上海市浦东新区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编

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上海市浦东新区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类
一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2020秋•浦东新区期末）如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向　 　．（填“向上”或“向下”）
2．（2021秋•浦东新区期末）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线　 　．
3．（2021秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 　 　．

二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2020秋•浦东新区期末）如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1　 　y2．（填“＞”或“＜”）
三．二次函数图象与几何变换（共2小题）
5．（2020秋•浦东新区期末）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为 　 　．
6．（2022秋•浦东新区期末）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 　 　．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2021秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n（n为常数），若该函数图象与x轴只有一个公共点，则n＝　 　．
五．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
8．（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 　 　．
六．三角形的重心（共1小题）
9．（2021秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC的长是 　 　．
七．勾股定理（共1小题）
10．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是 　 　．
八．正方形的性质（共1小题）
11．（2022秋•浦东新区期末）如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE＝2AE、AF＝2FD，正方形A'B'C'D'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∥EF，那么正方形A'B'C'D'的边长是 　 　．

九．*平面向量（共3小题）
12．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为　 　．

13．（2021秋•浦东新区期末）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝　 　．
14．（2021秋•浦东新区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是 　 　．

一十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
15．（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点，将正方形ABCD沿直线AE翻折后，点D的对应点是点D'，联结CD'交正方形ABCD的边AD于点F，如果AF＝CE，那么AF的长是 　 　．

一十一．比例的性质（共1小题）
16．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是 　 　．
一十二．比例线段（共2小题）
17．（2020秋•浦东新区期末）如果线段a、b满足＝，那么的值等于　 　．
18．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 　 　千米．
一十三．黄金分割（共2小题）
19．（2020秋•浦东新区期末）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是　 　．
20．（2022秋•浦东新区期末）已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是 　 　．
一十四．平行线分线段成比例（共1小题）
21．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是 　 　．

一十五．相似三角形的性质（共2小题）
22．（2022秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是　 　．
23．（2022秋•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是 　 　．
一十六．相似三角形的判定与性质（共8小题）
24．（2020秋•浦东新区期末）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝　 　．
25．（2020秋•浦东新区期末）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝　 　厘米．

26．（2020秋•浦东新区期末）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝　 　．

27．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为　 　．

28．（2021秋•浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝　 　．

29．（2021秋•浦东新区期末）已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是射线BC上的一个动点，过点P作PQ⊥AP，交直线CD于点Q，那么当BP＝5时，CQ的值是 　 　．
30．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是 　 　．

31．（2022秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是 　 　．
一十七．锐角三角函数的定义（共1小题）
32．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 　 　．
一十八．特殊角的三角函数值（共1小题）
33．（2020秋•浦东新区期末）计算：2sin30°﹣tan45°＝　 　．
一十九．解直角三角形（共1小题）
34．（2021秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，则∠B＝　 　．
二十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
35．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为　 　（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）
二十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
36．（2020秋•浦东新区期末）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是　 　度．

上海市浦东新区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2020秋•浦东新区期末）如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向　向上　．（填“向上”或“向下”）
【答案】向上．
【解答】解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，
∴m＝0，
∴a＝4＞0，
∴该抛物线的开口方向向上．
故答案为：向上．
2．（2021秋•浦东新区期末）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线　x＝﹣　．
【答案】x＝﹣．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．
即对称轴是直线x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
3．（2021秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 　　．

【答案】．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，
∴m＝0，n＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+3，
，
解得或，
∴抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2），
∴此时抛物线关于直线y的割距是：＝，
故答案为：．
二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2020秋•浦东新区期末）如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”）
【答案】＜．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
三．二次函数图象与几何变换（共2小题）
5．（2020秋•浦东新区期末）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为 　y＝（x﹣5）2﹣1　．
【答案】y＝（x﹣5）2﹣1．
【解答】解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，
将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．
整理，得2﹣m＝±2
解得m1＝0（舍去），m2＝4．
故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣5）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣5）2﹣1．
6．（2022秋•浦东新区期末）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 　y＝（x﹣1）2﹣5　．
【答案】y＝（x﹣1）2﹣5．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝（x+2﹣3）2﹣5，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣5．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2021秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n（n为常数），若该函数图象与x轴只有一个公共点，则n＝　4　．
【答案】4．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3﹣n的图象与x轴只有一个公共点，
∴当﹣x2﹣2x+3﹣n＝0时，
△＝22﹣4×（﹣1）×（3﹣n）＝0，
解得，n＝4，
故答案为：4．
五．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题）
8．（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 　y＝﹣4x2+8x　．
【答案】y＝﹣4x2+8x．
【解答】解：∵在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，
∴小正方形的边长为2﹣2x，
根据题意得：y＝22﹣（2﹣2x）2，
整理得：y＝﹣4x2+8x．
故答案为：y＝﹣4x2+8x．
六．三角形的重心（共1小题）
9．（2021秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC的长是 　4　．
【答案】4．
【解答】解：如图，延长CG交AB于D，则点D为AB的中点，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，CG＝2，
∴GD＝CG＝1，CD＝CG+GD＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，
又∵DE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∴sin∠ACG＝sin∠CDE＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝4．
故答案为：4．

七．勾股定理（共1小题）
10．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是 　　．
【答案】．
【解答】解：过B作BE⊥AB交AD的延长线于E，
∵∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝＝2，
∵∠CAB＝90°，AB⊥BE，
∴AC∥BE，
∴△ACD∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝，
故答案为：．

八．正方形的性质（共1小题）
11．（2022秋•浦东新区期末）如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE＝2AE、AF＝2FD，正方形A'B'C'D'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∥EF，那么正方形A'B'C'D'的边长是 　　．

【答案】．
【解答】解：∵BE＝2AE、AF＝2FD，AB＝AD＝1，
∴BE＝，AE＝，AF＝，DF＝，
∴EF＝＝，
∵A'D'∥EF，
∴∠A'AB＝∠AEF，
又∵∠A'＝∠EAF＝90°，
∴△AEF∽△A'AB，
∴，
∴AA'＝＝，
同理可求：AD'＝，
∴A'D'＝，
∴正方形A'B'C'D'的边长为，
故答案为：．
九．*平面向量（共3小题）
12．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为　﹣　．

【答案】﹣．
【解答】解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．

13．（2021秋•浦东新区期末）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝　2+3　．
【答案】2+3．
【解答】解：3（2﹣）﹣2（2﹣3）
＝6﹣3﹣4+6
＝2+3，
故答案为：2+3．
14．（2021秋•浦东新区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是 　﹣+　．

【答案】﹣+．
【解答】解：∵＝，＝，
∴
＝
＝﹣+，
故答案为：﹣+．
一十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
15．（2022秋•浦东新区期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点，将正方形ABCD沿直线AE翻折后，点D的对应点是点D'，联结CD'交正方形ABCD的边AD于点F，如果AF＝CE，那么AF的长是 　5﹣5　．

【答案】5﹣5．
【解答】解：如图：连接DD′，

由翻折得AE⊥DD′，DE＝D′E，
∵AF＝CE，
∴DF＝DE，
∴DF＝DE＝DE′，
设DF＝DE＝DE′＝x，
∵DE＝DF，∠CDF＝∠ADE＝90°，AD＝CD，
∴△CDF≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠FCD，
∵AE⊥DD′，
∴∠DAE+∠AED＝∠EDD′+∠DEA＝90°，
∴∠D′DE＝∠DAE，
∴∠D′DC＝∠D′CD，
∴D′C＝D′D，
过D′作D′H⊥CD于H，
∴DH＝CH＝，D′H∥DF，
∴CD′＝FD′，
∴D′H＝DF＝x，
∴HE＝﹣x，
∵D′H2+HE2＝D′E2，
∴（）2+（）2＝x2，
∴x＝10﹣5或x＝10+5（不合题意舍去），
∴AF＝5﹣（10﹣5）＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
一十一．比例的性质（共1小题）
16．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是 　　．
【答案】．
【解答】解：∵，
设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝＝．
故答案为：．
一十二．比例线段（共2小题）
17．（2020秋•浦东新区期末）如果线段a、b满足＝，那么的值等于　　．
【答案】．
【解答】解：∵＝，
∴可设a＝5k，则b＝2k，
∴＝＝．
故答案为：．
18．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 　34　千米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，3.4÷＝3400000（厘米）＝34（千米）．
即实际距离是34千米．
故答案为：34．
一十三．黄金分割（共2小题）
19．（2020秋•浦东新区期末）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是　2﹣2　．
【答案】2﹣2．
【解答】解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
20．（2022秋•浦东新区期末）已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是 　4﹣4　．
【答案】4﹣4．
【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，MN＝8，
∴PM＝MN＝×8＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
一十四．平行线分线段成比例（共1小题）
21．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是 　6.4　．

【答案】6.4．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，
∴，
解得BC＝1.6，
∴AC＝AB+BC＝4.8+1.6＝6.4．
故答案为：6.4．
一十五．相似三角形的性质（共2小题）
22．（2022秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是　2：3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
23．（2022秋•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是 　8cm　．
【答案】8cm．
【解答】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×＝8cm，
故答案为：8cm．
一十六．相似三角形的判定与性质（共8小题）
24．（2020秋•浦东新区期末）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：连接DE，
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，DE∥AB，
∴△AFB∽△DFE，
∴＝＝2，
∴AF＝2FD，
∵AD＝3，
∴AF＝2，
故答案为：2．

25．（2020秋•浦东新区期末）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝　15　厘米．

【答案】15．
【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，
∴AP⊥DG．
设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，
∴＝，
解得x＝15．
∴DG＝15厘米，
故答案为：15．
26．（2020秋•浦东新区期末）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝　　．

【答案】．
【解答】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，

∵DE∥AB，
∴BG⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，
∴四边形ADGB是矩形，
∴BG＝AD＝0.4，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，
∴CH＝＝＝，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠FBE＝∠ACB＝90°，
∴△FBE∽△ACB，
∵CH⊥AB，BG⊥DE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
故答案为：．
27．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为　2　．

【答案】2．
【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，
∴BD：CD＝2：1，
∴BD＝8，CD＝4，
过点M作MH∥AC交CD于H，
∴△DHM∽△DCA，
∴＝＝，
∴点M是AD的中点，
∴AD＝2DM，
∵AC＝8，
∴＝＝，
∴MH＝4，DH＝2，
过点M作MG∥AB交BD于G，
同理得，BG＝DG＝4，
∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，
∴△ABC的周长为10+12+8＝30，
∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，
∴CE+CF＝15，
设BE＝x，则CE＝12﹣x，
∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，
∵MH∥AC，
∴△EHM∽△ECF，
∴，
∴，
∴x＝2或x＝9，
当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，
即BE＝x＝2，
故答案为：2．

28．（2021秋•浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝　　．

【答案】．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
29．（2021秋•浦东新区期末）已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是射线BC上的一个动点，过点P作PQ⊥AP，交直线CD于点Q，那么当BP＝5时，CQ的值是 　　．
【答案】．
【解答】解：如图，

∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴＝，
∴＝，
∴CQ＝，
故答案为：．
30．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是 　2　．

【答案】2．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．

则有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，
∴EF＝AE＝，
∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，
∴AC＝＝＝2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．
31．（2022秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是 　6　．
【答案】6．
【解答】解：解法一：过C作CH⊥AB，垂足为H，在AB上取点D，连接CD，使CD＝AC＝4，

∵CD＝AC＝4，
∴∠A＝∠CDA＝2∠B，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD＝4，DH＝AH＝0.5，
∴CH2＝AC2﹣AH2＝15，
∵BC2＝BH2+CH2，
∴BC2＝4.52+15，即BC＝6，
故答案为：6．
解法二：作AD平分∠BAC交BC于D，

∵∠A＝2∠B，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD，
∵AD平分∠BAC，
∴＝＝，
设CD＝4x，BD＝5x，BC＝9x，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴CA2＝CD•CB，即16＝4x•9x，
解得x＝，
∴BC＝9x＝6．
故答案为：6．
一十七．锐角三角函数的定义（共1小题）
32．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】
解：过P作PA⊥x轴于A，
∵P（3，4），
∴PA＝4，OA＝3，
由勾股定理得：OP＝5，
∴α的余弦值是＝，
过答案为：．
一十八．特殊角的三角函数值（共1小题）
33．（2020秋•浦东新区期末）计算：2sin30°﹣tan45°＝　0　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2×﹣1＝0．
一十九．解直角三角形（共1小题）
34．（2021秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，则∠B＝　30°　．
【答案】30°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴tanB＝＝＝，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°．

二十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
35．（2022秋•浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为　37°　（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，＝sinα，
即sinα＝0.6，
则α＝37°．
故答案为：37°．

二十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
36．（2020秋•浦东新区期末）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是　36　度．
【答案】36．
【解答】解：如图所示：
∵甲处看乙处为俯角36°，

∴乙处看甲处为：仰角为36°，
故答案为：36．