第11讲 二次函数与幂函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第11讲 二次函数与幂函数

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如                 α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象                                。

③当α<0时，幂函数的图象                               。

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：            

顶点式：            

零点式：            

(2)二次函数的图象和性质

1、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ）

A． B． C． D．

2、(2016全国III) 已知，，，则

A．    B．    C．    D．

1、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)

A.1或3    B.1

C.3    D.2

2、若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)

A．g(x)＝2x2－3x

B．g(x)＝3x2－2x

C．g(x)＝3x2＋2x

D．g(x)＝－3x2－2x

3、已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．

4、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(－∞，2)

考向一　幂函数的图像与性质

例1、（1）幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．

（2）图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．

（3）已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？

变式1、已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．

变式2、已知幂函数f(x)＝x-1 ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．

方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

考向二  一元二次函数的解析式

 例2、(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式________.(只要写出一个即可)

(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.

变式1、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.

变式2、(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　)

A.b2＞4ac  　　　  B.2a－b＝1

C.a－b＋c＝0  　　　  D.5a＜b

方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

考向三  一元二次函数的最值问题

例3、已知函数y＝4x2－12x＋3．当x∈R时，值域为________；当x∈[2，3]时，值域为________；

当x∈[－1，5]时，值域为________．

2．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．

3．求函数f(x)＝x2－2ax在区间[0，1]上的最小值．

变式1、求函数y＝ax2－2x＋3(a∈R)在区间[0，1]上的最大值．

变式2、若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．

1、已知是奇函数，当时，，则的值是      ．

2、（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为______．

3、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)若，，，，则a，b，c，a的大小关系是（    ）

A.    B.    C.     D.

4、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集为(   )

A．(－3，7)      B．(－4，5)       C．(－7，3)        D．(－2，6)

5、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)满足的实数m的取值范围是（    ）.

A.     B.    C.   D.

6、(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数

B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数

C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称

D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点

7、(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[t，t＋2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)．