2023年四川省内江市中考数学试卷

这是一份2023年四川省内江市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m，将6700000用科学记数法表示为（　　）
A．6.7×105 B．6.7×106 C．0.67×107 D．67×108
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+4b＝7ab B．（ab3）3＝ab6
C．（a+2）2＝a2+4 D．a12÷a6＝a6
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（　　）

A．30° B．45° C．36° D．60°
9．（3分）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
11．（3分）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
12．（3分）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）分解因式：x3﹣xy2＝　 　．
14．（5分）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝　 　．
15．（5分）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 　 　．

16．（5分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤。）
17．（7分）计算：（﹣1）2023+（）﹣2+3tan30°﹣（3﹣π）0+|﹣2|．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA＝BD；
（2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．

19．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　 　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝　 　度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20．（9分）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　．
23．（6分）在△ABC 中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，则sinB的值为 　 　．
24．（6分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　 　．

25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF＝，则k的值为 　 　．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
26．（12分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

27．（12分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．


2023年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2．（3分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m，将6700000用科学记数法表示为（　　）
A．6.7×105 B．6.7×106 C．0.67×107 D．67×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：6700000＝6.7×106．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层有3个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+4b＝7ab B．（ab3）3＝ab6
C．（a+2）2＝a2+4 D．a12÷a6＝a6
【分析】分别对四个选项进行计算即可．
【解答】解：3a与4b不是同类项，不能合并，所以A不正确，
因为（ab3）3＝a3b9，所以B不正确，
因为（a+2）2＝a2+4a+4，所以C不正确，
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的知识、幂的乘方的知识、完全平方公式的知识、同底数幂的除法的知识，难度不大．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、原图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
6．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
【解答】解：根据题意可得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了函数的知识、数轴的知识、二次根式的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
7．（3分）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
【分析】将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：88，89，91，93，94，95，95，
所以这组数据的众数是95，中位数是93．
故选：D．
【点评】本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（　　）

A．30° B．45° C．36° D．60°
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，
∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，
故选：B．

【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
9．（3分）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．等量关系为：甲用的时间＝乙用的时间﹣2×60．
【解答】解：乙每分钟能输入x个数据，
根据题意得：＝﹣2×60．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴BE＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
11．（3分）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
12．（3分）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【分析】分别计算f（1），f（2），f（3），…，f（），f（），…，相加后可解答．
【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，
f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1
＝201．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）分解因式：x3﹣xy2＝　x（x+y）（x﹣y）　．
【分析】提公因式x再运用平方差公式即可解答．
【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．（5分）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝　﹣2　．
【分析】根据相反数的性质及立方根定义求得a+b，c的值，然后将原代数式变形为2（a+b）﹣c后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c为8的立方根，
∴c＝2，
则2a+2b﹣c
＝2（a+b）﹣c
＝2×0﹣2
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
15．（5分）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 　4　．

【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得2πr＝，解得r＝2，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝2，
所以圆锥的高＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（5分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　　．

【分析】连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝2，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝13，求得OB＝OC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∴OB＝OC＝，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE＝×OB•EG+OC•EF＝S△ABC＝＝15，
∴，
∴EG+EF＝，
故答案为：．

【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤。）
17．（7分）计算：（﹣1）2023+（）﹣2+3tan30°﹣（3﹣π）0+|﹣2|．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+4+3×﹣1+2﹣
＝﹣1+4+﹣1+2﹣
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA＝BD；
（2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．

【分析】（1）证明△AEF≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝DC，则可得出结论；
（2）证出四边形ADBF是平行四边形，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
又∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD；
（2）证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBF是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，证明△AEF≌△DEC是解题的关键．
19．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　200　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝　54　度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以C的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：

（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

【分析】先根据斜坡AB的坡角和长度求出点B离AD的高度，然后根据求底部不能到达的物体的高度求出CF的高度，即可求出DC的长．
【解答】解：如图，设点B到AD的距离为BG，

在Rt△ABG中，BG＝ABsin∠BAG＝30×＝15米，
设BF＝x米，则CF＝x米，EF＝（x﹣4）米，
在Rt△CEF中，sin∠CEF＝，
即，
∴x＝6+，
∴CD＝DF+CF＝15+6+＝（21+）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．

【分析】（1）利用B（4，2）可得反比例函数为 ，再求得A（2，4），用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x＞0可得答案；
（3）求出OA的解析式y＝2x，由B（4，2），可得D（1，2），BD＝4﹣1＝3，由y＝﹣x+6，得C（6，0），OC＝6，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数 过B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数为：，
把A（a，4）代入 得：，
∴A（2，4），
∴，
解得：，
∴一次函数为y＝﹣x+6；
（2）观察函数图象可得，当x＞0时，﹣x+6≥的解集为：2≤x≤4；
（3）∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y＝2x，
∵过点B（4，2）作BD平行于x轴，交OA于点D，
∴D（1，2），
∴BD＝4﹣1＝3，
在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，即
∴C（6，0），
∴OC＝6，
∵，
∴梯形OCBD的面积为9．
【点评】本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2＝﹣3a+4，
∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b﹣3
＝﹣3a+4+4a+b﹣3
＝a+b+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，也考查了一元二次方程的解．
23．（6分）在△ABC 中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，则sinB的值为 　　．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b，c的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，
∴（a﹣6）2+|c﹣10|+＝0，
∴a﹣6＝0，c﹣10＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，c＝10，b＝8，
∵△ABC 中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及解直角三角形，正确得出a，b，c的值是解题关键．
24．（6分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，先利用60°角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BCD＝90°，
∵△BPC是等边三角形，
∴PC＝BC＝4，∠PCB＝60°，
在Rt△PFC中，，
即，
∴，
∴，
∵∠BCD＝90°，∠PCB＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∴，
∴，
∵，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BPC﹣S△PCD
＝
＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF＝，则k的值为 　﹣6　．

【分析】连接BO，设AG＝EG＝a，由轴对称的性质得到EC＝AO＝AE＝2a，AC＝EO＝4a，利用相似三角形的判定和性质得到S△EOD＝2，得到S△ACB＝2，根据S△OCB＝S△ACB+S△AOB以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OB，设对称轴MN与x轴交于G，
∵△ODE与△CBA关于MN对称，
∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO，
∵点A我OE的中点，
设AG＝EG＝a，则EC＝AO＝AE＝2a，
∴AC＝EO＝4a，
∵S△EAF＝，
∴S△EGF＝，
∵GF∥OD，
∴△EFG∽△EDO，
∴，
即，
∴，
∴S△ACB＝2，
∵AC＝4a，AO＝2a，
∴S△OCB＝S△ACB+S△AOB＝2+1＝3，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
26．（12分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明OD∥AC，可推出OD⊥DE，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）证出∠CAD＝∠DAF＝30°，∠CBD＝∠CAD＝30°，得到∠ABC＝30°，由此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得MD＝2，得到等边△ABM的边长，在Rt△ACP中，利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：△ABM是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AC，∠F＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAD＝∠DAF＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠EAF＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBD＝60°，
∴△ABM是等边三角形；
（3）解：∵△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∴∠MDE＝30°，
∵ME＝1，
∴MD＝2ME＝2，
∴AB＝MB＝4，
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴，
∵∠CAD＝30°，cos∠CAD＝，
即cos30°＝＝，
∴．
【点评】此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
27．（12分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出30≤x≤60和60＜x≤80时的函数关系；
（3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
【解答】解：（1）由题可列，
解得．
（2）由题可得当30≤x≤60时，
y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400，
当60＜x≤80时，
y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y＝．
（3）∵y＝，
∴当x＝60时，y的值最大，即y＝520，
由题可列×100%≥16%，
解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
【点评】本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A、B、C代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线AB的解析式为 ，设P （0＜m＜4），可求 ，从而可求PK+PD＝﹣m2+m+2，即可求解；
（3）过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），可求＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，构建方程可得M1坐标，求出直线BM1的解析式，利用平行线的性质求出直线AM2的解析式，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设P （0＜m＜4），则，
∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，﹣）；

（3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则＝n2+4n+5，＝n2+9，

由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，
∴n＝6，
∴M1（1，6），
∴直线 BM1 解析式为y＝﹣2x+8，
∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2），
∴直线 AM2 解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，
∴M2（1﹣4），
综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理 等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键＜/m＜/m
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