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2023年贵州省中考数学试卷
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这是一份2023年贵州省中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年贵州省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（3分）5的绝对值是（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．
2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103
4．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
5．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
22
18
10
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B．3x+1＝100 C． D．
10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 ．
15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 ．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．
18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是
A．0～4小时 B．4～6小时
C．6～8小时 D．8～小时及以上
问题2：你体育镀炼的动力是
E．家长要求F．学校要求
G．自己主动H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可
证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接AD，若，求AC的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角： ，图中与△ACD全等的三角形是 ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
25．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
2023年贵州省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（3分）5的绝对值是（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．
【分析】根据绝对值的代数意义进行判断即可．
【解答】解：5的绝对值是5．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10870＝1.087×104．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠A＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
5．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．
6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
22
18
10
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的苔茶就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【分析】作AD⊥BC于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝12＝6（m），
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．
8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
【分析】分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，
∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是＝；
摸出标有“天眼”的概率是＝；
摸出标有“高铁”的概率是＝，
∵＞＞，
∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．
故选：C．
【点评】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B．3x+1＝100 C． D．
【分析】根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x+x＝100．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点P（a，b）所在的象限．
【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0，x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴P（a，b）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及判断点所占的象限，解答本题的关键是根据二次函数的图象判断出a、b的符号．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．
【解答】解：由题可得，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ADG＝∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．掌握角平分线以及平行线的性质是解题的关键．
12．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【分析】根据函数图象得出的信息对4个选项进行分析．
【解答】解：根据图形与y轴交点坐标可得：小星家离黄果树景点的路程为200km，所以A不正确；
（200﹣150）÷1＝50（km/h），小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，所以B不正确；
由图象可得：小星从家出发2小时离景点的路程为75km，所以C不正确；
（150﹣75）÷（2﹣1）＝75（km/h），150÷75+1＝3（h），所以D正确．
【点评】本题主要考查了函数图象的相关知识，难度不大，认真分析即可．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，﹣4） ．
【分析】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．
【解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，
龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；
故答案为：（9，﹣4）．
【点评】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．
15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【分析】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，
解得：k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 ．
【分析】连接AC，根据勾股定理顶点AC＝＝2，求得AB＝AC，得到∠ACB＝30°，求得∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，根据等边三角形的判定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF＝45°，得到BF＝AB＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，AD＝，
∴AC＝＝2，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝75°，
∴∠CAE＝15°，
过E作EF⊥AC于H，交BC于F，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EH＝FH，
∴∠EAH＝∠FAH＝15°，
∴∠BAF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AB＝1，
∵BC＝，
∴CF＝EF＝﹣1，
∴EH＝＝，
∴四边形ABCE的面积＝S△ABC+S△AEC＝×＝，
故答案为：，
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形 的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．
【分析】（1）根据乘方的意义，零指数幂的意义计算后，合并即可；
（2）根据题意得出关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣1
＝4；
（2）由题意得：a﹣1＞﹣a+3，
解得a＞2．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是 C
A．0～4小时 B．4～6小时
C．6～8小时 D．8～小时及以上
问题2：你体育镀炼的动力是 G
E．家长要求F．学校要求
G．自己主动H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 200 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 122 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
【分析】（1）用四组的人数相加可得样本容量，用样本容量乘G所占百分比可得选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；
（2）用2600乘D组所占比例可得答案；
（3）根据统计图数据解答，答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）参与本次调查的学生共有：36+72+58+34＝200（人），
选择“自己主动”体育锻炼的学生有：200×61%＝122（人），
故答案为：200，122；
（2）2600×＝442（名），
答：估计全校可评为“运动之星”的人数大约为442名；
（3）由统计图可知，很多学生都没有达到每天锻炼1小时，所以建议同学们加强体育锻炼，增强身体素质（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 1.25x 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了25%“列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）更新设备前每天生产 x 件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，
更新设备后每天生产产品数量为：（1+25%） x＝1.25x（件），
故答案为：1.25x；
（2）由题意知：﹣2＝，
去分母，得6250﹣2.5x＝6000，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列分式方程的解，
1.25×100＝125（件）．
答：更新设备后每天生产125件产品．
【点评】因此更新设备后每天生产125件产品．本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可
证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接AD，若，求AC的长．
【分析】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形 的判定和性质定理即可得到论；
（2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：小星：连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
小红：连接BE，CE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AB＝CE，
∴DE＝CE；
（2）连接AD，
∵，
∴设CB＝2k，AC＝3k，
∴CD＝4k，
∵AC2+DC2＝AD2，
∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，
∴k＝，
∴AC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标；
（2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
把y＝2代入得，2＝，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝，
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角： ∠1 ，图中与△ACD全等的三角形是 △BCD ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；
（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；
（3）由四边形OAEB四条边相等，可知它为菱形．
【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴点O是等边三角形ABC的外心，
∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
又∵AC＝BC，CD＝CD，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．
故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．
（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，
∴△AED∽△CEB．
（3）解：
∵∠CAE＝90，∠1＝30°，
∴AE＝CE．
同理可证，BE＝CE．
∴OA＝OB＝AE＝BE，
∴四边形OAEB为菱形．
【点评】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理与菱形的判定，知识点比较多，但难度不大，一定要牢牢掌握，并能运用自如．
24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）；
（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，
解得：，
∴≤b≤4，
当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：
b＞5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：
b≤5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：，
∴b≥6都成立；
综上所述，b的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 135 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形，由CA＝CB，∠C＝90°，得∠ABC＝45°，而BD⊥AB，即得∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝135°；
（2）过P作PM∥AB交AC于M，证明△PCM是等腰直角三角形，得CP＝CM，∠PMC＝45°，即可证△APM≌△PEB（ASA），故PA＝PE；
（3）过P作PN⊥BC交BE于N，证明△BPN是等腰直角三角形，可得∠ABP＝135°，BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，即可证△EPN≌△APB（ASA），EN＝BA，根据BE＝EN+BN，即得BE＝BA+BP．
【解答】解：（1）画出图形如下：
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°；
故答案为：135；
（2）PA＝PE，理由如下：
过P作PM∥AB交AC于M，如图：
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴CP＝CM，∠PMC＝45°，
∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC，
∴△APM≌△PEB（ASA），
∴PA＝PE；
（3）BE＝BA+BP，理由如下：
过P作PN⊥BC交BE于N，如图：
∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，
∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，
∴∠PNE＝135°＝∠ABP，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB，
∴△EPN≌△APB（ASA），
∴EN＝BA，
∵BE＝EN+BN，
∴BE＝BA+BP．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/8 9:29:21；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
2023年贵州省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（3分）5的绝对值是（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．
2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103
4．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
5．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
22
18
10
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B．3x+1＝100 C． D．
10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 ．
15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 ．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．
18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是
A．0～4小时 B．4～6小时
C．6～8小时 D．8～小时及以上
问题2：你体育镀炼的动力是
E．家长要求F．学校要求
G．自己主动H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可
证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接AD，若，求AC的长．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角： ，图中与△ACD全等的三角形是 ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
25．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
2023年贵州省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（3分）5的绝对值是（ ）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．
【分析】根据绝对值的代数意义进行判断即可．
【解答】解：5的绝对值是5．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10870＝1.087×104．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠A＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
5．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．
6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
22
18
10
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的苔茶就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
【分析】作AD⊥BC于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝12＝6（m），
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．
8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
【分析】分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，
∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是＝；
摸出标有“天眼”的概率是＝；
摸出标有“高铁”的概率是＝，
∵＞＞，
∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．
故选：C．
【点评】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B．3x+1＝100 C． D．
【分析】根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x+x＝100．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点P（a，b）所在的象限．
【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0，x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴P（a，b）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及判断点所占的象限，解答本题的关键是根据二次函数的图象判断出a、b的符号．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．
【解答】解：由题可得，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ADG＝∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．掌握角平分线以及平行线的性质是解题的关键．
12．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【分析】根据函数图象得出的信息对4个选项进行分析．
【解答】解：根据图形与y轴交点坐标可得：小星家离黄果树景点的路程为200km，所以A不正确；
（200﹣150）÷1＝50（km/h），小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，所以B不正确；
由图象可得：小星从家出发2小时离景点的路程为75km，所以C不正确；
（150﹣75）÷（2﹣1）＝75（km/h），150÷75+1＝3（h），所以D正确．
【点评】本题主要考查了函数图象的相关知识，难度不大，认真分析即可．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，﹣4） ．
【分析】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．
【解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，
龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；
故答案为：（9，﹣4）．
【点评】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．
15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【分析】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，
解得：k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 ．
【分析】连接AC，根据勾股定理顶点AC＝＝2，求得AB＝AC，得到∠ACB＝30°，求得∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，根据等边三角形的判定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF＝45°，得到BF＝AB＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，AD＝，
∴AC＝＝2，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝75°，
∴∠CAE＝15°，
过E作EF⊥AC于H，交BC于F，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EH＝FH，
∴∠EAH＝∠FAH＝15°，
∴∠BAF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AB＝1，
∵BC＝，
∴CF＝EF＝﹣1，
∴EH＝＝，
∴四边形ABCE的面积＝S△ABC+S△AEC＝×＝，
故答案为：，
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形 的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．
【分析】（1）根据乘方的意义，零指数幂的意义计算后，合并即可；
（2）根据题意得出关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣1
＝4；
（2）由题意得：a﹣1＞﹣a+3，
解得a＞2．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是 C
A．0～4小时 B．4～6小时
C．6～8小时 D．8～小时及以上
问题2：你体育镀炼的动力是 G
E．家长要求F．学校要求
G．自己主动H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 200 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 122 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
【分析】（1）用四组的人数相加可得样本容量，用样本容量乘G所占百分比可得选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；
（2）用2600乘D组所占比例可得答案；
（3）根据统计图数据解答，答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）参与本次调查的学生共有：36+72+58+34＝200（人），
选择“自己主动”体育锻炼的学生有：200×61%＝122（人），
故答案为：200，122；
（2）2600×＝442（名），
答：估计全校可评为“运动之星”的人数大约为442名；
（3）由统计图可知，很多学生都没有达到每天锻炼1小时，所以建议同学们加强体育锻炼，增强身体素质（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 1.25x 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了25%“列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）更新设备前每天生产 x 件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，
更新设备后每天生产产品数量为：（1+25%） x＝1.25x（件），
故答案为：1.25x；
（2）由题意知：﹣2＝，
去分母，得6250﹣2.5x＝6000，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列分式方程的解，
1.25×100＝125（件）．
答：更新设备后每天生产125件产品．
【点评】因此更新设备后每天生产125件产品．本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可
证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接AD，若，求AC的长．
【分析】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形 的判定和性质定理即可得到论；
（2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：小星：连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
小红：连接BE，CE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，
∴AE＝BC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AB＝CE，
∴DE＝CE；
（2）连接AD，
∵，
∴设CB＝2k，AC＝3k，
∴CD＝4k，
∵AC2+DC2＝AD2，
∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，
∴k＝，
∴AC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标；
（2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
把y＝2代入得，2＝，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝，
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角： ∠1 ，图中与△ACD全等的三角形是 △BCD ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；
（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；
（3）由四边形OAEB四条边相等，可知它为菱形．
【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴点O是等边三角形ABC的外心，
∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
又∵AC＝BC，CD＝CD，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．
故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．
（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，
∴△AED∽△CEB．
（3）解：
∵∠CAE＝90，∠1＝30°，
∴AE＝CE．
同理可证，BE＝CE．
∴OA＝OB＝AE＝BE，
∴四边形OAEB为菱形．
【点评】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理与菱形的判定，知识点比较多，但难度不大，一定要牢牢掌握，并能运用自如．
24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）；
（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，
解得：，
∴≤b≤4，
当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：
b＞5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：
b≤5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：，
∴b≥6都成立；
综上所述，b的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 135 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形，由CA＝CB，∠C＝90°，得∠ABC＝45°，而BD⊥AB，即得∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝135°；
（2）过P作PM∥AB交AC于M，证明△PCM是等腰直角三角形，得CP＝CM，∠PMC＝45°，即可证△APM≌△PEB（ASA），故PA＝PE；
（3）过P作PN⊥BC交BE于N，证明△BPN是等腰直角三角形，可得∠ABP＝135°，BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，即可证△EPN≌△APB（ASA），EN＝BA，根据BE＝EN+BN，即得BE＝BA+BP．
【解答】解：（1）画出图形如下：
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°；
故答案为：135；
（2）PA＝PE，理由如下：
过P作PM∥AB交AC于M，如图：
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴CP＝CM，∠PMC＝45°，
∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC，
∴△APM≌△PEB（ASA），
∴PA＝PE；
（3）BE＝BA+BP，理由如下：
过P作PN⊥BC交BE于N，如图：
∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，
∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，
∴∠PNE＝135°＝∠ABP，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB，
∴△EPN≌△APB（ASA），
∴EN＝BA，
∵BE＝EN+BN，
∴BE＝BA+BP．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/8 9:29:21；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
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