初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定一课一练

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定一课一练，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.10 正方形的性质与判定（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．以下说法不正确的是（    ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形对角线相等
C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等
2．如图，在矩形中，角线与相交于点O，添加下列条不能判定矩形是正方形的是（　　）

A． B． C． D．平分
3．如图，在正方形中，，则等于（　　）
  
A．45° B．55° C．65° D．75°
4．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（　　）

A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2
5．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形 沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（    ）

A．1 B． C． D．2
6．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么 的长是（　　）

A．2.5 B． C． D．2
7．如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD10，DEBF2，则四边形AECF的周长等于（   ）

A．20 B． C．30 D．
8．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（　　）

A． B． C．6 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．下列四个命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②对角线相等的菱形是正方形；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
④有一个角是的四边形是矩形．
其中是真命题的是___（只填序号）．
12．如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点E，F分别在上，则 的面积为______．
  
13．如图，在正方形中，，点是的中点，连结，则______；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连结EF，则______．
  
14．如图，在正方形中，点E为的中点，点F、G分别在、上，且，若四边形的面积为5，则的长为___________．
  
15．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形 是菱形，四边形的边、应满足的条件是______．

16．在五边形的纸片中，，，．如图1，先将它沿着虚线，剪成三块，再用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成如图2的无缝隙、不重叠的正方形，则的值是______．

17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线 交于点．若，则__________．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为______．

三、解答题
19．如图，在中，、相交于点O，点E、F在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求证：四边形是正方形．









20．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．
（1）求证：．
（2）延长交于点F，若．求的度数．







21．如图，先将绕点顺时针旋转得到，再将线段绕点顺时针旋转得到，连接、、，且．
(1)若．、、三点在同一条直线上，求的长；
(2)若，，点在边上，求线段的最小值．







22．如图，在中，，，的角平分线交于点，于点，于点．
(1) 求证：四边形是正方形；
(2) 若，，求四边形的面积．







23．如图，在菱形中，是上一点，是上一点，连接、、．且．
(1) 如图1，求证：平分；
(2) 如图2，若，求证：．





24．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．
(1) 如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2) 如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3) 如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．





























参考答案
1．A
【分析】由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断A错误；
因为矩形的两条对角线相等，所以B正确；
由正方形的对角线互相垂直平分可判断C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，可判断D正确．
解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，
故A错误；
由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，
故B正确；
由正方形的性质可知，正方形的对角线互相垂直平分，
故C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，
故D正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，正确理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的区别和联系是解题的关键．
2．B
【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．
解：A、邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，错误，故符合题意；
C、∵四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴矩形为正方形，正确，故不符合题意；
D、∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，则，
∴矩形是正方形，正确，故不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的判定定理，涉及矩形的性质、线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
3．B
【分析】作于F，证明，得到，利用进行求解即可．
解：作于F，
  
又四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
4．B
【分析】根据图形得出三角形ABC的面积S=正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB-S△AFC-S△BHC，再根据面积公式求出即可．
解：∵将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起，
∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b，
∴三角形ABC的面积S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC
＝a2+b2+•（b﹣a）﹣•（a+b）﹣b•b
＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣
＝，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，列代数式和整式的混合运算，能根据图形列出代数式是解此题的关键．
5．D
【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：，
∴，
∴，
设AE=x，则，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点拨】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
6．B
【分析】连接，如图，根据正方形的性质得，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长．
解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，
∴，，
，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴．
故选：B．

【点拨】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理,掌握正方形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】连接AC，AC与BD相交于点O，由正方形性质得到AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，进而得到OE＝OF，再利用勾股定理求出CE的长，根据菱形的判定证得四边形AECF是菱形，即可求得四边形AECF的周长．
解：如图，连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC⊥EF
∵DEBF2，
∴OE＝OF＝OD－DE＝3，
在Rt△COE中，

∴
∵AO＝CO，OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵ AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF＝
∴四边形AECF的周长＝4
故选：D
【点拨】此题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，能够证得四边形AECF是菱形是解决问题的关键．
8．B
【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长．
解：连接CF，

∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴CF＝＝＝13，
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝CF＝，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，构造基本图形是解题的关键．
9．D
【分析】过点D作DH⊥y轴于H，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根据余角的性质得到∠ADH＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于是得到答案．
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0），
∴点E的坐标是（，）,
∴E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解．
解：如图：延长交于H，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解．
11．②③/③②
解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以①错误；
对角线相等的菱形是正方形，所以②正确；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以③正确；
有一个角是的平行四边形是矩形，所以④错误．
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了命题与定理∶判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…．那么…”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了逆命题．也考查了正方形菱形和矩形的判定．
12．1
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到，，由此可证明得到，进一步证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面积公式求解即可．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】可根据勾股定理求解；再根据折叠性质和勾股定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵在正方形中，，点是的中点，
∴，，，
在中，；
由折叠性质得，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
解得，则,
∴，
故答案为：；．
【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．
14．
【分析】过点F作于点H，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，根据四边形的面积为5，，得出，求出，根据勾股定理得出，求出结果即可．
解：过点F作于点H，如图所示：
    
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形的面积为5，，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
15．
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形，然后由菱形的判定定理进行解答．
解：要使四边形是菱形，四边形的边、应满足的条件是，
理由：∵，，，分别是，，，的中点，
∴，，，
∴，
同理，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴平行四边形是菱形．
故答案为：．
【点拨】本题考查了中点四边形、菱形的判定、平行四边形的判定、三角形的中位线性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
16．
【分析】根据题意，画出拼接后的正方形，由剪贴和拼接知：，，设，，，由剪贴和拼接知，在中，根据勾股定理得：，在中，利用勾股定理得，进而求得的值．
解：如图所示，拼接后的正方形为，连接，

由剪贴和拼接知：，，
设，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴或(舍去)，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查图形的拼接，正方形的性质，解直角三角形等知识，学会利用参数解决问题是解本题的关键．
17．20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
解：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点拨】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
18．
【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值．
方法二：依题意，当点运动到点时，以为边作正方形；同理当点运动到点时，作正方形；故点在与间运动，当时，可得最小；
解：方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD，

∵在矩形ABCD中，，
∴，,
∵在正方形DEFG中，，
∴∠EDF=∠MDA，,
∴
∴，
∴点F在过M点垂直DM的直线MN上，
故CF的最小值为点C到直线MN的距离；
过点C作⊥MN，过D点作DH⊥，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
故答案为．
方法二：如图：当点运动到点时，以为边作正方形；同理当运动到点时，作正方形；
过点作，
，又；
又为矩形，∴  ；
∴
在和中


，又
∴；
同理可得；∴；∴ ；
当点到达点，为点的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点在与间运动，且当时，可得最小；
∴；

故答案为：
【点拨】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置．
19．(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）利用平行线四边形的判定和性质，即可证明结论；
（2）先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明是菱形，再根据菱形的性质，即可证明四边形是正方形．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
是菱形，
，即，
又，
，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
20．（1）见分析；（2）60°
【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论；
（2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；
（2）∵FD=FE，
∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，
∵四边形ABCD是正方形

∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，
∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，
解得：x=30，
∴∠AFE=60°．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
21．(1)；(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得， ，， ，，由等腰三角形的性质可得，可证，通过证明四边形是矩形，可得，由等腰直角三角形的性质可求解;
（2）由垂线段最短可得当时，的长度有最小值，先证点，点，点三点共线，由勾股定理可求的长，由正方形的性质可得，即可求解.
解：（1）证明：如图，连接，

将绕点顺时针旋转得到，
，，
，，，
，
，
，
、、三点共线
将线段绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是矩形，
，
，，
，
；
（2）点在边上，
当时，的长度有最小值
由旋转的性质可得：
，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，
，
又，
四边形是正方形，
，
， ，，

，
线段的最小值为．

【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．(1)见分析；(2)1
【分析】过作于，由角平分线的性质可求出，由正方形的判定定理即可证明；
设，则，利用面积法列等式可得的值，因为四边形是正方形，所以四边形的面积，从而得结论．
解：（1）证明：过作于，
、的角平分线交于点，于点，于点，
，，
，
是直角三角形，，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；

（2）解：如图，连接，过作于，
由勾股定理得：，
设，则，
，
，
，
四边形的面积．

【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，准确作出辅助线，得出是解决第问的关键；利用面积法列等式是解决第问的关键．
23．(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）根据菱形的性质得出平分，再根据角平分线的性质与判定证明即可．
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
解：（1）证明：过点A作于G，过A作于H，过A作于M，连接，
  
∵四边形是菱形，
∴平分，
又∵，，
∴，
∵，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵四边形是菱形， 且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
过A作于H，
  
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
同理，
∴，
∵，
∴；
【点拨】本题考查的是角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，熟记角平分线的性质与判定，全等三角形的判定方法是解本题的关键．
24．(1)见分析；(2)；(3)四边形AEGF的面积为30
【分析】（1）先判定四边形AEGF是平行四边形，证明，由全等三角形的性质得出，由菱形的判定可得出结论；
（2）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案；
（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，证明△，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出AE和AF的长，最后由平行四边形的面积公式可得出答案．
解：（1）证明：∵，，
∴四边形AEGF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴四边形AEGF是菱形；

（2）解：过点F作于点H，

∵四边形AEGF为菱形，
∴AC平分，
∴．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴．
∵于点D，于点H，
∴．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，

∴．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
又∵，，，
∴，
∴，
设．
又∵，，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰直角三角形中，．
又∵四边形AEGF为平行四边形，
∴．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，判定四边形AEGF为菱形是解题的关键．