2022-2023学年浙江省绍兴市越城区九年级（下）期中数学试卷（一模）（含解析）

2022-2023学年浙江省绍兴市越城区九年级（下）期中数学试卷（一模）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小明以四种不同的方式连接正六边形的两条不同的对角线，那么连接后的四个图形，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是(    )
 

A. 参加本次植树活动共有人 B. 每人植树量的众数是棵
C. 每人植树量的中位数是棵 D. 每人植树量的平均数是棵

5.  如图，是由个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有、、、的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图的数轴上有、、三点，其中为原点，点所表示的数为，根据图中数轴上这三点之间的实际距离进行估计，下列何者最接近点所表示的数(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；作直线交于点，连接，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知二次函数的图象与轴相交于、两点，将函数图象向上平移后与轴交于另外两点、，那么下列式子正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

10.  的边上有、、三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  计算：______．

12.  在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是______ ．

13.  边长为的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，请写一个反比例函数的表达式，使它的图象在第一象限与正方形的边有交点，你写的函数的表达式为______ ．

14.  不等式组的整数解是______ ．

15.  如图，某品牌的计算器中上、、三个并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键计算器显示屏上现在显示这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是______ ．

16.  如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：其中．

18.  本小题分
如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，，设点，，所对应数的和是．
若以为原点，写出点，所对应的数，并求出的值；
若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值．

19.  本小题分
如图已知中，．
求的长；
设边上的高线，交边于点，求的长．

20.  本小题分
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
求、两种粽子的单价各是多少？
若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？

21.  本小题分
请在图中作出的外接圆尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
求证：；
若，，求的半径．

 

22.  本小题分
如图，在四边形中，，点，在对角线上，，．
求证：≌；
连接，，已知______从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件条件分别进行解答，按第一个解答计分

23.  本小题分
在平面直角坐标系中有三个点：，，，二次函数的图象恰好经过这三个点之中的两个点．
试推断二次函数的图象经过点、、之中的哪两个点？请简要说明理由；
求常数与的值；
将二次函数的图象先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为，且经过点，连、、，请判断的形状，并证明你的判断．
 

24.  本小题分
如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段、连接，．
求证：；
当点在线段上点不与点，重合时，求的值；
过点作交于点，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：、、选项都是轴对称图形，不符合轴对称图形的只有选项．
故选：．
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：底面半径为，底面周长，侧面积，故选A．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

4.【答案】 

【解析】解：、人，
参加本次植树活动共有人，选项A正确；
B、出现的次数最多，出现了次，
每人植树量的众数是棵，选项B正确；
C、共有个数，第、个数为，
每人植树量的中位数是棵，选项C正确；
D、棵，
每人植树量的平均数约是棵，选项D不正确．
故选：．
A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；、由种植棵的人数最多，可得出结论B正确；、由，可得出每人植树量数列中第、个数为，即结论C正确；、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是棵，结论D错误．此题得解．
本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原几何体的主视图是：
．
故取走的正方体是．
故选：．
根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数轴的信息知：；
点表示的实数为：；
故选：．
根据数轴上的数据求出的长度，从而估算出的长度，即可估算出点表示的数，从而得解．
本题考查了数轴与有理数的加法运算，求出点表示的数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，

故选：．
根据旋转变换的性质画出图象即可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：利用作图得垂直平分，
所以，
所以．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得，然后对各选项进行判断．
本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，了解相关概念是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

的对称轴是直线，平移后的抛物线对称轴不变，
，，
，，
，
与分别是两函数图象与轴交点之间的距离，
由图象可知，
故选：．
根据二次函数图象对称轴为直线，平移后对称轴不变，算出和的值，与分别是两函数图象与轴交点之间的距离，由图象可容易判断．
本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是灵活运用二次函数图象对称轴及与轴交点相关的性质，注意数形结合．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：，
同法可证∽，
，
，
：：，
：：：，
故选：．
证明∽，推出，推出，可得，推出：：，同法：：，由此可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解；原式
，
故答案为：．
根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案．
本题考查了整式的除法，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有种情况，
两次都摸到黑球的概率是．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：依题意，，，
当反比例函数经过点时，，
反比例函数图象在第一象限与正方形的边有交点，则，
反比例函数可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据题意，得出，则反比例函数的比例系数满足，，即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

14.【答案】、、、、、、、、 

【解析】解：，
解不等式得，解不等式得．
不等式组的解集为，
该不等式的整数解为：、、、、、、、、．
故答案为：、、、、、、、、．
首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不了．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，，
，，，
，
，
当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是，
故答案为：．
根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．
本题考查了求一个数的算术平方根，倒数，有理数的乘方，找到规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点设．

，，
，
，
，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，

作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，
此时直线的解析式为，
当时，，
的值最小时，的值为，
解法二：过点作，使得，连接，过点作于点．

，，，
≌，
，
，
当，，共线时，的值最小，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点设，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，此时直线的解析式为，求出点的坐标，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式利用同分母分式的减法法则变形，约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了同分母的分式加减以及二次根式的加减，熟练掌握同分母的分式加减以及二次根式的加减的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：是原点，，，
点表示，点表示，
；
原点在图中数轴上点的右边，且，
点表示，点表示，点表示，
． 

【解析】以为原点，先分别求出，，三点对应的数即可解决问题；
根据原点在图中数轴上点的右边，且，分别求出，，三对应的数即可．
本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：如图所示，过点作于点，

，
设，则，
，
，
，
，，
，
在中，；
如图所示，

是边上的高，是边上的高，

． 

【解析】过点作于点，根据，设，则，勾股定理得出，根据，则，，，进而求得，，，在中，勾股定理即可求得；
根据等面积法即可求解．
本题考查了解直角三角形，三角形的高的定义，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

21.【答案】解：如图，即为的外接圆；
证明：如图，连接，
是的切线，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】利用尺规作图分别作出、的垂直平分线交于点，以为圆心、为半径作圆即可；
连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明结论；
连接，根据圆周角定理得到，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，

≌；
答案不唯一
选择条件：
四边形是菱形，理由如下：

由得，≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
▱是菱形；
选择条件：
四边形是菱形，理由如下：
连接交于点，

由得：≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
▱是菱形． 

【解析】证明：，
，
，
，
，
在和中，

≌；
解：若选择条件：
四边形是菱形，理由如下：

由得，≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
▱是菱形；
若选择条件：
四边形是菱形，理由如下：
连接交于点，

由得：≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
▱是菱形．
故答案为：答案不唯一．
由等式的性质得，由平行线的性质得，从而利用证明≌；
若选择，由可说明，则四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得，利用含角的直角三角形的性质得，则，从而▱是菱形；若选择连接交于点，同理可得四边形是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得，即，从而证明结论．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：轴，故B、中只有一个点在抛物线上，
设直线的解析式为，代入点，点，

解得：，
直线：，交轴于点．
且抛物线与轴也交于点，故C不符要求．
点、在抛物线上，
代入、到，
得，解得，，

原抛物线的解析式为，
平移后的解析式为，
，
代入到，舍，，
，
，，，
，，
．
是等腰直角三角形．
 

【解析】轴，故B、中只有一个点在抛物线上，求得的解析式，交轴于点，抛物线与轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；
把、点的坐标代入解析式，由此解答即可；
由平移可得新的解析式，代入得出点的坐标，再判断三角形的形状．
本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图象上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，作于，

，
，，
，
，
；
解：，
，
由知，，
同理可得，，
，，
，
，
∽，
；
解：如图，当点在线段上时，过点作交的延长线于点，过点作于点，

设，则，
由得，，
在中，，，
，，
在中，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，

设，则，
由得，，
过点作交的延长线于点，过点作于点，
同理可得，，，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或． 

【解析】作于，可得，，进而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
当点在线段上时，作，交的延长线于，作于，设，则，解直角三角形，求得的长，根据∽求得，进而求得，进一步得出结果；当点在的延长线上时，设，则，同样方法求得结果．
本题是相似形的综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．