两年(22-23)高考数学真题专题分类汇编专题六 数列（2份打包，原卷版+教师版）

专题六 数列

【2023年真题】

1. （2023·新课标I卷 第7题） 记为数列的前n项和，设甲：为等差数列：乙：为等差数列，则(    )

A.  甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2. （2023·新课标II卷 第8题） 记为等比数列的前n项和，若，，则 (    )

A. 120 B. 85 C.  D.

3. （2023·新课标I卷 第20题）设等差数列的公差为d，且令，记，分别为数列的前n项和.

若，，求的通项公式;

若为等差数列，且，求

4. （2023·新课标II卷 第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，

求的通项公式；

证明：当时，

【2022年真题】

5.（2022·新高考I卷 第17题）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
求的通项公式;
证明：

6.（2022·新高考II卷 第17题）已知为等差数列，为公比为2的等比数列，且
证明：
求集合中元素个数.

【2021年真题】

7.（2021·新高考II卷 第12题）（多选）设正整数，其中，记，则(    )

A. B.
C.  D.

8.（2021·新高考I卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折次，那么__________

9.（2021·新高考I卷 第17题）已知数列满足，，

记，写出，，并求数列的通项公式；

求的前20项和.

10.（2021·新高考II卷 第17题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，

求数列的通项公式；

求使成立的n的最小值．

【2020年真题】

11.（2020·新高考I卷 第14题、II卷 第15题）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为__________.

12.（2020·新高考I卷 第18题）已知公比大于1的等比数列满足

求的通项公式；

记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和

13.（2020·新高考II卷 第18题）已知公比大于1的等比数列满足，

求的通项公式；

求…

【答案解析】

1. （2023·新课标I卷 第7题）

解：方法

为等差数列，设其首项为，公差为d，

则，，，

故为等差数列，则甲是乙的充分条件，，

反之，为等差数列，即为常数，设为t

即，故故，

两式相减有：，对也成立，故为等差数列，

则甲是乙的必要条件，

故甲是乙的充要条件，故选

方法

因为甲：为等差数列，设数列的首项，公差为即，

则，故为等差数列，即甲是乙的充分条件．

反之，乙：为等差数列即，

即

当时，

上两式相减得：，

所以当时，上式成立．
又为常数所以为等差数列．

则甲是乙的必要条件，

故甲是乙的充要条件，故选C .

2. （2023·新课标II卷 第8题）

解：，，，成等比数列，

从而计算可得

故选

3. （2023·新课标I卷 第20题）

解：因为，故，

即，故，所以，，，

又，即，即，故或舍，

故的通项公式为：

方法一：基本量法

若为等差数列，则，即，即，所以或

当时，，，故，，又，

即，即，所以或舍

当时，，，故，，又，

即，即，所以舍或舍

综上：

方法二：

因为为等差数列且公差为d，所以可得，则

解法一：因为为等差数列，根据等差数列通项公式可知与n的关系满足一次函数，所以上式中的分母“”需满足或者，即或者

解法二：由可得，，，，因为为等差数列，

所以满足，即，两边同乘化简得，

解得或者

因为，均为等差数列，所以，，则等价于，

①当时，，，则，得

，解得或者，因为，所以

②当时，，，则，化简得

，解得或者，因为，所以均不取;

综上所述，

4. （2023·新课标II卷 第18题）

解：设数列的公差为d，

由题意知：，即，解得

由知，

，，

当n为偶数时，

当n为奇数时，，

当n为偶数且时，即时，

，

当n为奇数且时，即时，

当时，

5.（2022·新高考I卷 第17题）

解：，
则①，②;
由②-①得：
当且时，
，
又也符合上式，因此
，
，
即原不等式成立. 

6.（2022·新高考II卷 第17题）

解：设等差数列公差为d
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得证.
由知，由知：
即，即，
因为，故，解得，
故集合中元素的个数为9个. 

7.（2021·新高考II卷 第12题）（多选）

解：对于A选项，，，
则，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选

8.（2021·新高考I卷 第16题）

解：对折3次时，可以得到，，，四种规格的图形.
对折4次时，可以得到，，，，五种规格的图形.
对折3次时面积之和，对折4次时面积之和，即，，，，……
得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且，

记，
则，

，
得，
，
故答案为5；

9.（2021·新高考I卷 第17题）

解：⑴，且，则，

，且，则；

，

可得，故是以为首项，为公差的等差数列；

故.

数列的前20项中偶数项的和为

，

又由题中条件有，，，，

故可得的前20项的和

10.（2021·新高考II卷 第17题）

解：由等差数列的性质可得：，则，

设等差数列的公差为d，从而有，

，

从而，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：

由数列的通项公式可得，
则，

则不等式即，整理可得，

解得或，又n为正整数，故n的最小值为

11.（2020·新高考I卷 第14题、II卷 第15题）

解：数列 的首项是，公差为的等差数列；

数列 的首项是，公差为的等差数列；

公共项构成首项为 ，公差为的等差数列;

故 的前n 项和 为： .

故答案为

12.（2020·新高考I卷 第18题）

解：设等比数列的公比为q，且，
，，
，
解得舍或，
数列的通项公式为
由知，，，，，，，
则当时，，当时，，
以此类推，，，
，，
，，

 

13.（2020·新高考II卷 第18题）

解：设等比数列的公比为，

则，

，，

…

…，