ⅱ的体对角线。不考虑电场和磁场的边缘效应，求：
（1）带电粒子的比荷，电场的方向与z轴夹角的正切值；
（2）磁感应强度的大小和粒子离开立方体Ⅱ时的坐标；
（3）若粒子进入立方体Ⅱ后，的空间内的电场方向立刻变为竖直向下，场强大小保持不变。那么，要使粒子能够垂直于边射出，在磁场方向不变在情况下，磁感应强度应调为多大？并求粒子从开始进入磁场到从边上射出所用的时间。

【答案】（1），；（2），；（3）（其中：，1，2，3，…），（其中：，1，2，3，…）
【详解】（1）设带电粒子的电荷量为q、质量为m，电场跟z轴负方向的夹角为，如图所示；粒子从点到的中心点历时为t

沿方向；沿z轴方向；解得

（2）由（1）可得设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，由几何关系得

其中解得设磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得解得设粒子离开立方体Ⅱ时，在z轴负方向的坐标，则由几何关系得

解得所以，粒子离开磁场时的坐标为。
（3）要使粒子垂直于射出，其运动轨迹如图所示，设运动半径为R，则由几何关系得

（其中：，1，2，3，…）；解得（其中：，1，2，3，…）设粒子从开始进入磁场到从边上射出，在磁场中运动的时间为，则解得
设粒子在电场中一个来回运动的时间为，则由动量定理得解得
所以，运动的总时间为（其中：，1，2，3，…）
12．如图所示，Oxyz为空间直角坐标系，在x<0的空间I内存在沿z轴正方向的匀强磁场。在的空间II内存在沿y轴正方向的匀强电场E，在x>d的空间II存在磁感应强度大小、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x轴上的点以初速度射入空间I的磁场区域，经磁场偏转后从y轴上的点垂直y轴进入空间II，并从x轴上的点进入空间III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求：
（1）空间I内磁场的磁感应强度大小和空间II内电场的电场强度大小E；
（2）粒子运动过程中，距离x轴的最大距离；
（3）粒子进入空间II后，每次经过x轴时的横坐标。

【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）设粒子在空间I的磁场中的轨迹半径为，由几何关系可得解得
由洛伦兹力提供向心力可得解得粒子在空间II做类平抛运动，沿y轴方向的加速度大小沿x轴方向运动有沿y轴方向运动有解得
（2）根据类平抛运动规律可知，粒子速度偏向角正切值为粒子经过D点时，沿轴负方向的分速度大小为沿x轴正方向的分速度大小为粒子在空间III内垂直于磁场的分速度使粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得解得粒子做圆周运动距x轴的最大距离为
（3）粒子在空间III内做圆周运动的周期为粒子在空间III内沿x轴方向做匀速直线运动，粒子在一个周期内沿x轴正方向运动的距离所以粒子在空间III中每次经过x轴时的横坐标为

四、 交变电磁组合场模型
13．如图甲所示，板长为L、板间距离为d的平行金属板，虚线PO为两板间的中轴线。紧靠板右侧有一直径为d的半圆型磁场区域，匀强磁场垂直纸面向里。两板间加电压（U未知）如图乙所示，电压变化周期为T（可调）。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点沿虚线方向以初速度持续射入。若，所有粒子刚好都打不到上下两极板，粒子的重力以及粒子间的相互作用力不计。
（1）求U的大小；
（2）若时刻进入的粒子经过磁场后恰好能回到电场，求磁感应强度的大小；
（3）若，磁感应强度，求粒子在磁场中运动的最长时间。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由类平抛运动规律可知：垂直于初速度方向，初速度方向
所以
（2）t=T/4时刻进入的粒子进入磁场前位置离中轴线的距离为y、速度为v，则
所以；设轨迹圆半径为，则；所以
（3）因为，设t时刻进入的粒子经过一个周期T在竖直方向上的速度为，则
即任意时刻进入的粒子，飞出电场时的速度均为；
即粒子在磁场中的轨迹圆半径均为d，如图设从Q点进入磁场的粒子刚好从磁场的最右边界射出，其时间最长，速度偏转角为θ，则

即又粒子在电场中竖直位移的最大值即粒子在磁场中运动的最长时间
14．如图甲所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；与轴平行的虚线下方有沿方向的匀强电场，电场强度。时刻，一个带正电粒子从点以的速度沿方向射入磁场。已知电场边界到轴的距离为，粒子的比荷，不计粒子的重力。求：
（1）粒子在磁场中运动时距轴的最大距离；
（2）粒子经过轴且与点速度相同的时刻；
（3）若粒子经过轴与轴成角，求点的坐标。

【答案】（1）0.4m；（2）；（3）或
【详解】（1）根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得半径为粒子在磁场中运动时，到轴的最大距离为
（2）根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为由磁场变化规律可知，它在（即）时间内做匀速圆周运动至点，接着沿方向做匀速直线运动直至电场边界点，则有进入电场后做匀减速运动至点，由牛顿第二定律可得，粒子的加速度为粒子从点减速至再反向加速至所需的时间为
接下来，粒子沿轴方向匀速运动至所需时间仍为，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从做匀速圆周运动，再经时间，粒子将运动到点，轨迹如图所示

此后将重复前面的运动过程，所以粒子经过轴，且与点速度相同的时刻有
（3）由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向方向平移（即从P点移到F点），粒子速度方向与y轴夹角成60°，有两种情况：若与y轴正方向为夹角60°，则有
即若与y轴负方向夹角为60°，则有
即
15．如图甲所示，半径的圆形匀强磁场区域的边界处有一粒子放射源，能以的速度向区域内各个方向均匀发射比荷为的带正电粒子；粒子经过磁场后全部向右水平飞出，接着刚好全部进入两块水平放置的平行金属板A、B间，两板间距为，板长，板间加如图乙所示的方形波电压，不考虑电容器的边缘效应，也不考虑击中极板的粒子对板间电压的影响，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。求：
（1）圆形匀强磁场区域的磁感应强度；
（2）能射出电场的粒子中，射出电场时距离B板至少多高?
（3）若在极板右侧加一垂直纸面向外、磁感应强度大小可在范围内缓慢调节的匀强磁场，并在空间某处竖直放置一块收集板，为使所有射出电场的粒子都能被收集板吸收，求收集板的最小长度与磁感应强度的函数关系。

【答案】（1）0.01T；（2）0.005m；（3）
【详解】（1）粒子经过磁场后全部向右水平飞出，沿极板中心进入的粒子在磁场中运动的轨迹和圆心如图

根据几何知识可知轨迹圆半径和磁场圆半径相等，由洛伦兹力提供向心力有解得方向垂直纸面向外；
（2）能射出电场的粒子在电场中运动的时间为若零时刻，粒子从靠近B板进入电场，，A板带正电B板带负电，粒子向下做类平抛运动，粒子的加速度为
竖直方向的位移为
，A板带负电B板带正电，粒子向下做类平抛运动，粒子的加速度为
第一段类平抛运动的末速度和第二段类斜抛运动的初速度相同，第二段竖直方向做减速运动，则有解得第二段斜抛运动在竖直方向的位移为当斜抛运动轨迹与B板相切时如图，射出电场时粒子距离B板最小，最小距离为

（3）由（2）计算可知D点竖直方向速度大小为
D点速度为设D点速度与水平方向夹角为 ，则有；
速度与水平方向夹角为。电场边界有粒子射出的区域如图所示,区域长度为


当粒子进入磁场做匀速圆周运动轨迹随B1变化可能如下图所示，设半径为R

由几何关系可知根据洛伦兹力提供向心力有解得收集板的最小长度为

16．如图甲所示，一对平行金属板C、D，O、O1为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边界。现有质量为m、电荷量为+q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计。
（1）C、D板间加恒定电压U，C板为正极，板相距为d，求板间匀强电场的场强大小E和粒子从O运动到O1的时间t；
（2）C、D板间加如图乙所示的电压，U0、T为已知量。t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔具有最大速度，求粒子到达O1孔的最大速度vm和板间d应满足的条件；
（3）磁场的磁感应强度B随时间t′的变化关系如图丙所示，B0为已知量，周期。t′＝0时刻，粒子从O1孔沿OO1延长线O1O2方向射入磁场，始终不能穿出右边界GH，求粒子进入磁场时的速度v应满足的条件。

【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）板间匀强电场的场强为E粒子在板间的加速度为根据位移﹣时间关系有d
解得
（2）粒子一直加速到达O1孔速度最大，设经历时间t0，则有 当U取U0时，解得
由动能定理有qU0解得vm =
（3）当磁感应强度分别为B0、2B0时，设粒子在磁场中圆周运动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据洛仑兹力提供向心力可得qvB0＝m解得r1=且有同理可得r2=
且有故0～粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～T0粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，T0～粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～2T0粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，2T0～粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周，～3T0粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周，3T0～粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周后从左边界飞出磁场，如图所示

由几何关系有r1+r2≤L解得