第二十三章 旋转（B卷·学霸加练卷，难度★★★★★）-【单元测试】九年级数学上册分层训练AB卷（人教版）（解析+原卷）

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班级 姓名 学号 分数
第二十三章 旋转（学霸加练卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022•太原二模）问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长，再取最小整数．
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取．
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取．
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取．
对甲、乙、丙评价正确的是　　

A．甲的思路错，值正确
B．乙的思路对，值正确
C．丙的思路对，值正确
D．甲、乙的思路都错，丙的思路对
【分析】根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为：，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值．
【解答】解：矩形长为12宽为6，
矩形的对角线长为：，
矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
该正方形的边长不小于，
，
该正方形边长的最小正数为14．
甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为；
乙的思路与计算都正确；
丙的思路与计算都错误；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
2．（3分）（2022•益阳）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到△，以下结论：①，②，③，④，正确的有　　

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【解答】解：①绕点逆时针旋转得到△，
．故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
．故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直．故③不正确；
④在中，
，，
．
．故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：．
【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
3．（3分）（2022春•和平区期末）如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为　　

A． B． C．或 D．或
【分析】分两种情况：①当在延长线上时，过作于，根据与都是等边三角形，，，可得，，在中，可得，从而；②当在的延长线上时，过作于，在中，，，在中，．
【解答】解：①当在延长线上时，过作于，如图：

与都是等边三角形，，，
，，
，
，
在中，
，，
；
②当在的延长线上时，过作于，如图：

在中，
，，
，
在中，
；
综上所述，线段的长为或，
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含角的直角三角形三边关系，结合勾股定理解决问题．
4．（3分）（2022春•龙华区期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转至，此时点在上，连接、、、，线段分别交、于点、，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是　　

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】①由旋转可知，所以，所以．由此可判断①正确；
②由平行可知，，所以，所以，所以是等边三角形，由此可判断②正确；
③过点作交于点，连接，由是等边三角形，得，所以是等边三角形，易证，所以，则点为中点，易证，所以，所以，可得．由此可判断③错误；
④过点作交的延长线于点，由含的直角三角形可知，，，所以，可表达．，可得，由此可判断④正确．
【解答】解：①绕点逆时针旋转至，
，
，
，
．故①正确；
②，
，
，
，
，
是等边三角形，故②正确；
③过点作交于点，连接，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为中点，
，，
，
，
，
，
．故③错误；
④过点作交的延长线于点，
，
，
，，
，
的高为，
．
的高为，
，
，故④正确．
故选：．

【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识；熟练掌握旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）（2022春•南京期末）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　　

A．2 B． C．3 D．
【分析】过点作，垂足为，可得，根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点在与平行且与的距离为1的直线上，从而可得当点在边上时，的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，

，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转得：
，，
，
，
，
，
，
点在与平行且与的距离为1的直线上，
当点在边上时，最小且，
的最小值为3，
故选：．

【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）（2022•河南三模）如图，在平面直角坐标系中，，，将△绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为依此规律，则第2022个等腰三角形中，点的坐标是　　

A． B．
C． D．
【分析】由题意，点，，在第三象限，，，，推出，可得结论．
【解答】解：由题意，点，，在第三象限，，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
7．（3分）（2022•桐梓县模拟）如图，三角形，三角形均为边长为4的等边三角形，点是、的中点，直线、相交于点，三角形绕点旋转时，线段长的最小值为　　．

A． B． C． D．
【分析】首先证明，判定出点在以为直径的圆上运动，当运动到时，最短来解决问题．
【解答】解：如图，连接、、，，

，
，，
，
，
、是等边三角形，是、的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，

当时，且、在的同侧时，最短，
，
，，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是证明，判定出在以为直径的圆上运动．
8．（3分）（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点．在，，，，，四个点中，直线经过的点是　　

A． B． C． D．
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将，，，四个点的一个坐标代入中可解答．
【解答】解：点，点，

轴，，
由旋转得：，，
如图，过点作轴于，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
当时，，，
点，不在直线上，
当时，，
，在直线上，
当时，，
不在直线上，
当时，，
不在直线上．
故选：．
【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点的坐标是解本题的关键．
9．（3分）（2022•无锡二模）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），将点为绕点逆时针旋转到点，连接，则线段的最小值为　　

A． B． C． D．3
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点在射线上运动，求出，可得结论．
【解答】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．

四边形是矩形，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
点在射线上运动，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考选择题中的压轴题．
10．（3分）（2022•镇江二模）是边长为4的等边三角形，其中点为高上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，则周长的最小值是　　

A． B． C． D．
【分析】证明，得，可知点在外，边下方，使的射线上，根据将军饮马求得的最小值便可求得本题结果．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，是高，
，，
过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，，

则，，
，
为等边三角形，
，
垂直平分，
，，
，
，
当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：，
的周长的最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定点运动轨迹．
11．（3分）（2022•清城区一模）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的点，且，则下列结论正确的有　　
①；②为等边三角形；③若把、、、四边的中点相连，则得到的四边形是矩形；④若，，则．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据旋转的性质以及等边三角形的性质，易证，可判断①选项；根据全等三角形的性质可得是等边三角形，可判断②选项；根据菱形的性质可得③选项；根据等边三角形的性质可证，根据相似三角形的性质可得，进一步可得．
【解答】解：等边三角形绕点顺时针旋转得，
，
在等边三角形和等边三角形中，，，
，
，
故①选项符合题意；
，
，，
，
，
是等边三角形，
故②选项符合题意；
，
四边形是菱形，
把、、、四边的中点相连，得到的四边形是矩形，
故③选项符合题意；
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故④选项符合题意，
综上，正确的选项有①②③④，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质，特殊的平行四边形的性质等，本题综合性较强，难度较大．
12．（3分）（2022春•大埔县期中）如图，在和中，，，．连接，，将绕点旋转一周，在旋转的过程中当最大时，　　

A．6 B． C．9 D．
【分析】作于，，交的延长线于，可知点在以为圆心，为半径的圆上运动，当时，最大，利用证明，得，可说明的面积的面积，从而得出答案．
【解答】解：作于，，交的延长线于，

，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当时，最大，
由勾股定理得，
，
，
，，
，
，
的面积的面积，
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2022•黔东南州二模）如图，点是等边三角形内一点，且，，，则这个等边三角形的边长为 　　．

【分析】将旋转得，过作交延长线于，可得是等边三角形，有，，因，故，而，得，，可知，，，在中，得，，在中，．
【解答】解：将旋转得，过作交延长线于，如图：

，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，
，，
，
在中，，
等边三角形的边长为，
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形中的旋转，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．（3分）（2022•游仙区模拟）正的边长为4，是的中点，是内一点，且，则的最小长度是 　　．

【分析】将绕点顺时针旋转得，以为边在下方作等边，连接，过作交延长线于，由将绕点顺时针旋转得，可得是等边三角形，而，即知，，故，从而的轨迹是以为圆心，为半径的上的，当，，共线时，最小，在中，，可得，，在中，，即可得的最小长度是．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得，以为边在下方作等边，连接，过作交延长线于，如图：

将绕点顺时针旋转得，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的上的，
当，，共线时，最小，的最小值为，
在中，，
，，
而，
在中，，
，
即的最小长度是，
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的旋转，求出的轨迹．
15．（3分）（2022•大名县三模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接．
（1）与的等量关系是：　　；
（2）在旋转过程中，线段的最大值是 　　．

【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得，；
（2）取的中点，连接，，设，交于点，由（1）知，得，可得，由是的中点，有，故当，，共线时，最大为．
【解答】解：（1），理由如下：
由旋转可知：，
，，，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）取的中点，连接，，设，交于点，如图：

由（1）知，
，
，
，
是的中点，
，
，
当，，共线时，最大为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
16．（3分）（2022春•宽城县期末）如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则菱形的面积为 　　，四边形的周长为 　　．

【分析】如图，连接，．利用是解三角形30度角的性质求出．，，，，可得结论．
【解答】解：如图，连接，．

四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
四边形的面积，
．，，
，
同法可证，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
同法，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形的面积．
故答案为：，．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
17．（3分）（2022•江汉区模拟）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的长度的范围为 　　．

【分析】①当与重合时，最大，连接，可证是等边三角形，从而可得最大值是5；
②以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，证明，有，可得，故点在射线上运动，由，，可得，根据垂线段最短可知，的最小值为，即可得到答案．
【解答】解：①当与重合时，最大，连接，如图：

，，
，，
，
将线段逆时针旋转到，
，
是等边三角形，
，
，即最大值是5；
②以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，如图：

四边形是矩形，
，
是等边三角形，将线段逆时针旋转到，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
点在射线上运动，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
综上所述，，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能求出点的轨迹．
18．（3分）（2022春•道里区期末）如图，在中，，于点，把线段绕点旋转得到线段，点恰好落在的延长线上，，的面积是8，则的长为 　　．

【分析】过点作于点，通过证明，得到，；设，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得值，再利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：过点作于点，如图，

，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
设，则，
．
，，
，
，
．
．
．
的面积是8，
．
，
，
．
，，
．
故答案为．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点作于点，构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）（2022•晋江市模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、．
（1）求证：、、三点共线；
（2）若，求点到的距离．

【分析】（1）连接，根据将绕点逆时针旋转得到，得，，，知是等边三角形，可得，故，、、三点共线；
（2）过作于，过作于，由是等边三角形，可得，，根据，可得，，由等面积法即得．
【解答】（1）证明：连接，如图：

将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
、、三点共线；
（2）过作于，过作于，如图：

由（1）知是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
点到的距离是．
【点评】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，利用等面积法列方程解决问题．
20．（8分）（2022•东海县二模）如图1．在一平面内，从左到右，点、、、、均在同一直线上．线段，线段，分别是、的中点．如图2，固定点以及线段，让线段绕点顺时针旋转．连接、、、．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当时，求四边形的周长．
【分析】（1）根据对角线互相平分证四边形为平行四边形即可；
（2）当时，则四边形为菱形，根据勾股定理求出边长即可解答．
【解答】（1）证明：如图2，
是，的中点，
，，
故四边形为平行四边形；
（2）解：当时，如下图：

，，
，
即四边形为菱形，
，，
，，
，
四边形的周长为．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，勾股定理是解题的关键．
21．（8分）（2022春•富平县期末）如图，点、、都在网格格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）经过平移得到△，点、、的对应点分别为、、，中任意一点，平移后的对应点为，．请在图中作出△；
（2）请在图中作出关于原点对称的△，点、、的对应点分别为、、．

【分析】（1）由点，平移后的对应点为，得出平移的方式为向右平移4个单位、向上平移3个单位，据此作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．

（2）如图所示，△即为所求．
【点评】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22．（8分）（2022春•洛阳期末）（1）如图①，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点、、、在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为、，，．与相交于点，则的度数是 　　；
（2）将图①中的三角板和三角板分别绕点、按各自的方向旋转至如图②所示位置，其中平分，求的度数；
（3）将如图①位置的三角板绕点顺时针旋转一周，速度为每秒，在此过程中，经过 　　秒边与边互相平行．

【分析】（1）根据三角形内角和是得出，再根据对顶角相等求出的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质，再根据求出即可；
（3）设经过秒边与边互相平行，分两种情况列方程求出时间即可．
【解答】解：（1），，
，
，
故答案为：；
（2）平分，，
，
过点作，

，
，
，，
，
，
；
（3）设经过秒边与边互相平行，
①时，，
即，
解得；
②时，，
即，
解得；
综上所述，经过7.5秒或25.5秒边与边互相平行，
故答案为：7.5或25.5．
【点评】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质及角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，灵活运用辅助线是解题的关键．
23．（8分）（2022春•锡山区期末）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，在的网格中，有一格点三角形（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．将绕点旋转，得到△，请直接画出旋转后的△．
（2）在图1中，作出边上的高，则的长为 　　．
（3）如图2，已知四边形是平行四边形，为上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边上找点，使．


【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，；
（2）利用面积法求出，可得结论，
（3）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2），，
，
．
故答案为：．
（3）如图2，点即为所求．

【点评】本题考查作图旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形中，，是上一点，点与点关于点中心对称，连接并延长，与延长线交于点．
（1）填空：是线段的 　中点　，点与点关于点 　　成中心对称，若，则是 　　三角形．
（2）四边形的面积为12，求的面积．

【分析】（1）利用中心对称的定义回答即可，然后证得，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（2）得到三角形的面积等于三角形的面积，从而得到答案．
【解答】解：（1）点与点关于点中心对称，
是线段的中点，，
，
，
在与中，
，
，
，，
点与点关于点成中心对称，
，
，
则是等腰三角形．
故答案为：中点，，等腰；
（2），
与面积相等，
的面积等于四边形的面积，
四边形的面积为12，
的面积为12．
【点评】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．