2023年四川省雅安市中考数学试卷

这是一份2023年四川省雅安市中考数学试卷，共27页。
2023年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的.
1．（3分）在0，，﹣，2四个数中，负数是（　　）
A．0 B． C．﹣ D．2
2．（3分）计算20﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．19 D．0
3．（3分）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．25° C．35° D．45°
5．（3分）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a3÷a＝a2
7．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．﹣1≤x＜1 C．﹣1＜x≤3 D．﹣1≤x＜3
8．（3分）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（　　）

A．9.7，9.5 B．9.7，9.8 C．9.8，9.5 D．9.8，9.8
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
11．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（　　）
①a＞0；
②点B的坐标为（6，0）；
③c＝3b；
④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）在一个不透明的口袋中，装有1个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有 　 　个．
14．（3分）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 　 　．
15．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 　 　．

17．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
18．（12分）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
19．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

20．（8分）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．

21．（9分）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的.
1．（3分）在0，，﹣，2四个数中，负数是（　　）
A．0 B． C．﹣ D．2
【分析】根据负数的定义即可判断．
【解答】解：在0，，﹣，2四个数中，，2是正数，﹣是负数，0既不是正数也不是负数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数，解题的关键是正确区分正数与负数．
2．（3分）计算20﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．19 D．0
【分析】零指数幂：a0＝1（a≠0），由此即可计算．
【解答】解：20﹣1
＝1﹣1
＝0．
故选：D．
【点评】本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：a0＝1（a≠0）．
3．（3分）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图的概念找出找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．25° C．35° D．45°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的大小，再根据余角的性质即可求出∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝65°，
∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣65°＝25°，

故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质和余角的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
5．（3分）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3
【分析】将2m2+4m﹣3化简，代入求值计算即可．
【解答】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想．
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a3÷a＝a2
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项B不符合题意；
C、a2•a4＝a6，故选项C不符合题意；
D、a3÷a＝a2，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．﹣1≤x＜1 C．﹣1＜x≤3 D．﹣1≤x＜3
【分析】依据题意，分别解出组成不等式组的两个不等式的解集，进而可以得解．
【解答】解：由题意，，
∴由①得，x≥﹣1；由②得，x＜3．
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解集，解题时需要熟练掌握并能准确计算．
8．（3分）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积公式，比较简单．
9．（3分）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（　　）

A．9.7，9.5 B．9.7，9.8 C．9.8，9.5 D．9.8，9.8
【分析】根据折线图将成绩从小到大排列，然后求中位数与平均数即可．
【解答】解：平均数：（9.5+9.3+9.5+9.5+9.8+9.8+10+9.8+9.8+10）÷10＝9.7，
将10个数据从小到大排列为：9.3，9.5，9.5，9.5，9.8，9.8，9.8，9.8，10，10共十个数，第五个与第六个数分别为9.8，9.8，所以中位数是（9.8+9.8）÷2＝9.8，
故答案选：B．
【点评】本题考查了中位数平均数，解题的关键在于熟练掌握平均数中位数的定义与求解方法．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出GF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（　　）
①a＞0；
②点B的坐标为（6，0）；
③c＝3b；
④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x＝2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，①错误，
∵A、B关于对称轴x＝2对称，
∴B点的横坐标为6，②正确，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴，
把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得：
4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b+c＝0，整理得：
c＝3b，③正确，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，抛物线取得最大值为y＝4a+2b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bmm，④正确．
∴所有正确结论的序号为②③④．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）在一个不透明的口袋中，装有1个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有 　3　个．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设有黄球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解．
故答案为：3．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 　2　．
【分析】根据平方差公式得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），再将已知代入即可．
【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 　﹣4　．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1×m＝﹣4，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 　3　．

【分析】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CP，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝＝6，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP＝BP，
∴CP＝AB＝3，
∴DE的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 　2　．

【分析】连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，先证明△BCD是等边三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后运用勾股定理求得AB即可．
【解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，
又∵BC＝DC，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝8，
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，
又∵AE∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AE＝EC＝6，
过点E作EF⊥AC，交AC于点F，
∴CF＝CE•cos30°＝6×＝3，
AF＝AE•cos30°＝6×＝3，
CO＝BC•cos30°＝8×＝4，
∴AC＝CF+AF＝6，
∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．
在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．
故答案为：2．

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
18．（12分）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、实数的运算和绝对值的意义化简，然后计算加减即可；
（2）首先计算小括号里面的分式的加法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入a的值可得答案．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×
＝4﹣2
＝2；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝．
【点评】此题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂公式，二次根式的化简，通分，以及约分，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

【分析】（1）成绩在60≤x＜70的有10人，占调查人数的10%，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
（3）从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：

（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图以及列表法或树状图法，掌握频率＝以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20．（8分）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质利用SAS可证明结论；
（2）利用更改的先求解CH，BH的长，再解直角三角形求解AH的长，即可求得AB的长，再利用平行四边形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，
∴CH＝3BH，
∵CH⊥AB于H，
∴∠H＝90°，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，
∴（）2＝BH2+（3BH）2，
解得BH＝1，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，
∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
∴S▱ABCD＝AB•CH＝3×3＝9．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识的综合运用，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（9分）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【分析】（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意批发甲种蔬菜nkg，则批发乙种蔬菜（80﹣n）千克，再列出关系式即可；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意列出w关于n的函数关系式，进而得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
，解得，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，
整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得，
w＝（7.21﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），
整理得w＝0.81n+128，
∵要保证利润不低于176元，
∴w＝0.81n+128≥176，
解得n≥，
∴至少批发甲种蔬菜千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解，并且要熟练掌握一次函数的性质．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．

【分析】（1）根据正方形的性质得到B（2，2），然后利用待定系数法即可求解；
（2）作DE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△DOE＝S△AOB＝，设D（m，），则OE＝m，DE＝，然后根据S△OBD＝S△AOB+S梯形ABDE﹣S△DOE＝S梯形ABDE＝3，求得m的值，从而求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线BD的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）作DE⊥x轴于E，
∵BA⊥x轴，
∴S△DOE＝S△AOB＝，
设D（m，），则OE＝m，DE＝，
∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB+S梯形ABDE﹣S△DOE＝S梯形ABDE＝3，
∴，
整理得m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴D（4，1），
设直线BD的解析式为y＝ax+b，
把B、D的坐标代入得，
解得，
∴直线BD的函数表达式为y＝﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，求得点B、D的坐标是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．

【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB＝∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，根据∠ABC＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，由切线的判定即可证得DE与OO相切；
（2）角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD；
（3）设Rt△ABD中AB边上的高为h，由AB2＝AP2+BP2可得（PA+PB）2＝64+2PA•PB，即可得出当PA+PB取最大值时S△ABD取最大值，根据S△ABP＝PA•PB＝AB•h进而求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，

∵AB为OO的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是OO的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BC＝2．
∴BC＝4，
∵tan∠BACE＝，
∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD＝（负值已舍去），
∴AD＝：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，

由（2）可知AB＝8，
又∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值，
又∵S△ABP＝PA•PB＝AB•h，
当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为＝＝4，
∴S△ABP＝AB•h＝2×8×4＝16．
∴PA•PB＝2S△ABP＝32，
∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，
∴PA+PB＝8．
综上所述：PA+PB的最大值为8．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE＝BC．（3）将PA+PB的最大值转化为△ABP的面积最大值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据对称轴公式求出b＝﹣4，再将点A代入函数解析式即可求c的值，从而确定函数解析式；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，可得|xB﹣xC|＝2，M点到直线BC的距离为m+2，根据等边三角形的性质可得|xB﹣xC|＝（m+2），求出m的值即可求三角形的边长；
（3）设E（2，t），F（x，y），根据菱形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，求出F点坐标即可．
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，
∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，
∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，
当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，
∵M（2，﹣2），
∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，
∴|xB﹣xC|＝（m+2），即＝（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），
∴三角形的边长为2；
（3）在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，
解得，
∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，
解得（舍）或，
∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，
解得或，
∴F（3，﹣1+）或（3，﹣1﹣）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣1﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/21 21:27:55；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.com；学号：39221433