初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀课堂检测，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22.25 二次函数与一元二次方程（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是（     ）
A．2 B． C．1 D．
2．关于抛物线下列说法中错误的是（     ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标 D．与y轴交点坐标
3．若点在抛物线上，则下列结论正确的（　　）
A． B．
C． D．
4．如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（　　）
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…



0.25
0.76
…
A． B．
C． D．
5．已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（     ）
  
A． B．或 C． D．
6．二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（     ）

A． B．3 C． D．6
7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（     ）．
  
A． B．
C．或 D．或
9．在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值：

…




1
…

…

8
8


…
根据表格可知，下列说法中错误的是（     ）
A．该二次函数图象的对称轴是直线
B．关于的方程的解是，
C．的最大值是8
D．的值是
10．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点间的距离，则的值是（     ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
12．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．

13．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
14．如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ．

15．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是 ．

16．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
17．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示）
18．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：
①；
②；
③若与是抛物线上的两个点，则；
④方程的两根为，；
其中正确的是 ．
  
三、解答题
19．已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．




20．如图，若对于函数，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．请回答下列问题；
（1）图象的对称轴，顶点坐标各是什么？
（2）若P为二次函数图象上一点，且，求点P的坐标．


21．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
（1）求抛物线与x轴两交点间的距离；
（2）当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．







22．已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y＝mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．






23．已知抛物线与轴有两个交点A和，与轴交于点，顶点为点．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若，点在抛物线上，且是直角三角形，直接写出点的坐标．




24．已知抛物线经过点．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当抛物线与x轴交于点时，求此时a的值；
（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当时，求a的取值范围．






































参考答案
1．A
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选A．
【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．决定抛物线与轴的交点个数．
2．D
【分析】根据的图象与性质解答．
解：中，

抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
所以选项A、B、C均正确．
令，得
抛物线与y轴的交点坐标为．
因此选项D错误，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．C
【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
解：x=﹣2时，，
x=﹣1时，，
x=8时，，
∵，
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
4．C
【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论．
解：当时，；当时，．
一元二次方程的一个近似解的范围为．
故选：C．
【点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
5．A
【分析】由图象可得：当时，或，可得当时，即图象在直线的下方，从而可得x的取值范围是．
解：由图象可得：当时，或，
∴当时，x的取值范围是；
故选A
【点拨】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
6．B
【分析】一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，结合图象即可求解．
解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，
由图象得，，解得，
∴的最大值为，
故选：B．
【点拨】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．
7．D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解．
解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为，
此抛物线与轴的两个交点坐标为，，
则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．
8．A
【分析】根据当时，自变量x的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象进行作答即可．
解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是，
故选：A．
【点拨】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9．C
【分析】先求二次函数的解析式，然后逐项判断．
解：根据表格中数据可知抛物线过，，，
则，
解得，
二次函数，
抛物线对称轴为，故A正确，不合题意；
当时，，
解得，，故B正确，不合题意；
，
当时，有最大值，最大值为10，故C错误，符合题意；
当时，，
即，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键．
10．B
【分析】通过解方程得，，则两点为，，所以，则，然后进行分数的混合运算即可．
解：当时，，
，
解得，，
∴两点为，，
∴，
∴


．
故选∶B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
11．且
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
【点拨】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
12．
【分析】根据函数图象可知直线在抛物线上方时取值范围；
解：如图所示
∵抛物线与直线交于，
∴由图象可知，不等式的解集为：，
故答案为：．

【点拨】本题考查了图象法解一元一次不等式的解集的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．
【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据的范围得出时，求得函
数的最大值，进而即可求解．
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为，
∵，
∴时，取得最大值，最大值为，
∴当时，的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
14．2
【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长．
解：，则解得，即
解得，即

故答案为：
【点拨】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
15．
【分析】由函数图象的位置关系即可求解．
解：由图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方
故当时，有
故答案为：
【点拨】本题考查函数图象与不等式的关系．根据函数图象的位置求解是“数形结合”思想的体现．
16．
【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，代数式求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
17．
【分析】根据二次函数的对称性求解即可．
解：因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1，
所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C，
所以B，C两点关于对称轴对称，
因为点，且点B在点C的左侧，
所以，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性．
18．①②④
【分析】根据抛物线开口向下，对称轴为直线可得，，即可判断①；再根据抛物线经过点得到，进而推出，即可判断②；根据抛物线的增减性即可判断③；求出抛物线经过点，即可判断④．
解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
②的结论正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
综上，结论正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）16．
【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）证明：△=b2-4ac
=（-4）2-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0
解得：x1=-1，x2=3
即A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 （x-1）2-8
∴P（1，-8）
∴△ABP的面积=
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线与x轴没有交点．
20．（1）对称轴为直线，顶点坐标为；（2）P的坐标为或或或
【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）首先可求得的长，设点P的坐标为，根据三角形面积公式，可求得，再分两种情况，解一元二次方程，即可分别求解．
（1）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，则，解得：，，
点A在点B的左侧，
，，
，
设点P的坐标为，
，
，
，，
当时，解得：，
当时，解得：，
故所求点P的坐标为或或或．
【点拨】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式，求二次函数图象与x轴的交点坐标，解一元二次方程，熟练掌握和运用二次函数图象和性质是解决本题的关键．
21．（1）与x轴两交点间的距离为6；（2）
【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关系，求得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，根据x2﹣x1＝8，求得的值，即可求解．
解：（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，
∴m（x2+4x﹣5）＝0，
∵m为二次函数二次项系数，
∴m≠0，
∴x2+4x﹣5＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1，
∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），
∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；
（2） ∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，
∴直线l的解析式为y＝2，
∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，
∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，
∵x2﹣x1＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴36+＝64，
∴m＝，
∴．
【点拨】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）或
【分析】（1）分两种情况讨论：①当m＝0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．
（2）根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．
解：（1）①当m＝0时，原方程可化为x﹣2＝0，解得x＝2；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） ＝m2＋2m＋1 ＝（m＋1）2≥0，故方程有两个实数根；
故无论m为何值，方程恒有实数根．
（2）∵二次函数y＝mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴＝2，
整理得，3m2﹣2m﹣1＝0， 解得m1＝1，m2＝﹣．
则函数解析式为y＝x2﹣2x或．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是解题的关键．
23．（1）m＞－1；（2）；（3）点P的坐标为（2，－1）或（3，2）．
【分析】（1）由抛物线与轴有两个交点A和，可得有两个不等实根，由△=4+4m＞0，解不等式即可；
（2）由，可得，，可求点A（），B（）由，可求，解方程即可；
（3），抛物线为可得，点D（1，－2）点C（0，－1），设点P的横坐标为，点P（，）分别求出CD，DP，CP，分类考虑当∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°时，根据勾股定理，列出方程求解即可．
解：（1）抛物线与轴有两个交点A和，
令y=0，即有两个不等实根，
∴△=4+4m＞0，
解得m＞－1；
（2）∵
解得
∴，
∴点A（），B（）
∵
∴，
∴
∴；
（3）∵，
∴
∴点D（1，－2）
令=0，y=－1，点C（0，－1）
设点P的横坐标为，点P（，）
∴CD=，
DP=，
CP=
当∠D=90°时，根据勾股定理CP2=CD2+DP2，
则，
解得或（舍去）

点P（2，－1）

当∠C=90°时，根据勾股定理DP2=CD2+CP2，

则
解得或（舍去）

点P（3，2）
当∠P=90°时，过点D作DE⊥y轴于E，延长CP交DE于F，

点E（0，－2）∠CED=90°，
∵点P在△CED内，
∴∠CPD＞∠PFD＞∠CED，
∴此种情况不存在点P，使∠P=90°
综合点P的坐标为（2，－1）或（3，2）．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，勾股定理，三角形外角先性质，掌握抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，根据勾股定理建构方程是解题关键．
24．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）把代入抛物线解析式，整理后可得答案；
（2）把代入抛物线解析式可得，然后根据（1）中结论进行计算即可；
（3）令，求出，，然后根据得出含绝对值的不等式，解不等式可得答案．
（1）解：把代入得：，
整理得：；
（2）解：把代入得：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∴，
令，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，解不等式等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．