苏科版九年级上册数学活动 图形的密铺课后复习题

这是一份苏科版九年级上册数学活动 图形的密铺课后复习题，共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.46 圆中的动点问题（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．
3．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）

A． B．
C． D．
4．如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ）

A．10 B． C． D．
5．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，点A是上一定点，点B是上一动点，连接，，．分别将线段，绕点A顺时针能转60°到，，连接，，，，则下列结论正确的有（    ）
①点在上；②；③；    ④当时，与相切．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．3
8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交 AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）

A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变
9．如图，在边长为的菱形中，，动点在边上（与点，均不重合），点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（    ）
  
A．5 B．2 C．21 D．
二、填空题
11．如图，正方形中，，是的中点．以点为圆心，长为半径画圆，点是上一动点，点是边上一动点，连接，若点是的中点，连接、，则的最小值为 ．

12．如图，在扇形BOC中，OB＝2，∠BOC＝60°，点D是的中点，点E，F分别为半径OC，OB上动点．当△DEF的周长最小时图中阴影部分的面积为 ．

13．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是 ．

14．如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画，分别交，于，，连接，则 ；的最小值为 ．
  
15．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为
  
16．如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为 ．
  
17．如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为 ．
  
18．如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；间的距离是 ；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是 .

19．如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．
    
20．在平面直角坐标系中，已知点和直线m的函数表达式为，动点在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当时，则x的值为 ．
    
三、解答题
21．如图，正方形中，是的直径，点是上的一动点（点不与点，重合，且在左侧）．
（1）尺规作图：做出点使得；
（2）在（1）的条件下，延长交于，求证．








22．如图，在中，，，D是上的动点，以D为圆心，
的长为半径作圆交于点E，F，G分别是上的点，将沿折叠，点A与点E恰好重合．
  
（1）如图1，若，求证：与直线相切．
（2）如图2，若经过点B，连接．
①的长是___．
②判断四边形的形状，并证明．






23．如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．
（1）当圆心O在上时，______；
（2）当点E在边上时，
①判断与的位置关系，并证明：
②当为何值时，有最大值？并求出最大值；
（3） 如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．















24．如图1，在中，，于，为边上的点，过、、三点的交于，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，点为弧上一动点，连接，，．在点运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在扇形中，为弧上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，请直接写出内心所经过的路径长．

























参考答案
1．C
【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可．
解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
将沿所在直线翻折得到△，
，
点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图），

此时即为最小值，过作，交的延长线于，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
当与重合时，最大，
此时，，
在中，由勾股定理得：
，
当与重合时，不存在，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键．
2．D
【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.
解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，
∵C为的三等分点，
∴的度数为60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形，
∵Q为OA的中点，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
∴OQ= ,
由勾股定理可得，CQ= ,
∵D为AP的中点,
∴OD⊥AP，
∵Q为OA的中点，
∴DQ= ,
∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 .
故选D

【点拨】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.
3．A
【分析】连接BO，取BO中点M，连接ME，点E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即
可求AE的最大值．
解：如图

连接BO，取BO中点M，连接ME
∵DE⊥BE，M是BO中点
∴ME=BO
∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上
∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大
延长BO交AC于H
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12
∴CH=AH=6
∴AH=6 ，AO=4，BH=6
则OM=2，MH=4
∴AM=
∴AE的最大值为2+2
故选A．
【点拨】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，以及勾股定理，找到E的运动轨迹是解本题的关键，具有一定的难度．
4．D
【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
解：过点O作于点H，作于点I，连接，，

∵点O为正方形的中心，
∴，，
∴四边形为正方形，为正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
，
∴E、I、O、P四点共圆，
∴，
∵，
∴点P运动的轨迹是线段，
作点A关于直线的对称点，  
当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，
过点作交延长线于点Q，
同理得四边形为正方形，且边长为4，
∴，，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键．
5．A
【分析】由旋转的性质，易证和是等边三角形，得到，即可判断①结论；逆用等边三角形性质，即可证明，判断②结论；利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，得到，再利用等边三角形的性质，得到，然后根据圆周角定理，即可判断③结论；利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，得到，再利用等边三角形的性质和三角形外角的定义，得到，进而得到，然后利用切线的判定定理可判断④结论．
解：由旋转的性质可知，，，，
和是等边三角形，
，
点在上，①结论正确；

，
在和中，
，
，②结论正确；
，
，
，
，，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，
，
，③结论正确；
，
，
，，
，
，
当时，
∵，，
∴，
∴在上，
，
，
，
，
与相切，④结论正确，
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，
故选：A．
  
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
6．B
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质，易证，可判断①选项；根据旋转的性质与全等三角形的性质可证，可判断②选项；根据等边三角形的性质与全等三角形的性质，可得③选项；根据切线的判定定理可判断④正确．
解：为绕点A顺时针能转60°得
，
为等边三角形，
点在上（点到圆心的距离等于半径的长度，则该点在圆上），故①正确；
为绕点A顺时针能转60°得
，

，即
，，
，故②正确；
，，
为等边三角形
，




，



，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，则，
∴是的中点，此时，，
∴，
∴与相切．

，故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：A
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，根据旋转的性质证明三角形全等是关键．
7．B
【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．
解：连接OP、OQ，如图所示，

∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB==4，
∴S△AOB=OA•OB=AB•OP，即OP==2，
∴PQ=
故选B．
【点拨】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键．
8．D
【分析】连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，证得A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．
解：连接AC交BD于O，连接EO、AG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，
∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB=∠DBC=∠ABC，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
9．C
【分析】先证明，是等边三角形，得，判断①项答案正确，由，得，判断②项答案正确，证得 ，即可判断③项答案正确，由，，得点在以线段为弦的上，易得当点在等边的内心处时，取最小值，由勾股定理求得，即可判断④项错误．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴∠DAF=∠CBE，
∵BE=AF，
∴，
∴DF=CE，∠BCE=∠ADF，故①正确；
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴，
∴∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠BCE，
∴，故②正确；
∵∠EBG=∠ECB，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴，
∴BE2=CE·EG，
∵BE=AF，
∴AF2=EG·EC，故③正确；
以为底边，在的下方作等腰，使，

∵∠，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④错误．
故选：．
【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】当以为弦的圆与轴正半轴相切时，最大，根据圆周角定理得出对应的最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
解：如图所示，当以为弦的圆与轴正半轴相切时，最大，
∵
∴此时的最大，
作轴于，连接、．
  
∵、，
∴，
与轴相切于点C，轴，

在直角中，，
∴，
∴点C的横坐标为，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以为弦的圆与轴相切时，对应的最大是关键，解题时注意结合图形分析．
11．/
【分析】取点B关于直线的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ，由勾股定理求得，根据即可求得的最小值．
解：解∶取点B关于直线的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ， ， ，过O作于点N，

∵点Q是的中点，
∴，
∴点Q在以O为圆心，l为半径的上运动，
∵四边形是正方形，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴当M、F、Q、O四点共线时， 的值最小，
∴的最小值为．
故答案为∶．
【点拨】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点Q的运动轨迹．
12．
【解析】过D分别作关于OB和OC的轴对称点D'和D''，连结D'D''，分别与OC、OB相交于点E'、F'，则D'D''的长度就是△DEF的最小周长，可以证得△OE'F'是等边三角形且OE'=OF'=，从而根据
可以得到结果．
解：如图，过D分别作关于OB和OC的轴对称点D'和D''，连结D'D''，分别与OC、OB相交于点E'、F'，则D'D''的长度就是△DEF的最小周长，

由题意可得：∠B''OC=∠C'OB=60°，
连结OD''，D''为弧CB''中点，
∴OD''平分∠COB''，
∴∠B''OD''=∠COD''=30°，
∵D'D''∥B''C，
∴∠E'D''O=∠D''OB''=30°，
∵OD''=2，
∴OF'=，
同理OE'=，
∵∠COB=60°，
∴△OE'F'是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为．
【点拨】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质及圆的有关性质是解题关键 ．
13．
解：分析：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；
解：如图，连接AC、BD交于点O′．

当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，
∴x2=（4-x）2+32，
解得x=，
∴OE=4-=，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E=AB=2，
∴OO′=O′E-OE=，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′=．
故答案为:．
点睛：本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹．
14． /度
【分析】根据三角形内角和定理求得，连接、，作于，作于，如图，根据圆周角定理得到＝，再计算出＝，则最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到的长度最小值为的长，接着计算出，从而得到的最小值，然后确定长度的最小值．
解：∵中，，，
∴
连接、，作于，作于，如图，
  
＝＝＝，
而＝，，
＝，＝，
在中，＝，
当最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，即的长最小，
的长度最小值为的长，

的最小值为，
长度的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出＝是解题的关键．
15．或
【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案．
解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，，
∴是圆与直线的交点，
  
当重合时，
∵，则，
∴，符合题意，
∴，
当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，
∴，
  
∵，，
∴，
∴，
∴，设，
∴，，
而，
∴，
解得：，则，
∴，
∴；
综上：或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
16．，或
【分析】分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可．
解：①过点作与相切，此时，连接，作轴于点，
    
根据题意易得，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
②当时，若点位于如图所示位置，
  
∵    
∴，又，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
满足，此时点的坐标为；
③当时，点的位置如图所示：
  
过点作轴于点，
由①知，，
∴，
∵，，即为的垂直平分线，
则满足，此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键．
17．
【分析】（1）如图，连接,则,，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得 解得，即；
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，同理，；易证四边形是平行四边形，得，由中位线性质得，求得；取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，即最小值；延长，交于点K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．
解：（1）如图，连接,则,，
  
∴，
∵，
∴与弧相切于点B，
∴，
设，则
中，
即 解得，即，
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，则，，连接，取的中点I，连接，同理，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵P、Q是、的中点，
∴，
∴，
  
取的中点J，由，
∴四边形是平行四边形，
∴，即点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值，
延长，交于点K，L，则，
∴点K，点L分别是的中点，
∴，，，
∴，，
中，，
∴最小值．
故答案为：2，．
【点拨】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
18． ， 2.
【分析】根据题意求得A0A1=4，A0A2=2，A0A3=2，A0A4=2，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…于是得到A2019与A3重合，即可得到结论．
解：如图，

∵⊙O的半径=2，
由题意得，A0A1=4，A0A2=2，A0A3=2，A0A4=2，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…
∵2019÷6=336…3，
∴按此规律运动到点A2019处，A2019与A3重合，
∴A0A2019=A0A3=2，
故答案为2，2.
【点拨】本题考查了图形的变化规律，圆和等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．
19．
【分析】过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,则，证明四边形是矩形, 再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解．
解：：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,
  
则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∵过点A、M作与相切于点，
∴，
∵的中点为N,
∴，，
∴，
∴四边形是矩形,
∴,
在中,
，
∴,
∴当点P运动到点时，最大，
此时，
故答案为：
【点拨】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．
20．或
【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到是直角三角形，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值．
解：分两种情况：
①如图，当点B在原点右边时，中，
      
∴，，
∴，，
∴在中，根据勾股定理得．
∵，，
∴．
∴A、C、B、D四点共圆．
连接，则，又，
∴．
在中，利用勾股定理可得，
∴在中，，
∴，
解得．
如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时．
    
同理可得A、C、O、D四点共圆，，
在中，，
在中，
∴在中，．
∴，解得．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度，对点的位置分类讨论是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点K，以K为圆心，为半径作圆，交于点E，即可得出答案；
（2）延长交于点G，证明，证明，得出，求出，即可证明．
（1）解：如图，连接，作的垂直平分线，交于点K，以K为圆心，为半径作圆，交于一点，该点即为所求作的点E；
  
连接、，、，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵为的直径，
又∵直径所对的圆周角为直角，
∴点C在上，
∵是的直径，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，  
∴；
（2）证明：延长交于点G，如图所示：
  
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，为半径，
∴、为的切线，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，  
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，  
∵为半径，
∴为的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，    
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，余角的性质，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
22．（1）见分析；（2）①；②菱形，证明见分析
【分析】（1）过点D作，交的延长线于点，证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出,再由弧长公式进行计算即可；②证明四边形是平行四边形即可得出结论．
解：（1）过点D作，交的延长线于点，如图，
  
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴与直线相切；
（2）①如图，
  
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
∴的长是；
故答案为：；
②由折叠得，,
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
又,
∴四边形是菱形
【点拨】本题主要考查了切线的判定、弧长公式以及菱形的判定，证明四边形是平行四边形是解答本题的关键．
23．（1）1；（2）①与的位置关系是相切，见分析；②当时，有最大值，为1；（3），
【分析】（1）可证得，进而解直角三角形和直角三角形，从而求得结果；
（2）①连接，，利用圆周角定理推出，继而推出，再根据，推出，从而得到与的位置关系是相切；
②连接，可证得，从而得到，设得方程，故，利用二次函数得最值，得到当，即时，有最大值，最大值为1；
（3）可推出，进而得出，，，故，四边形是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果．
（1）解：菱形中，，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：1；
（2）①与的位置关系是相切，理由如下：
证明：如图1，连接，，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与的位置关系是相切；
②如图2，连接．
  
∵，，，
∴，
在菱形中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，得到
∴，
设，
∴，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为1．
（3）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
又∵将优弧沿翻折交射线于点，
∴，
∴四边形是菱形，
  
∴点A，O关于对称，
∴弧在以A为圆心，长为半径的圆上．
∵，
∴．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
24．（1）见分析；（2），理由见分析；（3）
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据圆内接四边形的性质，可求得，进而求得，问题即可得证．
（2）过点作的垂线，交于点，连接，可证得，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，即可求得，，之间的数量关系．
（3）根据内心的定义，先求得的度数，根据，可求得，当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度，据此只需求得劣弧所对应的圆心角和劣弧所在圆的半径即可．
解：（1）∵，，
∴为等腰直角三角形底边上的中线和顶角的角平分线．
∴，．
∵四边形为的内接四边形，
∴．
又，
∴．
在和中

∴．
∴．
（2）．
理由如下：
如图，过点作的垂线，交于点，连接．
  
根据题意可知．
∵，
∴为的直径．
∴．
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
在和中，

∴．    
∴，．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
（3）．
理由如下：
  
如图，连接，，．
∵为的内心，
∴，．
∴




．
在和中

∴．
∴．
当点在上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上运动，内心所经过的路径长等于劣弧的长度．
设劣弧所在的圆为．
根据题意可知，，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
内心所经过的路径长等于．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算，牢记全等三角形的判定定理及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算公式是解题的关键．