2022-2023学年四川省达州市大竹县石河中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市大竹县石河中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列多项式可以用公式法因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  解分式方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，经过平移后得到，下列说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共个，购买资金不超过元．若每个篮球元，每个足球元，则篮球最多可购买(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  关于的方程有增根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分交于点，，，连接，下列结论：；；；其中成立的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若分式有意义，则的取值范围为_________．

12.  如图，为等边三角形，，则的度数为______．

13.  不等式的正整数解的和是______．

14.  将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形若，则菱形的面积为______．

 

15.  如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是          ．
 

16.  如图，在▱，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；，一定成立的是______把所有正确结论的序号都填在横线上

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  先化简，再求代数式的值，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
将下列各式因式分解：

 

19.  本小题分
求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．

 

20.  本小题分
已知：如图，在▱中，点、是对角线上的两点，且求证：．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形
将沿轴方向向左平移个单位长度，画出平移后得到的；
将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
直接写出点、的坐标分别为______ 、______ ．

 

22.  本小题分
甲、乙两个工程队计划修建一条长千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的倍．
求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
若甲工程队每天的修路费用为万元，乙工程队每天的修路费用为万元，要使两个工程队修路总费用不超过万元，甲工程队至少修路多少天？

23.  本小题分
探索发现：；；
根据你发现的规律，回答下列问题：
______，______；
利用你发现的规律计算：
灵活利用规律解方程：．

24.  本小题分
如图，与均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，求证：．
拓展探究．如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接求的度数；证明：．

25.  本小题分
如图，在中，，，，在上，且，过点与在同侧作射线，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．
经过______秒时，是等腰直角三角形？
经过______秒时，≌？判断这时的与的位置关系，说明理由．
经过几秒时，？说明理由．
当是等腰三角形时，直接写出的所有值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、只有一项平方项，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误；
B、两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误；
C、不符合完全平方公式形式，故此选项错误；
D、符合平方差公式因式分解的式子的特点，故选项正确．
故选：．
能运用平方差公式因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反，以及利用完全平方公式特点分析即可．
本题考查能运用平方差公式和完全平方公式因式分解的式子的特点，符号问题是最常见的容易出错的问题．
 

2.【答案】 

【解析】

解：、，故选项不是最简分式，不合题意；
B、，故选项不是最简分式，不合题意；
C、，故选项不是最简分式，不合题意；
D、是最简分式，故选项符合题意．
故选：．
【分析】此题主要考查了最简分式，正确掌握分式的性质是解题关键．
直接利用最简分式的定义分别分析得出答案．  

3.【答案】 

【解析】解：、不等式两边同时加上，不等号方向不变，则，故此项错误；
B、不等式两边同时减去，不等号方向不变，则，故此项错误；
C、不等式两边同时除以一个相同的正数，不等号符号不变，则，故此项正确；
D、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号方向改变，则，故此项错误；
故选：．

本题考查不等式的基本性质运用，解题的关键是掌握在不等式两边同时乘以一个负数，不等式符号要改变．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】
解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
去分母得：，
故选：．
方程整理后，去分母转化为整式方程，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

6.【答案】 

【解析】解：经过平移后得到，
，，≌，
≌，
，．
故选：．
利用平移的性质得到，，≌，然后根据三角形全等的性质得，，从而可对各选项进行判断．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
设买篮球个，则买足球个，根据购买足球和篮球的总费用不超过元建立不等式求出其解即可．
【解答】
解：设买篮球个，则买足球个，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
最大取，
最多可以买个篮球．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：方程有增根，
．
解得：．
方程两边同时乘以得：，
将代入得：．
故选：．
依据分式方程有增根可求得，将代入去分母后的整式方程从而可求得的值．
本题主要考查的是分式方程的增根，掌握分式方程产生增根的原因是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，由得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确，
，
是斜边，是直角边，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故正确．
正确的有个，
故选：．
由▱中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；可得是三角形的中位线，证得．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得，即时，分式有意义．
故答案是：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

12.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，




．
故答案为：
求的度数，可利用减去的外角进行求解，只要求得即可，利用三角形的外角的性质可得答案．
本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用外角的性质得到是正确解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：不等式，
移项得：，
解得：，
不等式的正整数解为，，，，之和为．
故答案为：．
不等式移项，将系数化为，求出解集，即可确定出正整数解之和．
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
设，则，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，利用勾股定理得出：
，
，
又，
则菱形的面积．
故答案为：．
根据菱形，得，再利用，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
【解答】

解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，故正确；

如图，延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；

，
，
，
，
故不成立，故错误；

设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故答案为：．
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定，即可得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
． 

【解析】分别求得每个不等式的解集，再根据口诀即可得不等式组的解集，将其表示在数轴上即可．
本题考查的是解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
在与中
，
≌，
，
，
 

【解析】可由题中条件求解≌，得出，即，进而可求证与平行．
本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，难度一般，关键是能够运用其性质解决一些简单的证明问题．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

点、的坐标分别为，．
故答案为，．
利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可；
利用所画图形写出点、的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

22.【答案】解：设甲工程队每天修路千米，则乙工程队每天修路千米，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
千米，
答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米；
设甲工程队修路天，则乙工程队修千米，
乙需要修路天，
由题意可得，
解得，
答：甲工程队至少修路天． 

【解析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量或不等关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
可设甲工程队每天修路千米，则乙工程队每天修路千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
设甲工程队修路天，则可表示出乙工程队修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
 

23.【答案】解：， ；
 原式；
，

，
，
解得，
经检验，为原方程的根． 

【解析】

【分析】
本题考查了解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．理解分式的计算规律：．
利用分式的运算和题中的运算规律求解；
利用前面的运算规律得到原式，然后合并后通分即可；
利用前面的运算规律方程化为，然后合并后解分式方程即可．
【解答】
解：，，
故答案为：， ；
见答案；
见答案．  

24.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．

解：和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
；
证明：，，，
，
，
．
即． 

【解析】根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出．
首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；
根据，，，可得，所以，据此判断出即可．
此题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

25.【答案】   

【解析】解：当是等腰直角三角形时，，
，
故答案为：；
≌，
，
秒，
≌，
，，
又，
，
，
，
故答案为：．
当时，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
经过秒时，；
根据勾股定理得，，的最小值为，
，
，
当时，
在和中，，
≌，
，
则，
当时，如图，于，
则四边形为矩形，
，，
，
由勾股定理得，，，
，即，
解得，，
当是等腰三角形时，或．
根据等腰直角三角形的概念解答；
由≌知，据此可得的值；由≌知，，结合得，即可得出答案；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据题意得到答案；
分和两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可．
本题是三角形的综合问题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．