第36讲 平面向量的数量积-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第36讲 平面向量的数量积

1、向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则

∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．

当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；

当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；

当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．

2、平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定：零向量与任一向量的数量积为零．

3、平面向量数量积的几何意义

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．

(2)a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　　　　　　　　　

4、向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a.

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

5、平面向量数量积的性质

设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cos θ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

6、平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则

(1)|a|＝；　 　(2)a·b＝x1x2＋y1y2；

(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cos θ＝.

1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量，若，则（    ）

A． B．

C． D．

2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 已知向量，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）） 正方形的边长是2，是的中点，则（    ）

A.  B. 3 C.  D. 5

4、（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足，，则______．

5、22年全国乙卷】已知向量满足，则（       ）

A． B． C．1 D．2

6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（       ）

A． B． C．  D．

7、【2020年新课标3卷理科】已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

1、已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为(　　)

A. 12    B. 6    C. 3    D. 3

2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)

A. a·b＝5          B. |a－b|＝

C. 〈a，b〉＝    D. a∥b

3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若 |a－2b|＝，则|a＋2b|＝　　　　．

4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)

A.或

B.或

C.

D.

考向一 平面向量的夹角及模的问题

例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量，满足，且，则______．

变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，），则向量a，b的夹角为　　　　．

变式2、 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为　　　　.

变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是　　　　　　　　．

.

变式4、（2019春•泉州期末）（多选题）中，，，，在下列命题中，是真命题的有　　

A．若，则为锐角三角形 

B．若．则为直角三角形 

C．若，则为等腰三角形 

D．若，则为直角三角形

方法总结：求向量的夹角，有两种方法：

(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得．

(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]．

考向二 平面向量中的垂直

例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)

A.   B.    C.6     D.

变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1) 若a⊥b，求x的值；

(2) 若a∥b，求|a－b|的值．

方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：

(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。

(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。

考向三　平面向量的数量积的运算

例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，其中，，，，，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

变式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，点E满足，则（    ）

A． B． C．3 D．6

变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB， ＝，||＝1，则·＝　　　　．

变式3、　在△ABC中，∠BAD＝60°，＝，||＝1，·＝1，则||＝　　　　．　

方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（    ）

A． B． C． D．

3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（    ）

A． B． C． D．

4、（2022·山东日照·高三期末）已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为

6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（    ）

A． B．

C．点､､…一定在一条直线上 D．､在向量方向上的投影一定相等