高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀课后复习题

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8.4  空间点、直线、平面之间的位置关系

1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中

正确的是（　）

①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与

A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1相交.

A.①③④          B.①②          C.①③             D.②③④

2.一条直线和直线外的三点所确定的平面个数为（　）

A.1或3         B.1或4          C.1，3或4         D.1，2或4

3.如图，平面，，，且，，设过A，B，C三点的平面为平面，则是（　）

A.直线AC        B.直线BC        C.直线CR          D.以上都不对

4.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于（　）

A.60°     B.60°或120°    C.120°      D.以上结论都不对

5.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则（　）

A.D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线

B.D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线

C.D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线

D.D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线

6.已知为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（　）

A.若，，则a与b是异面直线

B.若b与a，c都是异面直线，则a与c也是异面直线

C.若a，b不同在平面内，则a与b是异面直线

D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线

7.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥ BA， 

则EF与CD的夹角为（　）

A.60°          B.45°         C.30°          D.90°

8. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的

是（　）

A.CC1与B1E是异面直线

B.C1C与AE共面

C.AE与B1C1是异面直线

D.AE与B1C1的夹角为60°

9.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是　　　　.

10.如图，在空间四边形ABCD中，＝，＝，则EH与FG的位置关系是　　　　.

11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1 

的中点，则异面直线A1E与GF的夹角大小为　　　　.

12.如图，在四面体A-BCD 中，AC＝BD＝2，AC与BD的夹角为60°，M，N分别为AB，CD的

中点，则线段MN的长为　　　　.

13.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，

且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1的夹角的余弦值.

14.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

（1）证明：E，F，G，H四点共面.

（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

（3）在（2）的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.

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8.4  空间点、直线、平面之间的位置关系

参考答案

1.C      2.C      3.C      4.B      5.B     6.D     7.C     8.C    

9.0     10. 平行     11. 90°     12. 1或    

13.解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，

由四棱柱的性质知BD1∥AC1，

则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1的夹角.设AB＝a，

∵  AA1与AC，AB的夹角均为60°，且AB＝AC＝AA1，

∴ A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.

又∠BAC＝90°，∴ 在矩形ABDC中，AD＝a，

∴ A1D1＝a.∴ A1+A1B2＝B，∴ ∠BA1D1＝90°，

∴ 在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.

14.（1）证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB.所以EH∥FG.

所以E，F，G，H四点共面.

（2）解：当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形.

因为＝＝，所以EH＝BD.

同理FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.

故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形.

（3）证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC.

又因为AC⊥BD，EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD的夹角，

所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.