八年级数学教学设计：提公因式法3

八年级数学教学设计：提公因式法3

　　教学设计

提公因式法(一)

教学目标

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.

2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.

3.通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.

教学重点及难点

教学重点：

因式分解的概念及提公因式法.

教学难点：

正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系.

教学过程设计：

一、复习提问

乘法对加法的分配律.

二、新课

1.新课引入：用类比的方法引入课题.

在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7.

在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.

2.因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)

如：m(a+b+c)=ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

再请学生观察它们有什么共同的特点?

特点：左边，整式×整式;右边，是多项式.

可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

如：因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c).

整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.

联系：同样是由几个相同的整式组成的等式.

区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式.

例1 下列各式从左到右哪些是因式分解?(投影)

(1)x2-x=x(x-1) (√)

(2)a(a-b)=a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

下面我们学习几种常见的因式分解方法.

3.提公因式法：

我们看多项式：ma+mb+mc

请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.

注意：公因式是各项都含有的公共的因式.

又如：a是多项式a2-a各项的公因式.

ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.

根据乘法的分配律，可得

m(a+b+c)=ma+mb+mc，

逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc=m(a+b+c).

这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式　ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

分析：分两步：第一步，找出公因式;第二步，提公因式.

先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.

解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

说明：

(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取.

(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出.①以显提醒;③强调提公因式;③强调因式分解.

例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1.

解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

=x(3x-6y+1).

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项.

课堂练习：(投影)

把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr;

(3)3x3+6x2;

(4)21a2+7a;

(5)15a2+25ab2;

(6)x2y+xy2-xy.

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则.

解：-4m3+16m2-26m

=-(4m3-16m2+26m)

=-2m(2m2-8m+13).

说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式.

课堂练习：(投影)

把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a;

(2)-25x8+125x16;

(3)-a3b2+a2b3;

(4)-x3y3-x2y2-xy;

(5)-3ma3+6ma2-12ma;

(三)小结

1.因式分解的意义及其概念.

2.因式分解与整式乘法的联系与区别.

3.公因式及提公因式法.

4.提公因式法因式分解中应注意的问题.

要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

六、作业

教材 P.10中 1、2、3、4.

七、板书设计

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。