2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省十堰市丹江口市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 任意实数

2.  下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

3.  在平行四边形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一次函数的图象上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法错误的是(    )

A. 极差是 B. 平均数是 C. 众数是 D. 中位数是

7.  下列说法中正确的个数为(    )
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
对角线相互平分且相等的四边形是矩形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
对角线相等且垂直的四边形是正方形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转至处，连接，若点在斜边上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量毫克随时间小时的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后，如果每毫升血液中含药量毫克或毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这种药物的最有效时间是小时．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我们知道：若两条直线：与：垂直，则如图，已知点到直线的距离是，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  中，，，，则的面积为______ ．

12.  计算结果等于______．

13.  某学校为落实德智体美劳全面发展的教育方针，针对当前学校劳动教育薄弱的现状，决定招聘一位劳动教师，现对甲、乙、丙三名候选人进行了测试他们的各项测试成绩如右表所示根据实际需要，学校将学历、笔记、无生上课、现场答辨四项测试得分按：：：的比例确定个人的综合测试成绩，那么将被录用的是______ ．

14.  如图，已知直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

15.  如图，四边形中，，，对角线，若，则的面积为______ ．

16.  如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知函数是常数．
为何值时，随的增大而增大？
满足什么条件时，该函数是正比例函数？
当时，函数图象交轴于点，交轴于点，求的面积．

19.  本小题分
如图，和都是等边三角形，点，分别在的边，上，已知，，，将绕点逆时针旋转至，连接，若求的度数．

20.  本小题分
今年五月，我市又爆发了一次流感疫情，其主要症状为咽喉疼痛，有轻微咳嗽和发烧，全身无力，部分学校师生有一定数量的感染，影响到师生正常的工作、学习和生活某校为普及防疫知识，对全校学生进行了科学防疫知识测试，从中随机抽取名学生的测试成绩，将其进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据图中信息解答下列问题．
从全校学生中随机抽取的学生数 ______ ，扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
已知“”这组的数据如下：、、、、、、、，求这组数据的方差；
若成绩达到分以上含分，则对科学防疫知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中对科学防疫知识了解情况为优秀的学生人数．

21.  本小题分
如图，在中，是边上一点，是的中点，过作，交的延长线于点．
求证：；
连接，如果是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．

22.  本小题分
如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

23.  本小题分
某服装超市销售套型时装和套型时装的利润为元，销售套型时装和套型时装的利润为元．
每套型时装的销售利润为______ 元，每套型时装的销售利润为______ 元；
该商店计划一次购进两种型号的时装共套，其中型时装的进货量不超过型时装的倍，设购进型时装套，这套时装的销售总利润为元，
求关于的函数关系式并求出自变量的取值范围；
该商店购进型、型时装各多少套，才能使销售总利润最大？
实际进货时，厂家对型时装出厂价下调元，且限定商店最多购进型时装套，若超市保持同种时装的售价不变，请你根据以上信息及中条件，设计出使这套时装销售总利润最大的进货方案．

24.  本小题分
如图，和均为等腰直角三角形，，点为中点，绕点旋转，连接、．
在旋转过程中，与的数量关系为______ ，与的位置关系是______ ；
当点、在内且、、三点共线时如图，求的值；
若中，，在旋转过程中，当，且、、三点共线时，画出图形，并直接写出的长．

 

25.  本小题分
如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，经过点的直线交轴正半轴于点，已知的面积为．
求直线的解析式；
是直线上一点，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
已知是的中点，
如图，若是直线上一点，且，点的坐标；
如图，若是轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，以，为边作正方形，当点在轴上运动时，点也在一条直线上运动，请直接写出这条直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意．
C、，即，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设，，，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．正确记忆判断三角形是否为直角三角形的方法是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故选：．
结合已知条件，根据平行四边形的性质即可求得答案．
本题考查平行四边形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又点，，均在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：极差为，平均数为，众数为，中位数为，
故选：．
根据极差、平均数、众数和中位数的定义依次求解即可．
本题主要考查极差、加权平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握极差、加权平均数、众数和中位数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故符合题意；
对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定定理判断即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转至处，
，，，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得出，，，得出的度数即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设关于的函数关系式为．
当时，将，代入得：，
解得：，
当时，关于的函数关系式为；
当时，将，代入得：，
解得：，
当时，关于的函数关系式为．
关于的函数关系式为．
当时，若，则，
解得：，
；
当时，若，则，
解得：，
．
当时，这种药物的最有效，
这种药物的最有效时间是小时．
故选：．
设关于的函数关系式为，根据图象上点的坐标，可利用待定系数法求出关于的函数关系式，再结合，可求出的取值范围，进而可得出这种药物的最有效时间是小时．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及函数的图象，根据图中点的坐标，利用待定系数法求出关于的函数关系式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

直线，
直线过定点，
，
，
点到直线的距离是，
与直线垂直，
设直线为：，
则有，
解得，
直线为：，
，
．
故选：．
根据直线，可知直线过定点，根据，得与直线垂直，根据待定系数法求出直线为：，再根据两条直线垂直的关系即可求出答案．
本题考查了两条直线垂直的问题，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质和两条直线垂直的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
的面积．
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先利用平方差公式计算，再计算乘方，最后计算减法即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲的综合成绩为，
乙的综合成绩为，
丙的综合成绩为，
所以甲的综合成绩最高，
故甲将被录用．
故答案为：甲．
根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线：与轴的交点为，直线：与直线：相交于点，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
根据交点坐标结合图象即可求解．
本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
的面积，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，，如图：

点是的中点，
为的中位线，
，
只要求出的最大值和最小值即可得到的最大值和最小值，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
点是平面内的一个动点，，
点在以点为圆心，半径为的圆上运动，
根据线段最短、圆内最大的弦是直径得：
，
即：，
，
当点在线段上时，为最小，最小值为，当点在的延长线上时，为最大，最大值为，
的最小值为，最大值为，
的最大值与最小值的差为：．
故答案为：．
延长到，使，连接，，根据三角形的中位线定理得，因此只要求出的最大值和最小值即可得到的最大值和最小值，然后在中求出，根据点在以点为圆心，半径为的圆上运动，根据线段最短、圆内最大的弦是直径得：，即，据此可得出为最小值为，最大值为，进而得的最小值为，最大值为，据此可得出答案．
此题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，点与圆的位置关系，熟练掌握勾股定理和三角形的中位线定理，理解线段最短、圆内最大的弦是直径是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简和除法，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，随的增大而增大，
，
解得，
即当时，随的增大而增大；
，该函数是正比例函数，
且，
解得，
即当时，该函数是正比例函数；
当时，，
当时，；当时，；
点的坐标为，点的坐标为，
，，
的面积为：． 

【解析】根据一次函数的性质，可知，然后求解即可；
根据正比例函数的定义可知且，然后求解即可；
将的值代入，求出该函数与轴和轴的交点，然后计算出的面积即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系、正比例函数的定义，解答本题的关键是明确题意，求出相应的的值．
 

19.【答案】解：过点作于点，
和都是等边三角形，，，
，，
，，
，
根据勾股定理可得：，
，
，
，
． 

【解析】过点作于点，根据等边三角形的性质得出，，推出为等腰三角形，根据三线合一得出，再根据勾股定理，得出，即可求解．
本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形三条边相等，三个角都是；等腰三角形“三线合一”；以及直角三角形两的平方和等于斜边平方．
 

20.【答案】   

【解析】解：从全校学生中随机抽取的学生数，
扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是；
故答案为：，；
平均数为，
，
答：这组数据的方差为；
人，
答：估计全校名学生中对科学防疫知识了解情况为优秀的学生人数有人．
根据“”这组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用乘以“”所占的百分比即可求出圆心角的大小；
先计算平均数，再根据方差公式计算即可；
用总人数乘以成绩优秀的人数所占的百分比即可．
本题考查频数分布直方图，方差，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：由题意得，
，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：时，四边形是矩形，证明如下：如图，

，，
四边形是平行四边形，
当时，是等腰三角形，
是的中点，
，
四边形是矩形，
时，四边形是矩形． 

【解析】证明≌，进而结论得证；
由，，可证四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，进而可得，的数量关系．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

22.【答案】证明：由题意可得，
≌，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
矩形中，，，，
，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
四边形的面积是：． 

【解析】根据题意和翻折的性质，可以得到≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积．
本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元；
，
解得：，
答：每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元，
故答案为：，；
设购进型时装套，则购进型时装套，
根据题意可得：，
解得：，
，
；
，．
随的增大而减小，
，
当时，取最大值，
此时，
，
该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大；
根据题意可得：，
，
当时，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，
此时，
即该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大；
当时，
，
，
即该商店购进型时装套数满足，都能使销售总利润最大；
当时，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，
此时，
即该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大．
设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元，根据题意列出方程组求解即可；
设购进型时装套，则购进型时装套，先根据“型时装的进货量不超过型时装的倍”列出不等式求取值范围，再根据总利润的利润的利润，列出函数关系式即可；根据中的函数关系式的增减性，即可解答；
根据题意得出，再分三种情况进行讨论即可：当时，当时，当时．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程，函数表达式和不等式．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图，连接，延长交于，交于点，

为等腰直角三角形，，
，
点为中点，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
如图所，连接，

由可知，≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
当点在线段上时，如图，
由可知：，，，
，
，
，
；
当点在线段上时，如图，连接，

根据中的证明可知，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，即是直角三角形，
，
，
，
；
综上所述：的长为或．
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得，即可求解；
由全等三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查等腰直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：对于，当时，，令，则，
即点、的坐标分别为：、，则，
的面积，则，即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；

存在，理由：
设点的坐标为：、点，
当为对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：；
当为对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：或；
当为对角线时，由中点坐标公式和同理可得，
点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或或或；

是的中点，则点．
如图，过点作于点，设点、的坐标分别为：、，

过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
，则为等腰直角三角形，则，
，，
，
，
≌，
，，
即且，
解得：，，
即点的坐标为：；
如图，当点在点的上方时，设点，点，

过点作轴的平行线交过点、于轴的平行线分别交于点、，
由题意得，，
同理可得：≌，
则，，
即且，
即；
当点在点的下方时，
同理可得：，
即直线的解析式为或． 

【解析】由的面积求出，得到点，即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式和，列出方程组，即可求解；当、为对角线时，同理可解；
证明≌，得到，，即可求解；
当点在点的上方时，证明≌，得到，，即可求解；当点在点的下方时，同理可解．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、三角形全等、菱形的性质及应用等知识，正确的分类求解是本题解题的关键．