四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习（文科）试题九（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习（文科）试题九（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

成都石室中学高2023届三诊模拟九（文科）
一、单选题(共60分)
1．若集合，则的元素个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数与下列复数相等的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，满足，，，则（        ）
A．2 B．5 C．10 D．
4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ）
A． B． C． D．
5．已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（    ）
A．352 B．401 C．625 D．913
6．尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（    ）
A．69 B．71 C．73 D．75
7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的．如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为（    ）

A．2 B．4 C．12 D．24
8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（    ）
A． B． C． D．
9．在等比数列中，公比，且，则（    ）
A．3 B．12 C．18 D．24
10．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ）
A．0 B．3 C．4 D．1
11．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．
12．若，则以下不等式成立的是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分)
13．2022年11月底，人工智能对话聊天机器人ChatGPT推出，迅速在社交媒体上走红，短短5天，注册用户数就超过100万，截至2023年2月，这款新一代对话式人工智能便在全球范围狂1亿名用户，并成功从科技界破圈，成为街头巷尾的谈资，2023年2月各天全球该软件注册人数数据(单位:万人)从小到大排列如下：
16  22  36  58  64  68  70  102  106  108  110  124  126  154 162  165  166  186  210  226  230  256  310  321  458  468  532  789
该软件2023年2月全球注册人数的第75百分位数是_______.
14．已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是______cm.
15．已知焦点坐标为的抛物线上有两点满足，以线段为直径的圆与轴切于点，则__________．
16．已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.
三、解答题(共70分)
17．在△ABC中，D为边BC上一点，，，．
(1)求；
(2)若，求内切圆的半径．













18．如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．














19．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程．
(2)根据(1)中的回归方程计算的各年发展总指数值与实际发展总指数值差的绝对值，并记为X，若，则称该年为和谐发展年．若从2019～2022这四年中任选两年，记事件A：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件A发生的概率．
参考公式：回归方程，其中，
，，．









20．已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．
(1)求椭圆方程；
(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．

























21．已知函数，．
(1)若，证明：在上单调递增．
(2)若存在两个极小值点．
①求实数的取值范围；
②试比较与的大小．






























22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）.
(1)写出C的普通方程和极坐标方程：
(2)设直线与C交于点A，B，求的最大值.


















参考答案：
1．C
【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.
【详解】由题意得，，
故，即共有4个元素，
故选：C．
2．B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设，，故A、C、D错误；
而，故B正确.
故选：B
3．B
【分析】先求出，再通过计算可得的值.
【详解】，
，
，
.
故选：B.
4．C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.
故选：C.
5．D
【分析】根据条件构造数列，再根据条件列出等比数列的基本量的方程组，再根据通项公式求和.
【详解】令，设数列的公比为，因为，所以，即，
所以.由，得，所以，联立，解得，
所以，所以，所以的前10项和为.
故选：D.
6．D
【分析】代入得，设浓度为7mg/dL时，摄入天数为，则有，通过作差解出即可.
【详解】由函数模型，当时,,
可得,即①.
设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,
则，即②,
②①得，即，则.
故选：D.
7．D
【分析】根据鳖臑的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可.
【详解】根据鳖臑的正视图得原长方体的长为3，根据鳖臑的俯视图得原长方体的宽为2，根据鳖臑的侧视图得原长方体的高为4，所以长方体的体积.
故选：D
8．D
【分析】取AC中点，连接、，易得AC为圆面ABC的直径，平面ABC，进而得到平面ABC，然后根据四面体ABCD的体积为，可求外接球半径并求表面积.
【详解】如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，

易知AC为圆面ABC的直径，平面ABC，
因为O，M分别为BD，BN的中点，所以，
所以平面ABC，
∵，∴，
即，在中，，
∴，∴，∴球O的表面积为．
故选：D．
9．B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
10．D
【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解.
【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，
所以关于对称，关于对称，且，
又，即，则关于对称，
综上，，，则，
所以，而，故，
又，则关于对称，即，
所以，则，
所以.
故选：D
11．D
【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.
【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，

点在双曲线上，即，有，因此，
点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，
即，于是，即直线与关于轴对称，
又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，
显然，，
，
解得，所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12．A
【分析】利用余弦函数的单调性确定，再结合各选项构造函数，利用导数探讨单调性即可求解作答.
【详解】显然，
函数，求导得，
即函数在上单调递减，于是，即，
由得，A正确；由得，B错误；
由得，C错误；由得，D错误．
故选：A
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
13．243
【分析】根据百分位数的定义计算
【详解】28个数据从小到大排列，，
可知第75百分位数为第21项和第22项数据的平均数.
故答案为：243
14．
【分析】根据已知可得、且求解析式，将代入求值即可.
【详解】由题意，且最小正周期，即，故，
所以，且，即，
不妨令，故，
当，则.
故答案为：
15．4
【分析】由抛物线焦点坐标确定抛物线方程，再根据以焦半径为直径的圆与轴切于点，可得的坐标，从而确定直线的方程，代入抛物线方程求得点横坐标，由抛物线的定义可得的值，结合已知向量等式确定的取值.
【详解】由条件知，抛物线C的方程为，

根据以线段为直径的圆与y轴切于点，则圆心的纵坐标为，可得，所以，
于是，
故直线的斜率，则直线的方程为，代入抛物线方程可得，解得或，
因为，所以，所以，
由于，结合图形可知，所以．
故答案为：.
16．
【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列，由等差数列求和公式可求得，由此可得求得数列的前项和为，结合，可确定，由此可推导得到，，由此可得结果.
【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；
将各组数据之和记为数列，则，
记数列的前项和为，则；
，；
对应中项数为项，即，
，，
则使得成立的最小正整数.
故答案为：.
17．(1)
(2)2

【分析】（1）设，在利用余弦定理结合已知条件即可求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积相等即可求解.
【详解】（1）设，

∴，，
在中，由正弦定理可得，
在中，，又，
所以，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，又易知为锐角，
∴，∴，，
∵，∴，∴中，，
又，
在中，由余弦定理可得，
∴．
设的内切圆半径为r，则，
则.
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到、，从而得到平面，即可得证；
（2）解法一：根据面面垂直的性质得到平面，则，再根据锥体的体积公式计算可得；
解法二：由已知可得为正三角形，求出线段的长度，即可得到三棱锥是为棱长为的正四面体，即可得到其所对应的正方体的棱长，即可求出其体积；
解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH，可证平面，再求出高，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，且为的中点，
因为，所以，
又因为，平面，且，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
.
（2）解法一：由（1）可知，平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
所以，由已知可得，，
又，且O为BD的中点．所以，，
又，，所以，
所以，，
所以．
解法二：由已知可得：为正三角形，且，，
又，且O为BD的中点，
所以，，又，，所以，
从而，，
所以三棱锥是为棱长为的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，
所以．
解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．
因为，所以是等边三角形，所以，
又因为，，PD，平面PDM，
所以平面，平面，所以，
由（1）知，且，平面，所以平面．
由是边长为2的菱形，
在中，，，
由，在中，，
所以．
所以四棱锥的体积为．
.
19．(1)
(2)

【分析】第一小问把题目所给的数据代入回归方程求出即可.第二小问先求X的可能取值，得到从这四年中任选两年共有6种可能，其中有1种可能不含和谐发展年，由即可求出.
【详解】（1）由题意得，

所以，．
所以．
（2）当时，；当时，；
当时，；当时，．
故2019-2022这四年中有两年为和谐发展年，记为a，b，另两年记为c，d，
则从这四年中任选两年，有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种可能，
其中只有cd不含和谐发展年，故所求概率为．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率确定椭圆中的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得的值，从而求得椭圆方程；
（2）由题可设直线，，，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得，，再由已知等式确定，由坐标关系进行转化可求得的值，求解面积的表达式，结合函数性质即可得面积的取值范围．
【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则

则在中，可得，，
由正弦定理得，
解得，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）由条件知直线的斜率不为0，

设直线，，，
联立，得，得
于是，，
因为，，代入椭圆方程得，
所以，
同理，于是，，
因为，所以，
即．
又直线l的斜率存在，所以，于是，
所以，即，
又，，
所以，
整理得，
所以，
化简整理得，
又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，
所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，
于是直线l恒过定点．
当时，，，
的面积
，
令，因为直线l的斜率存在，则，，
于是，
又函数在上单调递减，
所以面积的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线、、、之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.
21．(1)证明见解析
(2)①；②.

【分析】（1）求得，根据题意得到，设，利用导数求得的单调性和，即可证得在上单调递增；
（2）根据题意求得， 令，则，
（i）当时，得到单调递增，进而得到的单调性，得出只有一个极小值点，不合题意；
（ii）当时，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增且，
①当时，求得单调性，得到只有一个极小值点，不合题意；
②当时，得到在上存在零点，即存在，使得，利用函数，证得，得到在上存在零点，结合极值点的定义，求得实数的取值范围，再由（ii）得到满足方程，得出，，求得.
【详解】（1）解：由，可得，
因为且，所以，
所以当时，可得，
设，则，
当时，可得；当时，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，即，
所以在上单调递增．
（2）解：由题意得，函数，定义域为，
可得，
令，则，
（i）当时，因为时，，所以，单调递增，
故，
此时在上单调递减，在上单调递增，
所以只有一个极小值点，不合题意；
（ii）当时，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
①当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
可得只有一个极小值点，不合题意；
②当时，，
因为时，，，
所以在上存在零点，即存在，使得．
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，可得，
所以在上存在零点，即存在，使得，
所以，随的变化情况如下：




1




-
0
+
0
-
0
+

↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以为的两个极小值点．
故实数的取值范围为
由（ii）知满足，即，
所以，，得，，
所以，
，
所以．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究极值与最值的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
22．(1)，（或）；
(2)4

【分析】（1）由三角函数的平方关系化简得C的直角坐标方程；分别将，，代入C的直角坐标方程并化简得C的极坐标方程；
（2）设点A，B极坐标分别为，，则，由得取得最大值，取，得的最大值.
【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数）得，，
∴，化简得C的直角坐标方程为；
分别将，，代入C的直角坐标方程并化简得C的极坐标方程为（或）；
（2）设点A，B极坐标分别为，，则，
由知，当，
即时，取得最大值4，
根据题意，不妨取，，所以的最大值为4.