第31讲 正弦定理、余弦定理-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第31讲 正弦定理、余弦定理

1、正弦定理

＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．

2、余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C.

3、三角形的面积公式　

(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；

(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，

据此可得，

则.

故选：C.

2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

【解析】（1），

，即，

又，

，

，

，

即，所以，

.

（2）由（1）知，，

由，

由正弦定理，，可得，

，

.

3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求面积．

【解析】

【小问1详解】

因为，所以，解得：．

【小问2详解】

由正弦定理可得

，

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为

1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)

A．1           B．2          C．3           D．4

【答案】：A

【解析】设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.

2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)

A．2   B.

C．2或   D．均不正确

【答案】：C

【解析】∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.

若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.

若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.

3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)

A.   B.

C．2   D．2

【答案】：B

【解析】因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝.

4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在中，角的对边分别为，则（    ）

A. 或 B.  C.  D. 以上都不对

【答案】C

【解析】在中，已知，

由正弦定理得：，

所以，

因为，

所以，

所以，

故选：C

考向一　运用正余弦定理解三角形

例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值.

【解析】（1），，成等差数列，

，

由正弦定理，，

中，，，

，

又，，

，.

（2），，

，

.

变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；

对于B，因为，

所以由正弦定理得，

因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；

对于C，因，

所以由正弦定理得，即，

因为，所以有两解（，或，），故C正确；

对于D，因为，

所以由正弦定理得，

由于，故，所以只有一解，故D错误；

故选：BC

变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记的内角 的对边分别为 ，．

（1）证明：；

（2）若，求．

【解析】

【小问1详解】由题意知，，

所以，

所以，而 ，

结合正弦定理，所以.

【小问2详解】由（1）知：,

所以，即，所以

解得或（舍）,

所以.

方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．

考向二  利用正、余弦定理判定三角形形状

例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ）

A．，，则的外接圆半径是4

B．若，则

C．若，则一定是钝角三角形

D．若，则

【答案】BC

【解析】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；

由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；

因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；

若，显然，故D错误.

故选：BC

变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A. 直角三角形    B. 等腰非等边三角形

C. 等边三角形    D. 钝角三角形

【答案】 C

【解析】 因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．

变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰或直角三角形

【答案】 D

【解析】 因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理，得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.又C＝π－(A＋B)，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B·cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝或B＝A，所以△ABC为等腰或直角三角形．

方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．

考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积

考向三  运用正余弦定理解决三角形的面积、周长

例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）证明：；

（2）若，，求的面积.

【解析】

【小问1详解】在中，由余弦定理及，得，得.

由正弦定理得，因为，

所以，

所以，即.

因为A，B，C是三角形的内角，所以，即；

【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，

所以，，

，

由正弦定理得，，所以，

所以的面积.

变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为.

(1) 求sin B sin C的值；

(2) 若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

【解析】 (1) 由题意，得ac sin B＝，

即c sin B＝.

由正弦定理，得sin C sin B＝，

故sin B sin C＝.

(2) 由题意及(1)，得cos B cos C－sin B sin C＝－，

即cos (B＋C)＝－，

所以B＋C＝，故A＝.

由题意，得bc sin A＝，则bc＝8.

由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，

即(b＋c)2－3bc＝9，

则b＋c＝，

故△ABC的周长为3＋.

变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1) 求c的值；

(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【解析】 (1) 由sin A＋cos A＝0，得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

即28＝4＋c2－4c cos ，即c2＋2c－24＝0，

解得c＝4（负值舍去）.

(2) 由题设，得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，

所以＝＝1.

又S△ABC＝×4×2×sin ＝2，

所以△ABD的面积为.

变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.

（1）求角B；

（2）求的面积.

【解析】

【小问1详解】因为，

所以，又，

所以，又，

所以；

【小问2详解】由正弦定理可知：，

又，

所以，

所以.

方法总结：1．求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

1、.（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

由：

若，则为钝角；

若，则，

此时，故充分性成立.

△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；

∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.

故选：.

2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在中，若，则的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，

由余弦定理边角互化可得：，

化简得，

因此或，故为直角三角形，

故选：B

3、（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.

【答案】

【解析】设角A,B,C的对边分别为a，b，c，

由正弦定理，

，

，，

即为钝角，为锐角，

，

，

.故答案为：.

4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在中，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【解析】（1）由，

因为，可得，

又由正弦定理，得，即，

由余弦定理，得，∵，∴.

（2）在中，因为，

所以，可得，

又因为，由正弦定理可得，

又由，

∴的面积.

5、（2022年重庆市高三模拟试卷）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，的面积是，求的值．

【解析】

【小问1详解】依题意，，

由正弦定理得，

，

所以

，由于，所以，

所以，则．

【小问2详解】由（1）得，所以，

由解得，

由于，所以，

由余弦定理得.