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    第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版)

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    29三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)五点法作图原理:在正弦函数ysin xx[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0)0)(2π0)在余弦函数ycos xx[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),-1)(2π1). (2)五点法作图的三步骤:列表、描点、连线(注意光滑)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象RR值域[1,1][1,1]R奇偶奇函数偶函数奇函数(kZ)上是递增函数,在(kZ)上是递减函数[2kππ2kπ](kZ)上是递增函数,在[2kπ2kππ](kZ)上是递减函数(kZ)上是递增函数    周期是2kπ(kZk0),最小正周期是周期是2kπ(kZk0),最小正周期是周期是kπ(kZk0),最小正周期是π对称轴是xkπ(kZ),对称中心是(kπ0)(kZ)对称轴是xkπ(kZ),对称中心是(kZ)对称中心是(kZ)  12023年全国1已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题,考查数学运算的核心素养.难度:中等偏下.【答案】【分析】令,得3个根,从而结合余弦函数的图象性质即可得解.【详解】因为,所以,则3个根,,则3个根,其中结合余弦函数图象性质可得,故故答案为:.22022年北京】已知函数,则(       A上单调递减 B上单调递增C上单调递减 D上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项,当时,,则上单调递增,A错;对于B选项,当时,,则上不单调,B错;对于C选项,当时,,则上单调递减,C对;对于D选项,当时,,则上不单调,D.故选:C.1y|cos x|的一个单调递增区间是(  )A.   B[0π]C.   D.【答案】 D【解析】 ycos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折,x轴上方(x轴上)的图象不变,即得y|cos x|的图象(如图)故选D.2函数f(x)的定义域为(  )A.(kZ)      B.(kZ)C.(kZ)      D.(kZ)【答案】 B【解析】 由题意,得2sin x10x(kZ)x(kZ)32022·河北邯郸·二模)函数上的值域为(       A  BC D 【答案】C【解析】时,,当时,即 时,取最大值1,当,即 时,取最小值大于 ,故值域为 故选:C42022·湖北·荆州中学模拟预测)已知函数单调递减,则的最大值为(     A B C D【答案】B【解析】,解得因为,所以,则,解得 ,所以最大值为故选:B5(多选)2022·苏锡常镇一模)下列函数中,最大值是1的函数有(  )A. y|sin x||cos x|B. ysin2xcos2xC. y4sin2x cos2xD. y【答案】BC.【解析】 对于Ay,当且仅当sin 2x±1,即xkZ时取,即当xkZ时,ymax,故A错误;对于By=-(cos2xsin2x)=-cos2x1,当且仅当2x2kππ,即xkπkZ时取,即当xkπkZ时,ymax1,故B正确;对于Cy(2sin x cos x)2sin22x1,当且仅当sin2x±1,即xkZ时取,即当xkZ时,ymax1,故C正确;对于D,依题意,由tan xtan 2x都有意义,且tan 2xtan x0,得xkπ,且xkπ,且xkZysin 2x,显然sin 2x最大值为1,此时,xkπkZ,而kπkZ使函数y无意义,即sin 2x不能取到1,故D不正确.故选BC. 考向一 三角函数的定义域1 (1)函数y的定义域为________【答案】 【解析】 要使函数有意义,故函数的定义域为.2函数y的定义域为________【答案】 (kZ)【解析】 要使函数有意义,必须使sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]ysin xycos x的图象,如图所示.[0,2π]内,满足sin xcos xx,再结合正弦、余弦函数的周期是,所以原函数的定义域为.变式、函数ylg(sin 2x)的定义域为________【答案】 【解析】 函数ylg(sin 2x)应满足解得其中kZ3x<0<x<函数的定义域为. 方法总结:三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例,应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(ωxφ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.考向二  三角函数的值域(最值)2已知a>0,函数f(x)=-2a sin 2x)+2abf(x)R上的值域是 [51],求a的值.【解析】 sin [11],所以-2a sin 2x[2a2a],所以f(x)[b4ab].因为f(x)的值域是[51],所以b=-54ab1,解得a>0,故a的值为.变式1 已知a>0,函数f(x)=-2a sin 2x)+2ab.x时,f(x)的值域是[51],求a的值.【解析】 因为x,所以2x,所以sin ,所以-2a sin 2x[2aa],所以f(x)[b3ab].因为f(x)的值域是[51],所以b=-53ab1,解得a2>0,故a的值为2.变式2 求下列函数的值域:(1) y(2) y(0<x<π).【解析】 (1) 因为y1,所以当sin x=-1时,ymin1,所以该函数的值域为.(2) tsin xcos x,则tsin .因为0<x,所以-<x<所以-1<t.又因为sin x cos x所以y所以y<1,所以该函数的值域为[1方法总结:1. 直接法:直接利用sin xcos x的值域求解.2. 化一法:将所给三角函数化为yA sin (ωx+φ)k的形式,由正弦函数的单调性写出函数的值域.3. 换元法:将sin xcos xsin x cos xsin x±cos x换成t,转化为二次函数来求解.考向三  三角函数的单调性3求函数 ysin 的单调增区间.【解析】 2kπ2x2kπ(kZ),得kπxkπ(kZ)故所求函数的单调增区间为(kZ).变式1 求下列函数的单调增区间.(1) ysin x[0π](2) ysin (3) y.【解析】 (1) 2kπ2x2kπ(kZ),得kπxkπ(kZ).因为x[0π],所以0xxπ故所求函数的单调增区间为[0].(2) 因为ysin =-sin 所以由2kπ2x2kπ(kZ)kπxkπ(kZ)故所求函数的单调增区间为[kπkπ]kZ.(3) kπ2xkπ(kZ),得x(kZ)故所求函数的单调增区间为[]kZ.变式2ω>0,若函数y4sin ωx在区间[]上单调递增,求ω的取值范围.【解析】 tωx,则y4sin t.因为ω>0x所以tωx在区间上单调递增,所以-t.因为y4sin ωx在区间上单调递增,所以所以解得ω>0,所以0<ωω的取值范围是.方法总结:本题考查三角函数的单调性.首先化成yAsin(ωxφ)的形式再把ωxφ看作整体代入ysinx的相应单调区间内求x的范围即可.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题首先明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次要确定已知函数的单调区间从而利用它们之间的关系可求解.考查运算求解能力整体代换及转化与化归的思想.考向  三角函数的奇偶性、周期性及对称性42022年湖北省荆州市高三模拟试卷)(多选题)已知函数,给出下列四个命题,其中正确的是(    A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称C. 在区间上单调递增 D. 的值域为【答案】BD【解析】,所以A选项错误.所以的图象关于点中心对称,B选项正确.,所以C选项错误.所以的值域为D选项正确.故选:BD变式12022年广东普宁市高三模拟试卷)(多选题)对于函数,下列结论正确得是(    A. 的值域为 B. 单调递增C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为【答案】AD【解析】所以所以是偶函数,所以是函数的周期,的最小正周期为.对于A,因为的最小正周期为,令,此时所以,所以有,可知其值域为,故A正确;对于B,由A可知,上单调递增,在上单调递减,因为所以上不是单调递增,故B不正确;对于C,因为所以所以的图象不关于直线对称,故C不正确;对于D,前面已证明正确.故选:AD变式22022年福建莆田市模拟试卷)(多选题)已知函数 则(    A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一条对称轴C. 函数的最小值为1,最大值为 2 D. 函数上单调递减【答案】BC【解析】因为,所以A错误;所以,所以函数为偶函数,所以的图象关于轴对称,所以为函数的一条对称轴,B正确;,有,则,当时,因为上单调递增,在上单调递减, 所以当时,函数取最大值,最大值为2,当时,函数取最小值,最小值为 C正确;函数复合而成,当时,函数,因为所以函数上单调递减,所以函数上单调递减,且函数上单调递减,所以函数上单调递增,D错误故选:BC变式32022年福建上杭县高三模拟试卷写出一个同时满足下列三个性质的函数:______.为奇函数;②为偶函数;③上的最大值为2.【答案】(答案不唯一)【解析】分析函数的三条性质,可考虑三角函数,因为为奇函数,上的最大值为2所以函数的解析式可以为.对于①,,因为,所以为奇函数,符合;对于,因为,所以为偶函数,符合;对于的最大值为,符合.故答案为:(答案不唯一)方法总结:本题考查三角函数的奇偶性与对称性.求f(x)的对称轴只需令ωxφkπ(kZ)x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标只需令ωxφkπ(kZ)x即可.奇偶性可以用定义判断也可以通过诱导公式将yAsin(ωxφ)转化为yAsinωxyAcosωx.考查运算求解能力整体代换及转化与化归的思想. 12022年福建上杭县模拟试卷“函数的图象关于中心对称”是“”的(    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的对称中心为的对称中心为的对称中心不一定为的对称中心;的对称中心一定为的对称中心.故选:B22023·江苏连云港·统考模拟预测)若函数在区间上的最大值为,则常数的值为(    A B C D【答案】C【解析】时,则函数的最大值为,解得.故选:C.32022年湖南常德市模拟试卷设函数,若,则(    A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】因为为周期为的偶函数,所以因为上关于直线对称,所以由于所以因为上单调递增,所以即:故选:A42022年福建诏安县高三模拟试卷 下列可能为函数图象的是(    A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】时,的周期为,所以B不正确;时,的周期为,所以D有可能;时,的周期为,所以A有可能;时,的周期为,所以C有可能.故选:ACD.52022年河北承德市高三模拟试卷)(多选题)函数的定义域为,值域为,则的值可能是(    A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】根据周期性分析,不失一般性不妨的子集,此时分析答案知:BC故选:BC

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