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2023年湖北省孝感市云梦实验中学中考数学三模试卷（含解析）
展开这是一份2023年湖北省孝感市云梦实验中学中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. −9的相反数是( )
A. −9B. 9C. ±9D. 19
2. 中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是( )
A. 0.1692×1012B. 1.692×1012C. 1.692×1011D. 16.92×1010
3. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，下列条件中，能推出AB//DC的条件( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠D=∠DCE
D. ∠BAD+∠ABC=180°
5. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是( )
A. 3，2B. 2，3C. 2，2D. 2，4
7. 如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F=60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 3
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠c)，且a−b+c=0，a>0.下列四个结论，正确的有个．( )
①抛物线与x轴一定有两个交点；②当x>−1时，y随x的增大而增大；③若a+b=0，则不等式ax2+bx+c<0的解集是−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算：|−5|−(−13)−2= ______ ．
10. 式子 a+2在实数范围内有意义，则a的取值范围是______ ．
11. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，可求∠AED= ______ ．
12. 若x1、x2是一元二次方程x2+3x−6=0的两根，则(x1−2)(x2−2)= ______ ．
13. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼的高为24米，则办公楼的高度约是______ 米.(结果精确到0.1.参考数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33， 3≈1.73.)．
14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为_____．
15. 把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______ 种不同的分法．
16. 如图，A(0,2 3)，B(10,0)，C为线段OB上一动点，将点C绕点A逆时针旋转60°得到AD，连接BD，当BD最小时，点D的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
化简：2a−4a2−4a−1a−4．
18. (本小题8.0分)
在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品.如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
19. (本小题8.0分)
国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”.为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生.根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示，其中分组情况是：A组：t<0.5hB组：0.5h≤t<1hC组：1h≤t<1.5hD组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
(1)本次调查的人数是______ 人，C组对应扇形的圆心角为______ °；
(2)若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少？
(3)经过统计，某班属于D组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，求选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
(1)求证：EN是⊙O的切线；
(2)若AC=3，BC=4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=mx(x>0)的图象交于点C(1,2)，D(2,n)．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接OD，求△BOD的面积；
(3)点P是反比例函数上一点，PQ//x轴交直线AB于Q，且PQ=3，直接写出P点坐标．
22. (本小题10.0分)
李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件40元，日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的关系如图所示(实线)，每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
(1)直接写出日销售y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；
(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡(收入=支出)，求该店员工人数；
(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？
23. (本小题11.0分)
【问题背景】如图(1)，△ABC中，AB=AC，△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，求证：BD=CE；
【变式迁移】如图(2)，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，将点A绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接CD、BE，求CDBE的值；
【拓展创新】如图(3)，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D为△ABC外一点，AD⊥BD，连接CD，求线段AD、CD、BD之间的数量关系.(用含α的式子表示)
24. (本小题13.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．
(1)请直接写出a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，对称轴为______ ；
(2)如图1，点C和点D关于对称轴对称，连接AC、AD、CD，E为抛物线上异于点C一动点，若S△EAD=S△ADC，求点E的坐标；
(3)如图2，连接BC，M为BC上方抛物线上一动点，作MN//AC交BC于N，求 1010MN+ 22BN的最大值及点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−9的相反数是9，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：169200000000=1.692×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：B．
根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、∵∠1=∠2，
∴AD//BC，故本选项错误；
B、∵∠3=∠4，
∴AB//CD，故本选项正确；
C、∵∠D=∠DCE，
∴AD//BC，故本选项错误；
D、∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD//BC，故本选项错误．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6.【答案】B
【解析】解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，5，6，
出现次数最多的数是2，故众数是2；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3，
故选：B．
根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于中间位置的数．
7.【答案】C
【解析】解：连接OA，OF，
∵FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴FB=FA，∠BFO=12∠∠BFA=30°，∠OBF=90°，
∴OF=2OB，
∵DE与⊙O相切于C，
∴CE=BE，CD=AD，
∵△FDE的周长为12，
∴FE+ED+FD=FE+CE+CD+FD=FE+BE+AD+FD=FB+FA=12，
∴BF=6，
∴OB2=OF2−BF2，
∴OB2=(2OB)2−62，
解得：OB=2 3，
∴⊙O的半径长为2 3，
故选：C．
连接OA，OF，根据切线的性质得到FB=FA，∠BFO=12∠∠BFA=30°，∠OBF=90°，根据直角三角形的性质得到OF=2OB，求得BF=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角形的周长的计算，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵a−b−c=0，
∴b=a+c，
∴Δ=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2，
∵a≠c，
∴Δ>0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点，所以①正确；
∵a−b+c=0，
∴抛物线经过点(−1,0)，
若抛物线的对称轴在点(−1,0)的右侧，当x>−1时，y随x的增大先减小后增大，所以②错误；
∵a+b=0，
∴b=−a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−a2a=12，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2,0)，
∵a>0.抛物线开口向上，
∴当−1
∵ax2+bx+c=0有一个根为x=−1，
∴x−2=−1，
解得x=1，
即一元二次方程a(x−2)2+bx=2x−c有一个根x=1，所以④正确．
故选：C．
由于b=a+c，a≠c，所以Δ=(a−c)2>0，则根据根的判别式的意义可判断抛物线与x轴一定有两个交点，于是可对①进行判断；抛物线经过点(−1,0)，若抛物线的对称轴在点(−1,0)的右侧，当x>−1时，y随x的增大先减小后增大，则可对②进行判断；利用a+b=0得到抛物线的对称轴为直线x=12，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2,0)，则抛物线在x轴所的下方所对应的自变量的范围为−1
9.【答案】−4
【解析】解：|−5|−(−13)−2
=5−9
=−4，
故答案为：−4．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.【答案】a≥−2
【解析】解：由题意得，a+2≥0，
解得a≥−2．
故答案为：a≥−2．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11.【答案】75°
【解析】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=40°，
∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−50°=90°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=90°−40°=50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×70°=25°，
∴∠AED=180−∠B−∠BAD−∠DAE
=180°−40°−40°−25°
=75°，
故答案为：75°．
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
本题考查作图−基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
12.【答案】7
【解析】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=−3，x1x2=−6
∴(x1−2)(x2−2)
=x1⋅x2−2(x1+x2)+4
=−3+2×3+4
=−3+6+4
=7，
故答案为：7．
根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=1，再将(x1−2)(x2−2)变形为x1⋅x2−2(x1+x2)+4，然后代入计算即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13.【答案】10.4
【解析】解：由题意可知AB=24米，∠BDA=53°，
∴tan∠BDA=ABAD=24AD≈1.33，
∴AD=241.33≈18.05(米)．
∵tan∠CAD=tan30°=CDAD=CD18.05= 33，
∴CD=18.05× 33≈10.4(米)．
故办公楼的高度约为10.4米．
由题意可知AB=24米，∠BDA=53°，因为tan∠BDA=ABAD，可求出AD，又由tan30°=CDAD，可求出CD，即得到答案．
本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
14.【答案】4π
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
【解答】
解：扇形的弧长=120π×6180=4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
∴面积为π×22=4π，
故答案为4π．
15.【答案】24
【解析】解：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=1+5+4=1+6+3=1+7+2=2+3+5=2+5+3，
∵将10个苹果分给3个小朋友，共有8×3=24(种)．
故答案为：24．
把10进行拆分，得到3个不同的正整数相加的情况即可求解．
本题考查了排列与组合问题，关键是将10分解为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=1+5+4=1+6+3=1+7+2=2+3+5=2+5+3．
16.【答案】(4,2 3)
【解析】解：以OA为边向右作等边三角形OAF，连接并延长DF交x轴于点E，
∵将点C绕点A逆时针旋转60°得到AD，
∴∠CAD=∠OAF=60°，
∴∠FAD=∠OAC=60°−∠FAC，
在△FAD和△OAC中，
AD=AC∠FAD=∠OACFA=OA，
∴△FAD≌△OAC(SAS)，
∴∠AFD=∠AOC=90°，
∴点D在过点F且与AF垂直的直线上运动，
作BH⊥DF于点H，当点D与点H重合时，BD最小，
连接AE，作HI⊥x轴于点I，则∠EIH=∠EHB=90°，
∵∠AFE=∠AOE=90°，∠AFO=∠AOF=60°，
∴∠EFO=∠EOF=90°−60°=30°，
∴OE=OF，∠BEH=∠EFO+∠EOF=60°，
∴AE垂直平分OF，
∴∠OAE=∠FAE=12∠OAF=30°，
∵A(0,2 3)，B(10,0)，
∴OE=OA⋅tan30°=2 3× 33=2，
∴BE=10−2=8，
∴EH=BE⋅cs60°=8×12=4，
∴EI=EH⋅cs60°=4×12=2，HI=EI⋅tan60°=2 3，
∴OI=2+2=4，
∴H(4,2 3)，
∴当BD最小时，点D的坐标为(4,2 3)，
故答案为：(4,2 3).
以OA为边向右作等边三角形OAF，连接并延长DF交x轴于点E，可证明△FAD≌△OAC，得∠AFD=∠AOC=90°，可知点D在过点F且与AF垂直的直线上运动，作BH⊥DF于点H，当点D与点H重合时，BD最小，连接AE，作HI⊥x轴于点I，则∠EFO=∠EOF=30°，所以OE=OF，∠BEH=60°，∠OAE=∠FAE=12∠OAF=30°，则OE=OA⋅tan30°=2，BE=8，所以EH=BE⋅cs60°=4，EI=EH⋅cs60°=2，HI=EI⋅tan60°=2 3，则H(4,2 3)，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：由题意，原式=2a−4a(a−4)−aa(a−4)
=2a−4−aa(a−4)
=a−4a(a−4)
=1a．
【解析】依据题意，直接利用异分母分式的加减运算法则计算得出答案．
本题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】解：(1)设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件，
依题意得：30x+20y=68050x+40y=1240，
解得：x=12y=16．
答：A种防疫物品12元/件，B种防疫物品16元/件．
(2)设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买(300−m)件，
依题意得：12m+16(300−m)≤4000，
解得：m≥200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【解析】(1)设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件，根据“如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买(300−m)件，利用总费用=单价×数量，结合总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】400 144
【解析】解：(1)本次调查的总人数为40÷10%=400(人)，
C组人数为400−(40+120+80)=160(人)，
C组对应扇形的圆心角为360°×160400=144°，
故答案为：400、144；
(2)80000×160+80400=48000(人)，
答：估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有48000人；
(3)列表得：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能，
所以选出的为一个男生一个女生的概率是812=23．
(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，再根据4组人数之和等于总人数求出C组人数，继而用360°乘以C组人数所占比例即可；
(2)用总人数乘以样本中C、D组人数和所占比例；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
20.【答案】(1)证明：如图，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE=NB，
∴∠B=∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠NEB+∠OEA=90°，
∴∠OEN=180°−90°=90°，
即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接ON，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE=NB，
设EN=x=BN，
在Rt△CON中，ON2=OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2=OE2+EN2，
∴OC2+CN2=OE2+EN2，
即(3−1)2+(4−x)2=12+x2，
解得x=198，
即EN=198．
【解析】(1)根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO=90°即可；
(2)利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
21.【答案】解：(1)由y2=mx过点C(1,2)和D(2,n)可得：m1=2m2=n，
∴解得：m=2n=1．
∴y2=2x．
又由y1=kx+b过点C(1,2)和D(2,1)可得：k+b=22k+b=1，
∴解得k=−1b=3．
∴y1=−x+3．
(2)由y1=−x+3过点B，可知B(0,3)，
∴OB=3．
而点D到y轴的距离为2，
∴S△BOD=12×3×2=3．
(3)由题意，可设P(m,2m)(m>0)，
又PQ//x轴且Q在直线AB上，
∴Q(3−2m,2m).
又PQ=3，
∴|m−3+2m|=3．
∴解得，m=3± 7．
∴P(3+ 7,3− 7)或(3− 7,3+ 7).
【解析】(1)依据题意，将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；
(2)依据题意，根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出S△BOD；
(3)依据题意，设P(m,2m)(m>0)，再有PQ//x轴且Q在直线AB上，可得Q(3−2m,2m)，最后根据PQ=3，计算出m，进而得解．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当40≤x<58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，
由图象可得，
60=40k1+b124=58k1+b1，
解得：k1=−2b1=140．
∴y=−2x+140；
当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，
由图象得，
24=58k2+b211=71k2+b2，
解得k2=−1b2=82．
∴y=−x+82．
综上所述：y=−2x+140(40≤x≤58)−x+82(58
当x=48时，
y=−2×48+140=44，
则(48−40)×44=106+82a，
解得a=3．
答：该店员工人数为3．
(3)设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．
当40≤x<58时，
w=(x−40)(−2x+140)−82×2−106
=−2x2+220x−5870
=−2(x−55)2+180，
当x=55时，w最大值=180．
当58≤x≤71时，
w=(x−40)(−x+82)−82×2−106
=−x2+122x−3550
=−(x−61)2+171，
当x=61时，w最大值=171．
∵180>171
∴w最大值为180
答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．
【解析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
(3)分两种情况解答：①当40≤x<58时；②当58≤x≤71时，依据：总利润=单件利润×销售量−工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
23.【答案】解：【问题背景】：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
【变式迁移】：连接AE，如图所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB= 2AC，
∵将点A绕点D顺时针旋转90°得到DE，
∴AD=DE，∠ADE=90°，∠DAE=45°，
∴AE= 2AD，∠CAD=∠BAE，
∵ACAB=ADAE= 22，
∴△ACD∽△ABE，
∴CDBE=ADAE= 22．
【拓展创新】：延长DB到E，连接AE，使得∠E=α，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵sinα=ACAB=ADAE，
∴△ACD∽△ABE，
∴sinα=CDBE=ADAE，
∴CDsinα=BE，
∵DB+BE=DE，ADBD+BE=tanα，
∴AD=tanα(BD+BE)=tanα(BD+CDsinα)．
【解析】【问题背景】：根据角的等量代换得出∠BAD=∠CAE，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
【变式迁移】：连接AE，由勾股定理及旋转的性质得ACAB=ADAE= 22，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；
【拓展创新】：延长DC到E，连接AE，使得∠E=α，根据正弦函数的定义及相似三角形的判定和性质求出sinα=CDCE，再结合图形，利用正切函数即可得出结果．
本题考查了相似变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质及相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识是解题关键．
24.【答案】−1 2 3 直线x=1
【解析】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∵−b2a=−22×(−1)=1，
∴抛物线对称轴为直线x=1；
故答案为：−1，2，3，直线x=1；
(2)设AD交y轴于F，过C作CE1//AD交抛物线于E1，在F下方的y轴上取点G，使FG=FC，过G作E2E3//AD交抛物线于E2，E3，如图：
∵点C(0,3)和点D关于对称轴直线x=1对称，
∴D(2,3)，
∵A(−1,0)，
∴直线AD函数表达式为y=x+1，
∵CE1//AD，C(0,3)，
∴点C，点E1到AD的距离相等，CE1的函数表达式为y=x+3，
∴S△E1AD=S△ADC，
由y=x+3y=−x2+2x+3得x=0y=3或x=1y=4，
∴E1(1,4)；
∵FG=FC，E2E3//AD，
∴直线E2E3到AD的距离等于直线CE1到AD的距离，
∴S△E2AD=S△E3AD=S△ADC，
在y=x+1中，令x=0得y=1，
∴F(0,1)，
∵C(0,3)，
∴G(0,−1)，
∴直线E2E3的函数表达式为y=x−1，
由y=x−1y=−x2+2x+3得x=1+ 172y=−1+ 172或x=1− 172y=−1− 172，
∴E2(1− 172,−1− 172)，E3(1+ 172,−1+ 172)，
综上所述，点E的坐标为(1,4)或(1− 172,−1− 172)或(1+ 172,−1+ 172)；
(3)设M(t,−t2+2t+3)，其中0
由B(3,0)，C(0,3)得直线BC函数表达式为y=−x+3；
∵MN//AC，
∴设直线MN函数表达式为y=3x+b，
将M(t,−t2+2t+3)代入得：−t2+2t+3=3t+b，
∴b=−t2−t+3，
∴直线MN函数表达式为y=3x−t2−t+3，
由y=3x−t2−t+3y=−x+3得x=t2+t4y=−t2−t+124，
∴N(t2+t4,−t2−t+124)，
∵M(t,−t2+2t+3)，B(3,0)，且0
BN= (3−t2+t4)2+(t2+t−124)2=− 2t2− 2t+12 24，
∴ 1010MN+ 22BN= 1010×3 10t− 10t24+ 22×− 2t2− 2t+12 24=−12t2+12t+3=−12(t−12)2+258，
∵−12<0，
∴当t=12时， 1010MN+ 22BN取最大值258，
此时M(12,154)；
∴ 1010MN+ 22BN的最大值是258，点M的坐标为(12,154).
(1)用待定系数法求出抛物线解析式，可得a，b，c的值及对称轴直线方程；
(2)设AD交y轴于F，过C作CE1//AD交抛物线于E1，在F下方的y轴上取点G，使FG=FC，过G作E2E3//AD交抛物线于E2，E3，求出D(2,3)，直线AD函数表达式为y=x+1，可得CE1的函数表达式为y=x+3，解y=x+3y=−x2+2x+3得E1(1,4)；求出F(0,1)，可得G(0,−1)，直线E2E3的函数表达式为y=x−1，联立函数表达式可得E2(1− 172,−1− 172)，E3(1+ 172,−1+ 172)；
(3)设M(t,−t2+2t+3)，其中0
男1
男2
女1
女2
男1
/
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
/
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
/
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
/
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