2023年吉林省长春市中考数学试卷

2023年吉林省长春市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d

2．长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”．如图所示．航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程是按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．0.38×108 B．38×106 C．3.8×108 D．3.8×107

3．下列运算正确的是（　　）

A．a3﹣a2＝a B．a2•a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a3

4．如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（　　）

A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥

5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 

B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 

C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 

D．两点之间线段最短

6．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（　　）

A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米

7．如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）

A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE

8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（　　）

A．3 B．3 C．4 D．6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．分解因式：m2﹣1＝　             　．

10．若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是 　      　．

11．2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 　            　公里．（用含x的代数式表示）

12．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 　      　．

13．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 　     　度．

14．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　   　米．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．

16．班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色届放国，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

17．随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每大制作多少个摆件？

18．将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E，B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD．

（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；

（2）已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为 　     　cm．

19．近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体程度以及是否康其计算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，体重60kg，则他的，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖：BMI≥28为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI值并绘制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：

（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；

（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，BMI值为27，他想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉 　   　kg．（结果精确到1kg）

20．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

（1）在图①中，△ABC的面积为；（2）在图②中，△ABC的面积为5；

（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．

21．甲、乙两人相约山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：

（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；

（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．

22．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB为 　    度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：

证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．

∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，

∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，

∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．

请你补全余下的证明过程．

【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为　        　．

23．如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0）

（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为 　   　；

（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；

（3）当点P在边AD上运动时，△POE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；

（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．

24．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0．

（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；

（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值；

（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．

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