2023年四川省德阳市中考数学试卷

这是一份2023年四川省德阳市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2023 B． C．0 D．
2．（4分）如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
3．（4分）下列说法中正确的是（　　）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
4．（4分）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（　　）

A．70° B．110° C．120° D．140°
5．（4分）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．x＜4 C．1≤x＜4 D．无解
7．（4分）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中点，则DF＝（　　）

A． B． C．2 D．1
8．（4分）已知3x＝y，则3x+1＝（　　）
A．y B．1+y C．3+y D．3y
9．（4分）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．（4分）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．3
11．（4分）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（　　）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
12．（4分）如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（　　）
①∠DBF＝3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是；
④DF＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）分解因式：ax2﹣4ay2＝　 　．
14．（4分）2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为 　 　米．
15．（4分）在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是 　 　．
16．（4分）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 　 　．

17．（4分）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为r，圆心距O1O2＝5，如果在⊙O2上存在一点P，使得PO1＝2，则r的取值范围是 　 　．
18．（4分）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算：2cos30°+（﹣）﹣1+|﹣2|+（2）0+．
20．（12分）三星堆遣址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遣址．2022年三星堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注，为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行调查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
​
（1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
（2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
（3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若x≥80则受调查群体获评“优秀”；若70≤x＜80，则受调查群体获评“良好”；若60≤x＜70则受调查群体获评“合格”；若x＜60则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
21．（11分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y＝2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．

22．（11分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2．
（1）求α的值；
（2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
​
23．（11分）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清沽能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集，其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成，若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
24．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC．
（1）求证：AC是∠EAD的平分线；
（2）求∠ACD的度数；
（3）求的值．

25．（14分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
（3）如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若，求点F的坐标．
​

2023年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2023 B． C．0 D．
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．﹣2023是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．（4分）如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
【解答】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
3．（4分）下列说法中正确的是（　　）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
【分析】分别根据全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式判断即可．
【解答】解：A、对绵远河段水质污染情况的调查，采用抽样调查的方式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、中考期间一定会下雨是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、一个样本中包含的个体数目称为样本容量，故本选项说法正确，符合题意；
D、已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差为18，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式，理解全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式是正确判断的前提．
4．（4分）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（　　）

A．70° B．110° C．120° D．140°
【分析】先根据平行线的性质求出∠BMN＝140°，再结合角平分线可得∠BMF＝70°即可求出∠DFM．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠MNF＝180°，∠BMF+∠DFM＝180°，
∵∠MNF＝40°，
∴∠BMN＝140°，
∵MF平分∠BMN，
∴∠BMF＝70°，
∴∠DFM＝110°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
5．（4分）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况，
∴这两个数字之和为奇数概率为＝．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．x＜4 C．1≤x＜4 D．无解
【分析】依据题意，由一元一次不等式组的解法分别解两个不等式，然后即可判断得解．
【解答】解：由题意，，
∴由①得，x≤1；由②得，x＜4．
∴原不等式组的解集为：x≤1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中点，则DF＝（　　）

A． B． C．2 D．1
【分析】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE＝，最后利用三角形的中位线定理求出DF＝AE＝．
【解答】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，
∴DC＝＝＝5，
∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，
∴DE＝EC＝AE＝，
∵BD＝DE，点F是AB边的中点，
∴DF＝AE＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．
8．（4分）已知3x＝y，则3x+1＝（　　）
A．y B．1+y C．3+y D．3y
【分析】根据同底数幂的乘法法则得3x+1＝3x×3＝3y．
【解答】解：∵3x＝y，
∴3x+1＝3x×3＝3y．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键．
9．（4分）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意画出图形，设正多边形的边长为2a，则其边心距为a，故可得出其底角的度数，由此可判断出△OAB的形状，故可得出结论．
【解答】解：如图所示：

∵正多边形的边心距与边长之比为，
∴设正多边形的边长为2a，则其边心距为a，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝×2a＝a，
∴tan∠OAD＝＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴n＝＝6，
∴此正多边形是正六边形．
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．（4分）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．3
【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∴点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC•DM＝12，
即2××6•DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
11．（4分）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（　　）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：m+n+n﹣m﹣m﹣n﹣n+m＝0，结合2023÷4＝505…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
归纳可得，以上整式串每六次一循环．
∵2023÷6＝337…1，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等．
∴这个和为m+n+n﹣m＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
12．（4分）如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（　　）
①∠DBF＝3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是；
④DF＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接AE，BE，OC，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：①连接AE，BE，如图，
∵⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，
∴∠CAD＝3∠DAB．
∵∠DBF为圆内接四边形ADBC的外角，
∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．
∴①的结论正确；
②连接OC，
∵，
∴OE垂直平分BC，
∴GC＝GB．
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠OCG＝∠OBG．
由题意GB与⊙O相交，
∴∠OBG为钝角，
∴∠OCG为钝角，
∴OC与GC不垂直，
∴CG不是⊙O的切线．
∴②的结论不正确；
③∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
设DE交BO于点H，
∵OE⊥BC，AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠EOB＝∠CAB，
∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝，
∴，
∴EH＝3，
∴OH＝＝4，
∴BH＝OB﹣OH＝1，
∴BE＝＝．
∴③的结论正确；
④∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵sin∠BAC＝，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB＝6．
∴AC＝＝8．
∵，
∴BD＝BE＝．
∴AD＝＝＝3．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝∠ACB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FAC，
∴，
∴，
解得：．
∴FD＝．
∴④的结论不正确．
∴结论正确的有：①③．
故选：B．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的切线的判定，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）分解因式：ax2﹣4ay2＝　a（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：ax2﹣4ay2
＝a（x2﹣4y2）
＝a（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
14．（4分）2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为 　4×105　米．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：400千米＝400000米＝4×105米，
故答案为：4×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
15．（4分）在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是 　78.5　．
【分析】首先利用平均数求得被墨水污染的数，然后利用中位数的定义确定答案即可．
【解答】解：根据题意得：●＝80×6﹣（85+79+90+72+75）＝79，
排序为：72，75，78，79，85，90，
所以中位数为＝78.5，
故答案为：78.5．
【点评】本题考查了统计的知识，解题的关键是根据题意确定被污染的数，难度中等．
16．（4分）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 　　．

【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．
【解答】解：如图1，将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，
∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，
∴CM＝AC＝＝，
∴BM＝CM+BC＝3，
在Rt△MBB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，
则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，
在Rt△AME中，∠MAE＝60°，
∴ME＝AM•sin60°＝×＝，
AE＝AM•cos60°＝，
∴MF＝ME+EF＝+2＝，
B1F＝A1B1﹣A1F＝，
在Rt△MFB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，
在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，
∴NB1＝A1B1•sin60°＝3，
∴B1M＝NB1+MN＝5，
∵＜5＜，
∴小虫爬行的最短路程为．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间距离最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论．
17．（4分）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为r，圆心距O1O2＝5，如果在⊙O2上存在一点P，使得PO1＝2，则r的取值范围是 　3≤r≤7　．
【分析】根据条件，分情况进行讨论，当⊙O1内含于⊙O2时，r值最大，当⊙O1与⊙O2外离时，r值最小，得出r的取值范围即可．
【解答】解：当⊙O1内含于⊙O2时，r值最大，此时r＝5+1+1＝7；
当⊙O1与⊙O2外离时，r值最小，此时r＝5﹣2＝3，
故答案为：3≤r≤7．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，当O1O2＜R﹣r时，两圆内含；当O1O2＞R+r时，两圆外离．
18．（4分）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝　39　．

【分析】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．
【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，
∴16+4＝7+x，
∴x＝13，
根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，
∴m＝3x＝39，
故答案为：39．
【点评】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算：2cos30°+（﹣）﹣1+|﹣2|+（2）0+．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算法则，化简求值即可．
【解答】解：原式＝2×﹣2+2﹣+1+3＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算，解题的关键是掌握运算法则．
20．（12分）三星堆遣址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遣址．2022年三星堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注，为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行调查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
​
（1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
（2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
（3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若x≥80则受调查群体获评“优秀”；若70≤x＜80，则受调查群体获评“良好”；若60≤x＜70则受调查群体获评“合格”；若x＜60则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
【分析】（1）用样本容量乘B类所占比例可得b的值，再用样本容量减去其他四类的人数可得a的值，然后用360°乘E类所占比例即可；
（2）利用样本估计总体可得答案；
（3）估计加权平均数的计算公式解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，b＝500×27%＝135，
故a＝500﹣80﹣135﹣200﹣70＝15，
E类所对应的圆心角的度数为：360°×＝10.8°；
（2）30000×＝12000（名），
答：估计“C．了解”的学生人数大约为12000名；
（3）×（80×90+135×80+200×70+70×45+15×0）＝70.3（分），
答：本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（11分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y＝2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．

【分析】（1）根据点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8，得出，△OAM的面积是4，根据反比例函数K的几何意义得出k＝8，即可得答案；
（2）由点A的横坐标为2，得出A坐标，继而得出C的坐标，求出直线y＝2x+b，联立两个函数解析式即可得答案．
【解答】解：（1）如图：AC与y轴交于点M，

∵C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8，
∴S△AOM＝4，
∴AM•MO＝4，
∴AM•MO＝8，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）∵点A的横坐标为2，
∴x＝2时，y＝4，
∴A（2，4），
∴C（﹣2，4），
∵直线y＝2x+b过点C，
∴﹣2×2+b＝4，
b＝8，
∴直线y＝2x+8，
联立，
∴或，
∴P（2﹣2，4+4）或（﹣2﹣2，4﹣4）．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了反比例函数K的几何意义，数形结合是解题的关键．
22．（11分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2．
（1）求α的值；
（2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
​
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AOD1＝α＝30°；
（2）由等腰直角三角形的性质可得E2G＝OG，E2G⊥OG，由正方形的判定可求解．
【解答】解：（1）∵OD1∥AC，
∴∠A＝∠AOD1＝30°，
∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，
∴∠AOD1＝α＝30°；
（2）四边形OHE2G是正方形，理由如下：
∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点，
∴E2G＝OG，E2G⊥OG，
∵OD1∥AC，
∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，
∴四边形OHE2G是矩形，
又∵E2G＝OG，
∴四边形OHE2G是正方形．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（11分）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清沽能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集，其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成，若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【分析】（1）设完成本项工程的工作总量为“1”，乙队单独施工需要x个月才能完成任务，由已知条件：乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．列出分式方程，求解即可．
（2）由已知条件：甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，可列出关于a、b的二元一次方程，从而得到a＝18﹣b，又根据a，b为正整数，得出甲乙两队实际施工的时间安排的三种方式；设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得w＝8a+5b，又因为a＝18﹣b，进而得到关于w和b的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，根据题意得，
＝1，解得x＝27，
经检验x＝27是原方程的根，
答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务；
（2）根据题意得，，
整理得，a＝，
∵a，b为正整数，且a≤6，b≤24，
∴b为3的倍数，
∴b＝24时，a＝2；b＝21时，a＝4；b＝18时，a＝6，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方案二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方案三：甲队施工6个月，乙队施工18个月；
设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得，
w＝8a+5b＝8×（18﹣b）+5b＝﹣+144，
∵k＝＜0，
∴w随b的增大而减小，
即当b最大＝24时，所支付费用w最低，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月，所支付费用最低．
【点评】本题主要考查了列方程解决工程问题，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系，得出b为3的倍数是本题的难点．
24．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC．
（1）求证：AC是∠EAD的平分线；
（2）求∠ACD的度数；
（3）求的值．

【分析】（1）根据平行线的性质，可得到∠EAC＝∠ACO，根据等腰三角形的性质可得到∠CAO＝∠ACO，进而可证明结论．
（2）连接CB，设∠CAO＝a，利用三角形的外角，圆的内接四边形的对角互补，等腰三角形的性质将△OCB的各角分别用含a的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得a的值，进而可求得答案．
（3）设的半径为r，BD＝a，可证得EC＝BC＝BD＝a，根据△DOC∽△DAE，可得用含有r和a的代数式表示出该等式，求解即可得到r和a的关系，进而可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO．
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠CAO，
∴AC是∠EAD的平分线．
（2）解：如图所示，连接CB．

设∠CAO＝a．
根据（1）证明可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝a，∠EAO＝∠EAC+∠CAO＝2a，
∴∠COB＝∠CAO+∠ACO＝2a，
∵CD＝OA，
∴CD＝OC．
∴∠COB＝∠D＝2a．
∵∠BCD+∠BCE＝∠EAO+∠BCE＝180°，
∴∠BCD＝∠EAO＝2a，
∴∠CBO＝∠BCD+∠D＝4a．
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠OCB＝4a．
∴∠CBO+∠OCB+∠COB＝4a+4a+2a＝10a＝180°，
∴a＝18°．
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+2a＝90°+36°＝126°．
（3）解：设的半径为r，BD＝a，则CD＝r．
∵∠EAC＝∠CAO，
∴EC＝BC．
又∵∠D＝∠BCD＝2a＝36°，
∴EC＝BC＝BD＝a．
∵AE∥OC，
∴△DOC∽△DAE．
∴，
即，
解得a＝（）r，
∴＝＝．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形的外角的性质、圆周角的性质、根据几何图形列一元二次方程，能采用数形结合的方法分析问题是解题的关键
25．（14分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
（3）如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若，求点F的坐标．
​
【分析】（1）设抛物线的两点式方程，再将点C代入即可求函数的解析式；
（2）分k＞0和k＜0两种情况讨论，再结合图象求解即可；
（3）设D（0，t），则H（2+t，t），由平行的性质可得tan∠FHG＝tan∠OBC＝2，从而得到HG＝FH，结合已知推导出DF＝DH，从而确定点F（t+，t），当x2+x﹣4＝t时，x＝t+是方程的一个根，通过解方程求出t的值即可求F点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），
将点C（0，﹣4）代入y＝a（x+4）（x﹣2），
∴﹣8a＝﹣4，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+x﹣4；
（2）抛物线沿x轴翻折后的函数解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
当k＞0时，
当直线y＝kx+6经过点A时，﹣4k+6＝0，解得k＝，此时函数与直线有两个交点；
当kx+6＝﹣x2﹣x+4有一个解时，Δ＝（k+1）2﹣4＝0，
解得k＝1或k＝﹣3（舍），
∴1＜k＜时，直线y＝kx+6与新图象有三个公共点；
当k＜0时，
当kx+6＝﹣x2﹣x+4有一个解时，Δ＝（k+1）2﹣4＝0，
解得k＝1（舍）或k＝﹣3，
当直线y＝kx+6经过点B时，2k+6＝0，解得k＝﹣3，此时函数与直线有一个交点；
∴当k＜0时，直线y＝kx+6与新图象始终有一个公共点；
综上所述：1＜k＜时，直线y＝kx+6与新图象有三个公共点；
（3）设D（0，t），则H（2+t，t），
∵EF∥AB，
∴∠FHG＝∠OBC，
∵FG⊥CH，
∴tan∠FHG＝tan∠OBC＝2，
∴FG＝2HG，
∴HG＝FH，
∵，
∴DF＝2FH，
∴DF＝DH，
∵DH＝2+t，
∴FD＝（t+4），
∴F（t+，t），
当x2+x﹣4＝t时，x＝t+是方程的一个根，
∴t2﹣6t﹣32＝0，
解得t＝﹣4（舍）或t＝8，
∴F（4，8）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象翻折的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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