2023年山东省济南市中考数学试卷

这是一份2023年山东省济南市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　）
A．0.68653×108 B．6.8653×108
C．6.8653×107 D．68.653×107
3．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°
4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
5．（4分）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．
C． D．
6．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．a4﹣a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a4÷a2＝a2
7．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）

A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11．（4分）因式分解：m2﹣16＝　 　．
12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　 　个．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　 　（写出一个即可）．
14．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

15．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　 　h后两人相遇．

16．（4分）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　 　．

三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．

20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）

21．（8分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：

请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　 　度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　 　百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：
组别
A
1≤m＜12
B
12≤m＜23
C
23≤m＜34
D
34≤m＜45
E
45≤m＜56
平均出游人数（百万）
5.5
16
32.5
42
50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
22．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．

23．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24．（10分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　 　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　m，BC＝　 　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．


2023年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的特点解答即可．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
2．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　）
A．0.68653×108 B．6.8653×108
C．6.8653×107 D．68.653×107
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：686530000＝6.8653×108，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°
【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】解：如图，

∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【分析】从图中判断a和b的值，再根据有理数的运算来计算．
【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；
（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；
（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；
（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；
答案为：D．
【点评】主要考查了实数在数轴上判断以及有理数的运算．
5．（4分）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
6．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．a4﹣a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a4÷a2＝a2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，原式计算错误，故A不符合题意；
B、a4与a3不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，原式计算错误，故C不符合题意；
D、a4÷a2＝a2，原式计算正确，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则是解答的关键．
7．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y1＜y2，据此即可得出答案．
【解答】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0）的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数y＝k/x（k≠0），当k＞0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而增大．
8．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，求出总的情况数和符合条件的情况数，利用概率公式求解即可．
【解答】
∴一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种情况，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，关键是熟记概率公式．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）

A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝CB，最后根据黄金三角形的定义可得＝，从而可得＝，再利用三角形的面积可得＝＝，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图﹣基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），从而可以求得A（0，2），进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③；设B（x，y），再由倍增点的意义得出y＝2（x+1），再利用两点家里公式表示出P1B，然后利用配方可以判断④，从而可以得解．
【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（0，2）．
∴②错误．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．
∴x＝5或﹣1．
∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个．
∴③正确．
对于④，设B（x，y），
∴2（x+1）＝y+0．
∴y＝2（x+1）．
∴P1B＝＝＝．
∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．
∴④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11．（4分）因式分解：m2﹣16＝　（m+4）（m﹣4）　．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），
故答案为：（m+4）（m﹣4）．
【点评】本题主要考查了运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　12　个．
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【解答】解：由题意：3÷＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　1　（写出一个即可）．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
14．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　　（结果保留π）．

【分析】确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
【解答】解：∠BAE＝＝108°，
∴阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
15．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　0.35　h后两人相遇．

【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令y1＝y2解方程即可．
【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，
则，
解得，
∴l1的函数解析式为y1＝5x+3.5；
设l2的函数解析式为y2＝mx，
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函数解析式为y2＝15x；
令y1＝y2，即5x+3.5＝15x，
解得x＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
16．（4分）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　+　．

【分析】过点A作AF⊥PE于点F，由四边形ABCD是菱形和折叠可求∠E＝30°，过点A作AF⊥PE于点F，从而把△APE转化为两个直角三角形，进而解决问题．
【解答】解：过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD，
∴∠DAC＝＝75°，
由折叠可知：∠E＝∠D＝30°，
∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°，
在Rt△APF中，PF＝AP•cos∠APE，
∴PF＝AF＝2×cos45°＝，
在Rt△AEF中，tan∠AEP＝，
∴EF＝＝＝，
∴PE＝PF+EF＝+，
故答案为：+．

【点评】本题考查了菱形的性质，图形的折叠，解直角三角形等内容，解题的关键添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值对原式进行化简，然后再合并即可．
【解答】解：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°
＝
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，能够灵活使用各种运算法则是解题的关键．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】分别解不等式①和②，找出其解集的公共部分，可得到不等式组的解集，再找出其整数解即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜3，
在数轴上表示不等式①②的解集如下：

∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜3，
∴它的所有整数解有：0，1，2．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组并在数轴上表示解集是解题的关键．
19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而推出∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，结合AO＝CO，利用AAS证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）

【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；
（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85，最后比较即可．
【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，

在Rt△AB′E中，
∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1，
∴sin27°＝，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454，
∵平行线间的距离处处相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15，
答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．
（2）没有危险，理由如下：
过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，

∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，
∴∠AB′E＝63°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，
在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6，
∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3．
∵平行线间的距离处处相等，
∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85．
∵1.85＞1.8，
∴没有危险．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．（8分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：

请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　36　度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　15.5　百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：
组别
A
1≤m＜12
B
12≤m＜23
C
23≤m＜34
D
34≤m＜45
E
45≤m＜56
平均出游人数（百万）
5.5
16
32.5
42
50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
【分析】（1）用360°乘以E组地区个数占总个数的比例即可；
（2）先求出D组地区个数，再求得C组地区个数，从而补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）根据加权平均数的定义求解即可．
【解答】解：（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：36；
（2）D组个数为30×10%＝3（个），
所以C组地区个数为30﹣（12+8+3+3）＝4（个），
补全图形如下：

（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是＝15.5（百万），
故答案为：15.5；
（4） （百万），
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、求扇形某部分的圆心角等知识，掌握相关知识，利用数形结合思想是解题关键．
22．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．

【分析】（1）由切线的性质得到∠OCB+∠BCP＝90°，由OB＝OC，得到∠OCB＝∠OBC，由三角形外角的性质得到∠ABC＝2∠BCP，因此∠OCB＝2∠BCP，得到3∠BCP＝90°，求出∠BCP＝30°，得到∠OCB＝60°．
（2）由圆周角定理推出∠FDE＝30°，由直角三角形的性质求出DE的长，即可得到CD的长．
【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝60°．
（2）连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，
∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，
∴DE＝FE＝3，
∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，
∴，
∴⊙O的直径的长为．

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，等腰三角形的性质得到∠OCB＝2∠BCP；由圆周角定理得到∠FDE＝30°．
23．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【分析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
（2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8•m+300×0.8﹣（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
24．（10分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　（4，2）　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　4　m，BC＝　2　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）直线y＝﹣2x+a在点（1，8）和点（8，1）上面或两点之间移动，把（1，8）、（8，1）代入y＝﹣2x+a得a的值，再求a的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得
，
∴＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为xm，BC为ym，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，

∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
∵直线y＝﹣2x+a在点（1，8）和点（8，1）上面或两点之间移动，
把（1，8）代入y＝﹣2x+a得a＝10，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴10≤a≤17．
【点评】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和二次函数图象得交点问题．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0即可求得F点的坐标；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，直线过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点 ，代入即可；
（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得，
∴抛物线表达式为 ，
当 y＝0 时，，
解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4，
∴F（4，0）；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，
∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴直线CE的表达式为 ，
设点 ，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ，
将 代入 ，
解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去），
∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；
（3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
∴顶点坐标为 （1，﹣9a），
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0＜﹣9a＜3，
解得 ，
②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，
，
解得
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．
26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．

【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解；
（3）通过证明△AGC 是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，即可求解．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，

∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴，
∴，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，

矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝4，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，
∴，
∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，
此时为 ．
【点评】本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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