数学浙教版第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理优质教案

浙教版数学 八年级上册  2.4冬天三角形的判定定理 教案

一、教材分析

等腰三角形是几何中一个相当特殊又重要的内容，探讨它的性质，对于深入研究等腰三角形，更深入体会等腰三角形的轴对称性具有重要的作用。

二、学情分析

首先是学生的知识特征，学生之前已经学习初步的等腰三角形的定义，等边三角形的定义，但是对于它们的性质还需要老师积极引导。

然后是学生的心理特征，八年级的学生好奇心重，求知欲强，教师通过合适的方法引入有助于他们更好地三角形的相关内容。

三、教学目标

知识与技能

1、会阐述、推证等腰三角形的判定定理。 

2、掌握等边三角形的判定定理

过程与方法：通过学习等腰三角形的判定，进一步发展学生的抽象概括能力

情感态度与价值观：通过学习等腰三角形的判定，进一步发展学生的抽象概括能力

四、教学重难点

重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用

难点：等腰三角形的判定与性质的区别

五、教学方法、手段

教学方法：讲授法、探究法

教学手段：板书与多媒体课件相结合

六．教学过程

一．回顾旧知

等腰三角形的性质:

1、等腰三角形的两腰相等.

2、等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中,等边对等角)

3、等腰三角形三线合一

顶角平分线、底边上的中线和底边上的高

二．创设情境，引入新课

如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB，你知道为什么吗？

学完本节课内容就可以知道原因了

在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A。量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？

相等

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形

等腰三角形的判定定理2：

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。

用几何语言表示为：

在△ABC中，

∵∠B=∠C (  已知  )

∴AC=AB. （在一个三角形中，等角对等边）                                                                               

证明上述定理：

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C

求证：△ABC是等腰三角形

证明：如图，作△ABC的角平分线AD

在△ABD和△ACD中，

∵   ∠1=∠2（角平分线的定义）    

     ∠B=∠C（已知）

     AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（AAS）

∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）

∴△ABC是等腰三角形

三、例题精讲

一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长，它就是河的宽度AB(即A,B之间的距离).这个方法正确吗？请说明理由.

解：这一方法正确。理由如下：

∵∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）

∴∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°

∴∠B=∠C

∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）

等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

证明：∵∠A=∠B=∠C=60°

∴AB=AC=BC

∴△ABC是等边三角形

等边三角形的判定定理2：

有一个角是60°的三角形是等边三角形

证明：（1）假如顶角是60度，那么下面两个角之和为120度，又因为是等腰三角形，所以两个角相等，等于120÷2=60度，所以三个角相等，所以是等边三角形。

（2）假如60度角是一个底角，因为是等腰三角形，所以另外一个底角也是60度，那么顶角等于180-60-60=60度。所以三个角相等，所以是等边三角形。

四、随堂演练

如图,上午8时,一艘船从A处出发以15海里/时的速度向正北方向航行,9时45分到达B处.从A处测得灯塔C在北偏西26°方向,从B处测得灯塔C在北偏西52°方向,求B处到灯塔C的距离.

解：∵∠A=26° ∠C=52°-26°=26°                 北
∴∠A=∠C
∴△ABC是一个等腰三角形
∴AB=BC
AB=15×1.75=25.85海里

五、拓展提高

△ABC中，D、 E分别是AC、AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC 
（1）上述四个条件，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；
（2）选择第（1）题中的一种情况证明△ABC是等腰三角形。

解：（1）①③、①④、②③、②④
（2）①④
证明：∵BO=CO  ∴△OBC就是等腰三角形
∴∠OBC=∠OCB
又∵∠EBO=∠DCO 
∴∠EBC=∠DCB  ∴△ABC是等腰三角形

六、课题检测

1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，则图中等腰三角形的个数是 (　   　)

 A．4     B．5      C．7     D．8

答案D

【解析】 △ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．

 ∴图中的等腰三角形有8个．

2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)

A．2个    B．3个   C．4个    D．5个

答案 C

3.如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是______三角形（填按边分类的所属类型）．

解：∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．

4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE=7，AE=5，求AC的长．

解：∵由CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，即∠ECD=∠EDC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴CE=DE，
又∵AE=5，DE=7，
∴AC=AE+EC=5+7=12；
答：AC的长是12．

5、下列命题是假命题的是（   ） 

（A）有两个内角是70与40的三角形是等腰三角形 

（B）一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 

（C）有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 

（D）有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形

【解析】A、∵三角形中，2个内角是70°与40°，
∴第三个内角为180°-（70°+40°）=70°，
∴三角形中有两个角相等，都为70°，
则此三角形为等腰三角形，本选项不合题意；

B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形，理由如下：

如图所示：AD为△ABC外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠DAC，

又AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形，本选项不合题意；

C、有2个内角不等的三角形不一定是等腰三角形，也可以为等腰三角形，
例如：在△ABC中，∠A=∠C=50°，∠B=80°，
其中∠A≠∠B，但是∠A=∠C，可得出BA=BC，
此时三角形ABC为等腰三角形，本选项符合题意；

D、有2个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形，理由为：
已知：∠ABD与∠ACE为△ABC的外角，且∠ABD=∠ACE，
求证：△ABC为等腰三角形，
证明：∵∠ABD+∠ABC=180°，∠ACE+∠ACB=180°，
且∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，本选项不合题意．

6.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．

解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

 ∴ △ABF ≌△ACE(SAS)．∴ ∠ABF＝∠ACE，

 ∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，

 ∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.

 相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.

7.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，

∠1＝∠2＝∠3.

 (1)求∠BEC的度数；

 (2)△DEF为等边三角形吗？为什么？

 解：(1)∵△ABC为等边三角形，

 ∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.

 ∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.

 ∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.

 (2)△DEF为等边三角形．理由如下：

 ∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，

 同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，

 ∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，

 ∴△DEF为等边三角形．　

七、小结与作业

小结：

1．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，_________________．

注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若两个三角形有两边(或两角)对应相等，那么它们所对的角(或边)不一定相等．

2．等边三角形的判定

定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明一个三角形是等边三角形的方法：

 (1)利用定义说明三条边相等；

 (2)说明三角形三个角相等；

(3)说明它是等腰三角形且有一个角是60°.

作业：课本P64页第 1、 2、 4、 6题