第34讲 平面向量的概念与线性运算-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第34讲 平面向量的概念与线性运算

1、 向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．

(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．

2、向量的线性运算

(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．

(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa与a方向相同；

当λ<0时，λa与a方向相反；

当a＝0时，λa＝0；

当λ＝0时，λa＝0．

(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：

①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μa；

③λ(a＋b)＝λa＋λb．

3、 向量共线定理：

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．

1、【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为点D在边AB上，，所以，即，

所以 ．

故选：B．

2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C

1、在下列命题中，真命题的是　　　　．（填序号）

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线．

【答案】  ①③⑤

【解析】 由定义知①正确；零向量的方向是任意的，故②不正确；③，⑤显然正确，④不正确．

2、 如图，已知＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　)

A. b－a

B. a－b

C. a－b

D. b－a

【答案】 D

【解析】 由题意，得＝＋＝＋＝（－）－＝－＋＝－a＋b.

3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝(      )

A. 1　   B. 2　  C. 4　  D. －1

【答案】A

【解析】　∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴＝λ，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，

得解得t＝1. 故选A.

4、已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)

A.A，B，D三点共线    B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线    D.A，C，D三点共线

【答案】　A

【解析】　由题意得＝＋＝a＋5b＝，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.

考向一　平面向量的有关概念

例1、给出下列命题，正确的有(　　)

A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形

C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b

D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线

【答案】　B

【解析】　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；

B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；

D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

变式1、给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形；

④在平行四边形ABCD中，一定有＝；

⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中错误的命题是　　　　．（填序号）

【答案】 ①②③⑥

【解析】 若两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①错误；若|a|＝|b|，则a与b大小相等，但a与b的方向不确定，所以a，b不一定相等，故②错误；若＝，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，故③错误；④，⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故当b＝0时，a与c不一定平行，故⑥错误．

变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．

（1）与相等的向量有              ；

（2）与相等的向量有          ；

（3）与共线的向量有          ．

答案：（1），，；（2）；

（3）．

方法总结：向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．

考向二  向量的线性运算

例2、如图，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　.

【答案】

【解析】 由题意，得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.

变式1、（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　)

A.－   B.＋

C.－   D.＋

【答案】（1）A　（2）A

【解析】　1．作出示意图如图所示．

＝＋＝＋

＝×(＋)＋(－)

＝－.故选A.

2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，

所以E是AC的中点，

可得＝＋＝(＋)＋

＝－＝－，故选A.

变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝　　　　．（用表示）

【答案】 4

【解析】 因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.

方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

考向三 共线定理的应用

例3、设两个非零向量a与b不共线．

(1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．

【解析】 (1) 由题意，得＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，所以，共线．

又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线．

(2) 因为ka＋b与a＋kb同向，所以存在实数λ(λ＞0)，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，

所以(k－λ)a＝(λk－1)b.

因为a，b是不共线的两个非零向量，

所以解得或

又因为λ＞0，所以k＝1.

变式1、如图，在△ABC中，D是BC上靠近点B的四等分点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.

(1) 试用a，b表示，，；

(2) 证明：B，E，F三点共线．

【解析】 (1) 由题意，得＝－＝b－a.

＝＋＝＋ ＝ ＋（ － ）＝a＋(b－a)＝a＋b；

＝＋＝－＋＝－a＋b.

(2) 因为＝－a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋（a＋b）＝－a＋b＝＝，

所以与共线．

又与有公共点B，

所以B，E，F三点共线．

变式2、如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示.

【解析】　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.＝－＝－＝－a＋b.又∵A、M、D三点共线，

∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋b)．

∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵＝－＝ma＋nb－a＝(m－)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴与共线．

∴存在实数t1，使得＝t1，∴(m－)a＋nb＝t1(－a＋b)，∴消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.

方法总结：利用共线向量定理解题的方法

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

1、 已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ的值为(　　)

A. －1   

B. －2

C. －2或1   

D. －1或2

【答案】 D

【解析】 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一一个实数μ，使得＝μ，即λa＋2b＝μ[a＋(λ－1)b]，所以解得λ＝－1或λ＝2.

2、.在△ABC中，下列命题正确的是(　　 )

A.－＝

B.＋＋＝0

C.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形

D.若·＞0，则△ABC为锐角三角形

【答案】　BC

【解析】　由向量的运算法则知－＝；＋＋＝0，故A错，B对；

∵(＋)·(－)＝2－2＝0，

∴2＝2，即AB＝AC，

∴△ABC为等腰三角形，故C对；

∵·＞0，

∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．

故选BC.

3、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，

由向量加法的三角形法则得

，A对；

∵，∴，

∴，

又F为AE的中点，∴，B对；

∴，C对；

∴，D错；

故选：ABC．

4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 如图在梯形中，，，设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为，，

所以，

又，，

所以.

故选：D.