2022-2023学年青海省西宁市重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年青海省西宁市重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某农场给某种农作物施肥量单位：吨与其产量单位：吨的统计数据如表：

由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是(    )

A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递增

5.  已知直线：与圆：，则上各点到的距离的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数的单调递减区间为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知随机变量服从正态分布，且，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知离散型随机变量的分布列如下：

由此可以得到期望与方差分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

11.  已知随机变量的分布列为，，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设函数，则 ______ ．

14.  已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是______．

15.  已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，若点在第四象限，则实数的取值范围是______．

16.  展开式中，的系数为______ 以数字形式作答．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在的展开式中，求：
第项的二项式系数；
含的项的系数．

18.  本小题分
根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了名老人，结果如表：

估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；
能否有的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？
附：参考公式：，其中

19.  本小题分
福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
求该工艺师进行次制作，恰有一件优秀作品的概率；
若该工艺师制作次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望；

20.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求和的直角坐标方程；
求上的点到距离的最小值．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
已知，曲线与曲线相交于，两点，求．

22.  本小题分
已知函数，．
若图像在处的切线过点，求切线方程；
当时，若，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，共轭复数为：
故选：．
利用复数的除法运算法则，化简复数为的形式即可得到共轭复数．
本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中为，
，
，
线性回归方程是，
广告费用为万元时销售额为吨，
故选C．
首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为代入，预报出结果．
本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题
 

4.【答案】 

【解析】解：由函数的导函数的图像知，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增．
故选：．
根据函数的导函数大于时单调递增，小于时单调递减；判断即可．
本题考查了根据函数的导数判断函数单调性的应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆：，
可得：，，
圆的普通方程为，
半径，圆心为．
圆心到直线的距离．
上各点到的距离的最小值为．
故选：．
将圆化为普通方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
本题考查了直线与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化．圆心到直线的距离的运用．属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
可先求出导函数，把换上即可求出的值．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：复数，
．
故选：．
先求出复数，由此能求出．
本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的定义域是，
，
令，解得：，
故在递减，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率，属于基础题．
看出这组数据对应的正态曲线的对称轴，根据正态曲线的特点，得到，即可得到结果．

【解答】

解：随机变量服从正态分布，
，得对称轴是，
，
，
，
，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由概率的性质得，解得，
，
，
故选：．
由概率的性质得，解得，再根据期望与方差的公式可得．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，


故选A．
利用期望与方差公式，求出，，从而可求的值．
本题考查期望与方差公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
不等式可化简为，
设，即在上恒成立．
，令可得，
在上单调递增，单调递减．
且，，，
在上，若恒成立，即，，
在上，若，则恒成立，
在上恒成立．
即在上恒成立．
设，在上恒成立，
在上单调递增，即．
故选：．
把原不等式进行化简构造函数，再讨论增减性即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
可以求出导函数，然后将换上即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，椭圆的参数方程为，
则有，，
则有，
即该椭圆的普通方程为：，
故答案为：．
根据题意，由椭圆的参数方程可得，，进而可得，即可得答案．
本题考查椭圆的参数方程，注意椭圆的参数方程的形式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
复数在复平面内对应的点，
点在第四象限，，解得．
实数的取值范围是．
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，再由横坐标大于且纵坐标小于联立不等式组求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以；
令，解得，
所以；
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
求出展开式的含与项的系数，再计算展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
 

17.【答案】解：由二项式定理可知，在展开式中，
第项为．
所以第项的二项式系数为．
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为．
当时，展开式中含的项的系数为． 

【解析】先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；
先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

18.【答案】解：；
，
没有的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关； 

【解析】利用样本估计总体；
利用独立性检验的方法求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意可知，制作一件优秀作品的概率为，
该工艺师进行次制作，恰有一件优秀作品的概率．
该工艺师制作次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为，，，，，
由题意可知，，
，，
，，
，
故的分布列为：

． 

【解析】先求出制作一件优秀作品的概率，再结合二项分布概率公式，即可求解．
该工艺师制作次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为，，，，，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意，因为，即，
由，即，
所以．
由，可得．
设曲线上的点坐标为，
则其到直线的距离，
当时，，
则，
即上的点到距离的最小值为． 

【解析】根据题意，由参数方程与普通方程的互化以及极坐标方程与普通方程的互化即可得到结果；
根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果．
本题考查极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离公式以及正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
把直线的参数方程代入，
得到设点和对应的参数为和，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题得，，，而，
图像在处的切线为，
切线过点，，解得，
所求切线方程是，
即；
证明：依题意：，，
令，有，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
则有，
因此，，，，
于是得在上单调递增，而，又，不妨令，
令，，，
令，，
则，即在上单调递增，
则有，函数在上单调递增，有，
即当时，，
而，则，即，
又，因此，，
因在上单调递增，于是得，即，
故． 

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程，代入点，求得值，即可得到切线方程；
根据给定条件判断函数的单调性，构造函数，借助导数探讨当时，，即可证得结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了推理能力与计算能力，将所证不等式转化构造新函数，再借助函数的单调性、极最值问题处理是关键，属于难题．