福建省尤溪县第七中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试题（解析版）

2022~2023学年度八年级下学期阶段评估（一）

数学

▶下册1.1~2.3◀

说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟．

一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．

详解】解：由题意得：，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．

2. 下列变形正确的是（    ）

A. 由，得 B. 由，得

C. 由，得 D. 由，得

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质进行分析判断．

【详解】解：A．在不等式的两边乘以，不等号的方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意；

B．在不等式的两边都乘以，当时，得；当时，得；当时，得，原变形错误，故此选项不符合题意；

C．在不等式的两边都减去，再在不等式两边乘以，不等号的方向改变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；

D．由不等式，当时，得；当时，得；当时，得，原变形错误，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解题的关键是掌握不等式的性质．

3. 如图，在中，边上垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（    ）

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据，得到答案．

【详解】解：∵是边上的垂直平分线，，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

4. 已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ）

A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20

【答案】C

【解析】

【分析】根据非负数的意义列出关于、的方程组并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．

【详解】解：∵等腰三角形的两边，满足，

∴，

解得：，

若是腰长，则三角形的三边长为：、、，

能组成三角形，周长为：；

若是底边长，则三角形的三边长为：、、，

∵，∴不能组成三角形．

综上所述，等腰三角形的周长为．

故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程组并正确解答是解题的关键．

5. 下面列出的不等式中，正确的是（    ）

A. 是非正数，可表示成

B. 与的差不小于0，可表示成

C. 与的和不小于0，可表示成

D. 不大于2，可表示成

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等关系列出不等式逐一判断即可．

【详解】解：A、a是非正数，可表示成，则A选项错误，不符合题意；

B、与的差不小于0，可表示成，则B选项正确，符合题意；

C、与的和不小于0，可表示成，则C选项错误，不符合题意；

D、不大于2，可表示成，则D选项错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了列不等式，理清题意，找准不等关系列出不等式是解题的关键．

6. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，首先应该假设这个三角形中（    ）

A. 有一个角是直角 B. 每一个角都是直角 C. 有两个角都不是直角 D. 有两个角是直角

【答案】D

【解析】

【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立，据此判断．

【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了反证法和三角形内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

7. 如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（    ）

A. 3 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】利用垂线段最短分析可知：的最小值为3，根据含角的直角三角形的性质得出，接下来可知的最大值为，由此可得到答案．

【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3，

∵在中，，，，

∴，

∴的最大值为，

∴长不可能是．

故选：D．

【点睛】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．

8. 如图，在中，，，平分，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由直角三角形性质，得，进一步计算得证，于是，而，进一步根据面积公式求解．

【详解】解：在中，，，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

中，，

∴．

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形等角对等边，角直角三角形性质；由直角三角形性质得出线段间数量关系是解题的关键．

9. 如图，在中，点D在AC上，点E在AB上，且，，，则等于（    ）

A. 45° B. 30° C. 60° D. 75°

【答案】A

【解析】

【分析】设∠EBD＝x，多次利用等边对等角表示出∠A、∠ABC和∠C，然后根据三角形内角和定理求出x即可解决问题．

【详解】解：设∠EBD＝x，

∵，

∴∠EBD＝∠EDB＝x，

∴∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2x，

∵，

∴∠A＝∠AED＝2x，

∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3x，

∵，

∴∠BDC＝∠C＝3x，

∵，

∴∠ABC＝∠C＝3x，

在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，则2x＋3x＋3x＝180°，

∴x＝22.5°，

∴∠A＝2x＝45°，

故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．

10. 如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（    ）

A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，根据角平分线的性质得出，证明，得出，从而得出，得出，证明，，得出，，即可得出．

【详解】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：

∵，为的角平分线，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

同理得：，

∴，，

∴，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明．

二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是_____________________．

【答案】a＜0

【解析】

【分析】不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变，不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，据此求解即可．

【详解】解：∵x＜y，ax＞ay，

∴a＜0．

故答案为：a＜0．

【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．

12. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______________.（写一种即可）

【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)

【解析】

【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB，

∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，

当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，

故答案为：AC=BD或AD=BC．

13. 如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．

【答案】

【解析】

【分析】根据水的体积+五颗相同玻璃球的体积小于杯子的容量，即可列出不等式．

【详解】解：根据题意得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查是由实际问题抽象出的一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．

14. 定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：______

【答案】到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可．

【详解】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上．

故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质的逆定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质的逆定理．

15. 如图，，平分，于点，,已知，则_____．

【答案】##

【解析】

【分析】过点作于点，先根据角平分线的定义得出，再证明，易得，再结合角平分线的定义可得,可推导，由三角形外角的性质可得；根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中由勾股定理可求得，即可求得；证明，由全等三角形的性质可得．

【详解】解：如图，过点作于点，

平分，，，

，

，，

，

，

，

，

平分，，

，

，

，，

，

，

，

，

中，

，

，

，，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题关键是熟练运用角平分线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半．

16. 如图，在中，、的平分线、交于点，延长，，于点，于点，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的序号是________．

【答案】①②③④

【解析】

【分析】①过点作于点，根据角平分线性质即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．

【详解】解：①如图，过点作于点，

平分，平分，，，，

，，

，

，，

平分，故①正确；

②，，

，

，

在和中，

，

，

同理：，

，

，

，故②正确；

③平分，平分，

，，

，③正确；

④由②可知，，

，，

，故④正确．

故答案为：①②③④

【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质等知识点．熟记相关结论是解题关键．

三、解答题：（本题共9小题，共86分）

17. 如图，在中，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接，求的度数．

【答案】

【解析】

【分析】根据垂直平分线的性质得出，然后代入角度即可求得；

【详解】解：∵是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键．

18. 利用不等式性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】，表示解集见解析

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质1，两边同时减去，得，根据不等式的基本性质3，两边同时除以，即可求解．

【详解】解：，

根据不等式的基本性质1，两边同时减去，得

，

，

根据不等式的基本性质3，两边同时除以，得，

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

  【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．

19. 如图，，为边上一点．且，．求证：

（1）．

（2）．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）首先可证得与都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定，可证得，据此即可证得结论；

（2）首先根据全等三角形的性质，可证得，再根据直角三角形的性质，即可证得结论．

【小问1详解】

证明：，

与都是直角三角形，

，

，

在与中，

；

【小问2详解】

证明：，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．

20. 定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：．

（1）求的值．

（2）若的值小于7，求的取值范围．

【答案】（1）7    （2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可；

（2）根据题意列出不等式，解不等式即可．

【小问1详解】

解：根据题意得：

；

【小问2详解】

解：∵的值小于7，

∴，

解得：．

【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义，列出不等式，准确计算．

21. 如图，在中，，，．

（1）作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．

【答案】（1）见解析    （2）16

【解析】

【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；

（2）根据勾股定理求出，再由垂直平分线及等腰三角形的性质得到相应线段关系表示出三角形周长，代值求解即可得到答案

【小问1详解】

解：如图所示：

直线即为所求；

【小问2详解】

解：，，，

，

垂直平分，

，

，

，，

，

，

的周长．

【点睛】本题考查尺规作图-垂直平分线，求三角形周长等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、等腰三角形的判定与性质及中垂线性质是解决问题的关键．

22. 如图，在中，于点D，是的外角的平分线．

（1）求证：．

（2）若平分交于点N，判断的形状并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）等腰直角三角形，见解析

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；

（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．

【小问1详解】

∵，

∴，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∵

∴

∴

∴．

【小问2详解】

是等腰直角三角形，

理由是：∵，

∴，

∵平分，

∴．

∴，

∴是等腰直角三角形．

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．

23. 【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

若，则；

若，则；

若，则．

反之也成立．

这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．

【理解】（1）若，则______（填“”、“”或“”）

【运用】（2）若，，试比较，的大小．

【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板．方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）根据题干信息得出答案即可；

（2）用作差法比较，的大小即可；

（3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可．

【详解】解：（1）若，则，因此；

故答案为：；

（2）∵

，

又∵，

∴，

∴，

∴；

（3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，

∵

，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．

24. 如图，在四边形中，已知，，，，．

（1）求证：是直角三角形

（2）求四边形的面积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据角的直角三角形的性质得到，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；

（2）根据勾股定理得到，再利用三角形的面积公式即可得到结论．

【小问1详解】

证明：∵，，，

∴，

在中，，，，

∵，即，

∴是直角三角形．

【小问2详解】

解：∵在中，，，，

∴，

∴，

又∵，

∴．

∴四边形为．

【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

25. 如图1，P，Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点M．

（1）求的度数．

（2）当t为何值时，是直角三角形？

（3）如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数．

【答案】（1）   

（2）2或4    （3）

【解析】

【分析】（1）先证明，从而得到，然后利用三角形的外角的性质求解即可；

（2）由题意时间为t秒，则，，①当时，②当时，列方程即可得到结果；

（3）先证明，从而得到，再依据三角形内角和定理，求解即可．

【小问1详解】

证明：∵等边三角形中，，，

又由条件得，

，

，

；

【小问2详解】

解：由题意时间为t秒，则，，

①当时，

，

，

，得，

；

②当时，

，

，得，

；

∴当第2秒或第4秒时，为直角三角形；

【小问3详解】

解：在等边三角形中，，，

，

又由条件得，

，

，

又，

．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．