人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程练习

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【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）
【单元复习】第二十一章 一元二次方程
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
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知识精讲
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x=,x=.
（2）直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1） 把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
（1）方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；
（2）确定公式中a,b,c的值，注意符号；
（3）求出b-4ac的值；
（4）若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根；
21.2．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2）因式分解法的详细步骤：
1移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
2把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
3令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
4解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x=p或（mx+n）=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0，则a=0或b=0
一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x,x,则有x+x=-p,xx=q.
若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有x+x=，,xx=
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
（2）设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4）解：就是解方程，求出未知数的值。
（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）=b。
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
考点例析
【考点1】一元二次方程
【例1】（2022·全国·九年级期末）把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（   ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项的系数即可．
【详解】解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，
∴二次项系数为1，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式．
【例2】（2022·全国·九年级期末）已知方程．当_____时，为一元二次方程．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义得到且，解得即可．
【详解】根据题意得，且，
解得k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．
【考点2】解一元二次方程
【例3】（2022·全国·九年级期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．
【例4】（2022·江苏·九年级期末）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
【考点3】实际问题与一元二次方程
【例5】（2022·全国·九年级期末）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182
C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182
【答案】B
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．
【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个，
则得：
．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
【例6】（2022·全国·九年级期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．

【答案】2m##2米
【分析】设道路宽为x米，由平移法把草坪面积转化为矩形，根据矩形面积=540列方程求解即可．
【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，

设道路宽为x米
根据题意得：（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2，
故答案为：2 m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合得思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
举一反三
一、选择题
1．（2022·全国·九年级期中）把方程化成一般式，则正确的是（　　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．
【详解】将去括号得；移项得
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．
2．（2022·全国·九年级期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围为(     )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级期末）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】依题意，得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
4．（2022·全国·九年级期末）若m是方程的一个根，则的值为______．
【答案】2019
【分析】首先根据题意可得，再把变式，即可求得其值．
【详解】解：m是方程的一个根，
，
，



=2019
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了利用方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用利用方程的解求代数式值的方法是解决本题的关键．
5．（2022·江苏·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一个根为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可
【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系有：
，
即，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．本根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
6．（2022·全国·九年级期末）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．
【答案】x(x-1)=90
【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
三、简答题
7．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或±1
(2)m＝﹣
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m的值为4或3
【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
9．（2022·全国·九年级期末）某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米．

(1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示．
(2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的倍，可得出亭子边长是米，利用花园内的小路面积小路的长度小路的宽度，即可用含的代数式表示出花园内的小路面积；
（2）利用草坪的面积长方形花园的面积小路的面积亭子的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：小路宽度为米，亭子边长是小路宽度的倍，亭子边长是米，花园内的小路面积为平方米，故答案为：；
（2）依题意得：，整理得：，解得：，不合题意，舍去．答：这时道路宽度的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内的小路面积；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
实战演练
一、选择题（共6小题）
1．（2022·全国·九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（            ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（2022·全国·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】把x＝﹣1代入一元二次方程x2﹣x﹣m＝0，再求解即可．
【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，
∴
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．
3．（2022·江苏·九年级期末）若分式的值为0，则（   ）
A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2
【答案】B
【分析】直接利用分式值为0的条件进而分析得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴
解得，
故选：B
【点睛】此题主要考查了分式的值为0，正确掌握分式的值为0的条件是解答本题的关键．
4．（2020·全国·九年级期末）若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（                 ）
A．k<1 B．k<1且k¹0 C．k¹1 D．k>1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2022·全国·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先分别求得7月25日和7月26日的销量，进而利用7月25日和7月26日的总销量是30000个列方程即可．
【详解】解：由题意得：7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
则，
故答案为：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
6．（2022·全国·九年级期末）某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得:
，
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
二、填空题（共6小题）
7．（2022·江苏·九年级期末）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8．（2022·江苏·九年级期末）已知m是一元二次方程的根，则代数式的值为_________．
【答案】-2
【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，再整体代入计算求值即可；
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴=0，
∴，
故答案为：-2；
【点睛】本题考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键．
9．（2022·江苏·九年级期末）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】1
【分析】将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解．
【详解】解：∵，为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键．
10．（2022·江苏·九年级期末）已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式_____．
【答案】
【分析】首先根据根与系数的关系求出，，然后把转化为，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两实数根，
∴，，
∴



．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值、完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，采用了恒等变换和整体代入的思想方法．理解和掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为____．
【答案】10%
【分析】可设平均每年增产的百分率为x，先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=363，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，则第一年的产量为300×(1+x)，第二年的产量为300×(1+x)×(1+x)，
根据题意可得300(1+x)2=363，
解得x1=0.1=10％，x2=−2.1(不符合题意，舍去)，
即平均每年增产的百分率为10％，
故答案为：10％．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级期末）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个人防护措施．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，减少接触．电梯地面部分为一个长为，宽为的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么x满足的一元二次方程是________．

【答案】
【分析】把空白部分的面积看作是长为cm，宽为cm的长方形的面积列方程即可．
【详解】解：设隔离带的宽度均为，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
二、简答题（共6小题）
13．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1

【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；
（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．
（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．
（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．
14．（2022·全国·九年级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
(2)．
【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4
(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1
【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．
【详解】(1)化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
(2)化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
15．（2022·全国·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或
(2)
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
16．（2022·江苏·九年级期末）综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；       ②．
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【答案】(1)x2＋x−6＝0不是“邻根方程”；是“邻根方程”
(2)m＝−1或−3
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；
（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．
【详解】（1）解：①解方程得：，，，，不是“邻根方程”；②，，，，是“邻根方程”；
（2）解：，，，方程是常数）是“邻根方程”，或，或.
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
17．（2022·全国·九年级期末）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：，解得：，经检验：x=30是原方程的解，∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
（2）解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：整理得：，解得：，答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
18．（2022·全国·九年级期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元，连续两次降价后每千克98元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若该水果每千克盈利20元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该水果每天盈利9000元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)12.5%
(2)10元
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1-a）2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
（2）根据总盈利=每千克盈利×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：128（1-a）2=98，解得：a1=（舍去），a2=0.125=12.5%，答：每次下降的百分率为12.5%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：（20+x）（500-20x）=9000，整理，得 x2-5x-50=0，解得：x1=10，x2=-5（不合题意舍去），答：该商场要保证每天盈利9000元，那么每千克应涨价10元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．