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2022-2023学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=x3 B. y=−32x+1 C. y=−2x D. y=34x−1
3. 已知反比例函数y=kx的图象过点P(2,−3)，则该反比例函数的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
4. 已知关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，则a的值为( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
5. 用配方法解方程x2−6x=16，下列配方正确的是( )
A. (x+3)2=25 B. (x−3)2=7 C. (x−3)2=25 D. (x+3)2=7
6. 关于抛物线y=−x2+2，下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 有最小值 D. 当x<0时，函数y随x的增大而减小
7. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为( )
A. 100(x+1)2=331
B. 100(x+1)+100(x+1)2=331
C. 100+100(x+1)2=331
D. 100+100(x+1)+100(x+1)2=331
8. 如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，若∠ACB=60°，则∠BDC的度数为( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
9. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有3个●，第②个图中共有7个●，第③个图中共有12个●，第④个图中共有18个●，…，照此规律排列下去，则第⑩个图中●的个数为( )
A. 63 B. 69 C. 75 D. 81
10. 如图，∠ABC=∠DAC=90°，∠BAC=30°，∠ACD=45°，点E为CD的中点，以点C为圆心，CE为半径画弧线EGH，点C、B、H共线，若BC=2cm，则阴影部分的面积为( )
A. (73π)cm2
B. (43π)cm2
C. (43π+2)cm2
D. (43π−2)cm2
11. 已知关于x的分式方程nx(x−3)(x−4)=3x−3+2x−4的解为正整数，且关于y的不等式组n−y>6y+5≤3(y+5)无解，则所有符合条件的整数n的和为( )
A. −7 B. −16 C. −17 D. −18
12. 如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，下列判断正确个数为( )
①ab<0；
②b−3a=0；
③ax2+bx≥m−2；
④点(−4.5,y1)和点(1.5,y2)都在此函数图象上，则y1=y2；
⑤9a=8−4m．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 计算： 16−(−3)2+(5−π)0= ______ ．
14. 若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为______ ．
15. 有四张完全一样正面分别写有数字1，2，3，4的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之积不小于9的概率是______ ．
16. 某校七年级在元旦节举行了“速算大赛”，用签字笔、钢笔、圆规三种文具用品混装成甲、乙、丙三种奖品礼包，其中甲种奖品礼包包含10支签字笔、5支钢笔；乙种奖品礼包包含2支签字笔，6支钢笔，4个圆规；丙种奖品礼包包含4支签字笔，8个圆规.购买每个礼包的费用等于礼包内各文具用品的费用之和；已知两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元.学校采购员小李在1月1日当天，去文具店购买这三种文具用品发现，该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，若签字笔、钢笔、圆规三种文具用品的原价都是正整数，且签字笔的单价不超过10元，若小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付______ 元.
三、解答题（本大题共10小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+6x=7(因式分解法)；
(2)2x2−3x=2(配方法)．
18. (本小题8.0分)
因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动.为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了______ 名学生，a= ______ ，b= ______ ．
(2)将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数；
(3)若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率．
19. (本小题10.0分)
如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD(弧所对的弦)的长为3.2米，拱高AB(弧的中点到弦的距离)为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端(点D)0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．
20. (本小题10.0分)
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点E是AB边上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F．
(1)尺规作图：(按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母)过点B作BG⊥AF于点G．
(2)在(1)的条件下，若CF=8，AF=5，求线段FG的长．
21. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0且x>0)交于点A(2,3)和点B(6,1)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，在网格中画出一次函数的图象，并写出反比例函数y=mx(m≠0)图象的一条性质：______ ；
(2)根据图象，请直接写出关于不等式kx+b≥mx(x>0)的解集：______ ；
(3)求△AOB的面积．
22. (本小题10.0分)
某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照(1)两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．
23. (本小题10.0分)
材料1：对于一个四位自然数A，如果A满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称A为“阶梯数”.对于一个“阶梯数”A，把A的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数B，规定：G(A)=|A−B|9．
例如：A=1324，因为3−1=2，4−2=2，所以1324是“阶梯数”；将A的千位数字1放在最右边，得到B=3241,G(1324)=|1324−3241|9=213．
材料2：对于任意四位自然数N=abcd−(a,b,c,d均为整数)，规定：M(N)=ad−−bc−．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断3512、6846是不是“阶梯数”，请说明理由；如果是，请求出对应的G(A)的值；
(2)已知C、D是“阶梯数”，其中C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m(m是整数且5≤m≤9).若M(C)+M(D)能被11整除且n
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与平面直角坐标系交于点A(0,−4)，B(−4,0)，C(1,0)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P′为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A′，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P′，A′，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25. (本小题10.0分)
如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°．
(1)如图1，若AB=AC，AD=AE.点A、B、D共线时，探究BE与CD的关系，说明理由；
(2)如图2，AB=AE，AC=AD，且点A、B、D不共线时，点H为线段BD的中点，判断AH与CE的数量关系，并证明．
(3)如图3，若AB=AC，AD=AE.点A、B、D不共线时，点G为CD的中点，△ADE绕点A旋转过程中，连接BG，若AB=5 2，AD=3 2，直接写出线段BG的取值范围．
26. (本小题8.0分)
问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高.在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积
S=12absinC
=12bcsinA
=12casinB
(1)在△ABC中，∠A=30°，b=2，c=3，求b边对应的高的长度．
(2)如图2，在△ABC中，已知AB=2，BC=1，D为AC上一点，证明：BD=2sin(∠1+∠2)2sin∠1+sin∠2．
(3)正数a，b，c，d，e，f满足a+b=c+d=e+f=1，证明：af+bc+de<1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
2.【答案】D
【解析】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义回答即可．
本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)．
3.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6<0，
∴该反比例函数经过第二、四象限．
故选C．
先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．
本题考查反比例函数的性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，
∴12+3a−4=0，
即3a=3，
解得，a=1．
故选：C．
根据关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，将x=1代入方程即可求得a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
5.【答案】C
【解析】解：x2−6x=16，
配方得：x2−6x+9=16+9，
(x−3)2=25，
故选：C．
先根据完全平方公式配方得出x2−6x+9=16+9，求出(x−3)2=25即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=−x2+2中，a=−1<0，
∴开口向下，对称轴是y轴，故A错误，B正确；
∴函数有最大值，当x<0时，函数y随x的增大而增大，
故C、D错误．
故选：B．
利用二次函数的图象与性质判断．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是x，
∴该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100(x+1)万元，十二月棉签产值达100(x+1)2万元．
根据题意得：100+100(x+1)+100(x+1)2=331．
故选：D．
由该棉签生产工厂2022年十月棉签产值及月平均增长率，可得出该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100(x+1)万元，十二月棉签产值达100(x+1)2万元，结合该棉签生产工厂2022年第四季度总产值达331万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接AD，CD，BC，BD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=30°．
故选：B．
根据直径得出∠ADC=90°，求出∠ACB的度数，由圆周角定理即可推出∠BDC的度数．
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．
9.【答案】C
【解析】解：∵第①个图中共有3个●，即3=1+2=1+2×1，
第②个图中共有7个●，即7=3+4=1+2+2×2，
第③个图中共有12个●，即12=6+6=1+2+3+2×3，
第④个图中共有18个●，即18=10+8=1+2+3+4+2×4，
…，
∴第n个图中●的个数为：2×4+1+2+3+…+n=2n+n(n+1)2，
∴第⑩个图中●的个数为：2×10+10×112=75．
故选：C．
根据已知图形得出图n中点的个数为2n−(1+2+3+…+n)=2n+n(n+1)2，据此可得．
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为2n+n(n+1)2．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CG，
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2cm，
∴AC=2BC=4cm，
∵∠DAC=90°，∠ACD=45°，
∴AD=AC=4cm，
∴CD=4 2cm，
∵点E为CD的中点，
∴CE=CG=2 2cm，
∴BG= CG2−BC2=2cm，
∴∠BCG=45°，
∴∠GCE=60°，
∴阴影部分的面积为60π×(2 2)2360+12×2×2=(43π+2)cm2．
故选：C．
根据已知求出AC=2BC=4cm，CD=4 2cm，CE=CG=2 2cm，所以BG= CG2−BC2=2cm，∠BCG=45°，∠GCE=60°，所以阴影部分的面积是扇形ECG的面积与△BCG的面积的和．
本题考查扇形的面积、圆周角定理等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积．
11.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：nx=3(x−4)+2(x−3)，
整理得：(n−5)x=−18，
解得：x=185−n，
由分式方程有正整数解，得到n=−13，−4，−1，2，3，4，
当n=−1时，x=3，原分式方程无解，
所以n=−13，−4，2，3，4，
不等式组整理得：y
所以n≤1，
∴n=−13，−4，
∴−13−4=−17．
故选：C．
根据分式方程有正整数解确定出n的值，再由不等式组无解确定出满足题意n的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−32，
∴b=3a<0，
∴ab>0，故①错误；
由上述可知，b=3a，
∴b−3a=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=−32时，y取得最大值为m，
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m−2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−32=−1.5，−1.5−(−4.5)=1.5−(−1.5)，
∴y1=y2，故④正确；
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴94a−32b+2=m，
整理得：9a−6b+8=4m，
∵b=3a，
∴9a−18a+8=4m，
∴9a=8−4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故选：C．
根据抛物线的开口方向得a<0，由顶点坐标可得b=3a<0，b−3a=0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x=−32时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标(−32,m)代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题．
13.【答案】2
【解析】解： 16−(−3)2+(5−π)0
=4−3+1
=1+1
=2，
故答案为：2．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
14.【答案】y=100x
【解析】解：x万人=10000x人，100万平方米=1000000平方米．
根据题意，得y=100000010000x，即y=100x．
故答案为：y=100x．
分别将人口数量和绿地面积的单位换算为人和平方米，再写出y与x之间的函数表达式并化简即可．
本题考查一次函数的应用，正确理解题意并写出函数表达式是解答本题的关键．
15.【答案】59
【解析】解：列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中数字之积不小于9的共有4结果，
所以抽取的两张卡片上的数字积不小于9的概率是416=14，
故答案为：14．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率=所求情况数÷总情况数．
16.【答案】250
【解析】解：设签字笔的单价为x元、钢笔的单价为y元、圆规的单价为z元，
则：2(2x+6y+4z)−(4x+8z)=24012×2x+0.7×6y+0.8×4z+12=4x+8z，
则：y=20，x=32−1.6z，
∵签字笔的单价不超过10元，x、z都是整数，
∴x=8，y=20，z=15，
∴12×0.5×8+11×0.7×20+0.8×15×4=48+154+48=250(元)，
故答案为：250．
设签字笔的单价为x元、钢笔的单价为y元、圆规的单价为z元，根据“两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元”和“1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元”，列方程组求解．
本题考查了一元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵x2+6x=7，
∴x2+6x−7=0，
∴(x−1)(x+7)=0，
∴x−1=0或x+7=0，
解得x1=1，x2=−7；
(2)2x2−3x=2，
x2−32x=1，
x2−32x+(34)2=1+(34)2，
(x−34)2=2516，
x−34=±54，
∴x−34=54或x−34=−54，
解得x1=2，x2=−12．
【解析】(1)先移项，然后因式分解即可；
(2)根据配方法可以解答此方程．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
18.【答案】60 35 6
【解析】解：(1)在这项调查中，共调查的学生为：9÷15%=60(名)，
∴a%=126°÷360°×100%=35%，
∴a=35，
∴喜欢乒乓球的学生为：60×35%=21(名)，
∴喜欢跳绳的学生为：60−3−9−21−18−3=6(名)，
∴b%=6÷60×100%=10%，
∴b=10，
故答案为：60，35，10；
(2)将条形统计图补充完整如下：
扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为：360°×10%=36°；
(3)把九年级七班喜欢足球的3名学生分别记为A、B、C，喜欢铅球的3名学生分别记为D、E、F，
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中选出的两名学生喜欢的运动项目相同的结果有12种，
∴选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率为1230=25．
(1)由喜欢篮球的学生人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由(1)的结果即可解决问题；
(3)画树状图，共有30种等可能的结果，其中选出的两名学生喜欢的运动项目相同的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在BA的延长线上，
连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA=(r−0.8)米，∵OB⊥CD，
∴CA=DA=12CD=12×3.2=1.6(米)，
在Rt△OAC中，1.62+(r−0.8)2=r2，
解得r=2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，
∵DH=0.4米，
∴AH=AD−DH=1.2米，
∵∠GEA=∠EAH=∠GHA=90°，
∴四边形AHGE为矩形，
∴AE=GH，GE=AH=1.2米，
在Rt△OEG中，OE= OG2−EG2= 22−1．22=1.6(米)，
∵OA=OB−AB=2−0.8=1.2(米)，
∴AE=OE−OA=1.6−1.2=0.4(米)，
∴GH=0.4米．
即支撑杆HG的高度为0.4米．
【解析】(1)利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA=DA=1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA=(r−0.8)米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+(r−0.8)2=r2，然后解方程即可；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE=GH，GE=AH=1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE=1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度．
本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
20.【答案】解：(1)如图，BG即为所求．
(2)∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠FCA=∠BAF，
∵BG⊥AF，
∴∠BGA=90°，
∴∠BGA=∠AFC，
∵AC=AB，
∴△ABG≌△CAF(AAS)，
∴BG=AF=5，AG=CF=8，
∴FG=AG−AF=3．
【解析】(1)根据垂线的作图方法作图即可．
(2)根据全等三角形的判定方法证明△ABG≌△CAF，即可得BG=AF=5，AG=CF=8，则FG=AG−AF=3．
本题考查作图−复杂作图、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握垂线的作图方法以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】当x>0时，y随x的增大而减小 2≤x≤6
【解析】解：(1)反比例函数y=mx(m≠0且x>0)过点A(2,3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x，性质是：当x>0时，y随x的增大而减小，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点A(2,3)和点B(6,1)，
∴2k+b=36k+b=1，
解得：k=−12b=4，
∴一次函数的解析式为：y=−12x+4；
如图所示：
(2)根据图象得，关于不等式kx+b≥mx(x>0)的解集为：2≤x≤6；
故答案为：2≤x≤6；
(3)△AOB的面积=12×4×8−12×4×2−12×8×1=8．
(1)利用待定系数法即可解答；
(2)根据图象即可求得；
(3)根据面积差可得结论．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
22.【答案】解：(1)设图书店每次降价的百分率为x，
由题意得：15(1−x)2=9.6，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意舍去)，
答：图书店每次降价的百分率为20%；
(2)国庆节的总利润为：500×(9.6−8)=800(元)，
国庆节后的进货量为：500(1+3a%)本，进货价为：8×(1+a%)售价为：15×0.8=12(元)，
由题意得：500(1+3a%)[12−8(1+a%)]=800+1200，
解得：a%=16或a%=0(不符合题意舍去)，
∴a%=16，
答：a%的值为16．
【解析】(1)设图书店每次降价的百分率为x，利用连续两次降价后的价格=15×(1−图书店每次降价的百分率)2，列出一元二次方程，解方程即可；
(2)求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)A=3512：因为2−1=1≠2，
所以3512不是“阶梯数”；
A=6846：因为8−6=2，6−4=2，
所以6846是“阶梯数”，G(M)=|6846−8466|9=180；
(2)∵C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m，
∴C的百位数字为n+2，个位数字为7，D的百位数字为6，十位数字为m−2，
∴M(C)+M(D)=10n+7+10(n+2)+5+40+m+60+m−2=20n+2m+130，
由题意得：20n+2m+130是11的倍数，且n是整数且1≤n≤7，m是整数且5≤m≤9，n
当m=6时，n=5，此时D=4646，G(D)=202，
当m=7时，n=6，此时D=4657，G(D)=213，
当m=8时，n=7，此时D=4668，G(D)=224，
∴G(D)的最大值为：224．
【解析】(1)根据新定义判断，计算；
(2)先根据新定义表示出D的值，再计算G(D)的值，最后比较出最大值．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把点A(0,−4)，B(−4,0)，C(1,0)代入y=ax2+bx+c，
则得c=−416a−4b+c=0a+b+c=0，
∴a=1b=3c=−4，
∴该抛物线的函数表达式为y=x2+3x−4．
(2)设直线AB为y=kx+b1则，
把点A(0,−4)，B(−4,0)代入y=kx+b1，
∴−4k+b1=0b1=−4，
解得k=−1b1=−4，
∴直线AB的解析式为y=−x−4．
∵PE//y轴，且PD⊥AB，
∴∠DPE=∠ABC，
∴PD=PE⋅cos∠DPE=PE⋅cos∠ABC，
∵OA=OB=4，
∴∠ABC=45°，
∴PD= 22PE，
∴PE+PD=PE+ 22PE=(1+ 22)PE，
设点P为(t,t2+3t−4)，则E为(t,−t−4)，
∴PE=−t−4−t2−3t+4)=−t2−4t，
∴PE+PD=(1+ 22)PE=−(1+ 22)(t2+4t)=−(1+ 22)(t+2)2+4+2 2，
∵a=−(1+ 22)<0，
∴当t=−2时，PE+PD有最大值4+2 2，
此时，点P的坐标为(−2,−6)．
(3)∵将抛物线y=x2+3x−4向左平移2个单位得抛物线y=(x+2)2+3(x+2)−4=x2+7x+6，
∴新抛物线对称轴是直线x=−72×1=−72，
在y=x2+7x+6中，令x=0得y=6，
∴A′(0,6)，
将P(−2,−6)向左平移2个单位得P′(−4,−6)，
设M(−72,n)，N(r,r2+7r+6)，
①当A′P′、MN为对角线时，A′P′、MN的中点重合，
∴0+(−4)2=−72+r26+(−6)2=n+r2+7r+62，
解得r=−12，
∴N(−12,114)；
②当A′M、P′N为对角线时，A′M、P′N的中点重合，
∴0+(−72)2=−4+r26+n2=−6+r2+7r+62，
解得r=12，
∴N(12,394)；
③当A′N、P′M为对角线时，A′N、P′M的中点重合，
∴0+r2=−4+(−72)26+r2+7r+62=−6+n2，
解得r=−152，
∴N(−152,394)；
综上所述，N的坐标为：(−12,114)或(12,394)或(−152,394).
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=x2+3x−4；
(2)设直线AB解析式为y=kx+b1，把A(0,−4)，B(−4,0)代入可得直线AB解析式为y=−x−4，设点P为(t,t2+3t−4)，则E为(t,−t−4)，根据PD= 22PE，可得PE+PD=PE+ 22PE=(1+ 22)PE，进而求得PE+PD=−(1+ 22)(t+2)2+4+2 2，最后利用二次函数求最值的方法，求出最大值及点P坐标；
(3)将抛物线y=x2+3x−4向左平移2个单位得抛物线y=x2+7x+6，对称轴是直线x=−72，即可得A′(0,6)，P′(−4,−6)，设M(−72,n)，N(r,r2+7r+6)，分三种情况：①当A′P′、MN为对角线时，A′P′、MN的中点重合，②当A′M、P′N为对角线时，A′M、P′N的中点重合，③当A′N、P′M为对角线时，A′N、P′M的中点重合，求得点N的三个坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键在于：(1)点坐标代入解析式，(2)PD线段的转化，(3)分类讨论思想及中点坐标公式的运用．
25.【答案】解：(1)BE=CD，BE⊥CD，理由如下：
如图1，延长BE交CD于H，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ABE+∠ADC=90°，
∴∠BHD=90°，
∴BE⊥CD，
∴BE=CD，BE⊥CD；
(2)CE=2AH，
证明：延长AH至F，使FH=AH，
∴AF=2AH，
∵点H为线段BD的中点，
∴BH=DH，
∵∠AHB=∠FHD，
∴△AHB≌△FHD(SAS)，
∴AB=FD，∠HAB=∠F，
∴AB//FD，
∴∠ADF+∠BAD=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE+∠BAD=180°，
∴∠ADF+∠CAE，
∵AB=AE，AB=FD，
∴AE=DF，
∵AD=AC，
∴△ADF≌△CAE(SAS)，
∴AF=CE，
∴CE=2AH；
(3)取AC的中点H，连接BH，GH，
∵点G为CD的中点，H为AC的中点，
∴GH=12AD=3 22，AH=12AC=12AB=5 22，
∴BH= AB2+AH2=5 102，
在△BGH中，BH−HG≤BG≤BH+HG，
∴5 102−3 22≤BG≤5 102+3 22．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE=CD，∠ABE=∠ACD，由余角的性质可得BE⊥CD；
(2)延长AH至F，使FH=AH，则AF=2AH，由“SAS”可证△AHB≌△FHD，可得AB=FD，∠HAB=∠F，则AB//FD，根据同角的补角相等得∠ADF=∠CAE，由“SAS”可证△ADF≌△CAE，可得AF=CE，即可得CE=2AH；
(3)取AC的中点H，连接BH，GH，则GH=12AD=3 22，利用勾股定理求出BH= AB2+AH2=5 102，由三角形的三边关系即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，
作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
∴BD=c⋅sinA=3sin30°=32，
即b边对应的高的长度是32；
(2)证明：∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12AB⋅BD⋅sin∠1+12BC⋅BD⋅sin∠2=12AB⋅BC⋅sin(∠1+∠2)，
∴2BD⋅sin∠1+BD⋅sin∠2=2×1⋅sin(∠1+∠2)，
∴BD=2sin(∠1+∠2)2sin∠1+sin∠2；
(3)证明：如图2，
作边长为1的等边三角形ABC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，
且AD=a，BD=b，BE=c，EC=d，CF=e，AF=f，
∵S△ADF+S△BDE+S△CEF
∴af+bc+de<1×1，
∴af+bc+de<1．
【解析】(1)作BD⊥AC，可得BD=c⋅sinA=3sin30°=32；
(2)由S△ABC=S△ABD+S△BCD得12AB⋅BD⋅sin∠1+12BC⋅BD⋅sin∠2=12AB⋅BC⋅sin(∠1+∠2)，化简求得结果；
(3)作边长为1的等边三角形ABC，其中AD=a，BD=b，BE−c，EC=d，CF=e，AF=f，由S△ADF+S△BDE+S△CEF
2022-2023学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=x3 B. y=−32x+1 C. y=−2x D. y=34x−1
3. 已知反比例函数y=kx的图象过点P(2,−3)，则该反比例函数的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
4. 已知关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，则a的值为( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
5. 用配方法解方程x2−6x=16，下列配方正确的是( )
A. (x+3)2=25 B. (x−3)2=7 C. (x−3)2=25 D. (x+3)2=7
6. 关于抛物线y=−x2+2，下列说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 有最小值 D. 当x<0时，函数y随x的增大而减小
7. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为( )
A. 100(x+1)2=331
B. 100(x+1)+100(x+1)2=331
C. 100+100(x+1)2=331
D. 100+100(x+1)+100(x+1)2=331
8. 如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，若∠ACB=60°，则∠BDC的度数为( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
9. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有3个●，第②个图中共有7个●，第③个图中共有12个●，第④个图中共有18个●，…，照此规律排列下去，则第⑩个图中●的个数为( )
A. 63 B. 69 C. 75 D. 81
10. 如图，∠ABC=∠DAC=90°，∠BAC=30°，∠ACD=45°，点E为CD的中点，以点C为圆心，CE为半径画弧线EGH，点C、B、H共线，若BC=2cm，则阴影部分的面积为( )
A. (73π)cm2
B. (43π)cm2
C. (43π+2)cm2
D. (43π−2)cm2
11. 已知关于x的分式方程nx(x−3)(x−4)=3x−3+2x−4的解为正整数，且关于y的不等式组n−y>6y+5≤3(y+5)无解，则所有符合条件的整数n的和为( )
A. −7 B. −16 C. −17 D. −18
12. 如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，下列判断正确个数为( )
①ab<0；
②b−3a=0；
③ax2+bx≥m−2；
④点(−4.5,y1)和点(1.5,y2)都在此函数图象上，则y1=y2；
⑤9a=8−4m．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 计算： 16−(−3)2+(5−π)0= ______ ．
14. 若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为______ ．
15. 有四张完全一样正面分别写有数字1，2，3，4的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之积不小于9的概率是______ ．
16. 某校七年级在元旦节举行了“速算大赛”，用签字笔、钢笔、圆规三种文具用品混装成甲、乙、丙三种奖品礼包，其中甲种奖品礼包包含10支签字笔、5支钢笔；乙种奖品礼包包含2支签字笔，6支钢笔，4个圆规；丙种奖品礼包包含4支签字笔，8个圆规.购买每个礼包的费用等于礼包内各文具用品的费用之和；已知两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元.学校采购员小李在1月1日当天，去文具店购买这三种文具用品发现，该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，若签字笔、钢笔、圆规三种文具用品的原价都是正整数，且签字笔的单价不超过10元，若小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付______ 元.
三、解答题（本大题共10小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+6x=7(因式分解法)；
(2)2x2−3x=2(配方法)．
18. (本小题8.0分)
因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动.为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了______ 名学生，a= ______ ，b= ______ ．
(2)将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数；
(3)若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率．
19. (本小题10.0分)
如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD(弧所对的弦)的长为3.2米，拱高AB(弧的中点到弦的距离)为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端(点D)0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．
20. (本小题10.0分)
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点E是AB边上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F．
(1)尺规作图：(按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母)过点B作BG⊥AF于点G．
(2)在(1)的条件下，若CF=8，AF=5，求线段FG的长．
21. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0且x>0)交于点A(2,3)和点B(6,1)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，在网格中画出一次函数的图象，并写出反比例函数y=mx(m≠0)图象的一条性质：______ ；
(2)根据图象，请直接写出关于不等式kx+b≥mx(x>0)的解集：______ ；
(3)求△AOB的面积．
22. (本小题10.0分)
某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照(1)两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．
23. (本小题10.0分)
材料1：对于一个四位自然数A，如果A满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称A为“阶梯数”.对于一个“阶梯数”A，把A的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数B，规定：G(A)=|A−B|9．
例如：A=1324，因为3−1=2，4−2=2，所以1324是“阶梯数”；将A的千位数字1放在最右边，得到B=3241,G(1324)=|1324−3241|9=213．
材料2：对于任意四位自然数N=abcd−(a,b,c,d均为整数)，规定：M(N)=ad−−bc−．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断3512、6846是不是“阶梯数”，请说明理由；如果是，请求出对应的G(A)的值；
(2)已知C、D是“阶梯数”，其中C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m(m是整数且5≤m≤9).若M(C)+M(D)能被11整除且n
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与平面直角坐标系交于点A(0,−4)，B(−4,0)，C(1,0)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P′为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A′，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P′，A′，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25. (本小题10.0分)
如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°．
(1)如图1，若AB=AC，AD=AE.点A、B、D共线时，探究BE与CD的关系，说明理由；
(2)如图2，AB=AE，AC=AD，且点A、B、D不共线时，点H为线段BD的中点，判断AH与CE的数量关系，并证明．
(3)如图3，若AB=AC，AD=AE.点A、B、D不共线时，点G为CD的中点，△ADE绕点A旋转过程中，连接BG，若AB=5 2，AD=3 2，直接写出线段BG的取值范围．
26. (本小题8.0分)
问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高.在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积
S=12absinC
=12bcsinA
=12casinB
(1)在△ABC中，∠A=30°，b=2，c=3，求b边对应的高的长度．
(2)如图2，在△ABC中，已知AB=2，BC=1，D为AC上一点，证明：BD=2sin(∠1+∠2)2sin∠1+sin∠2．
(3)正数a，b，c，d，e，f满足a+b=c+d=e+f=1，证明：af+bc+de<1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
2.【答案】D
【解析】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义回答即可．
本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)．
3.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6<0，
∴该反比例函数经过第二、四象限．
故选C．
先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．
本题考查反比例函数的性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，
∴12+3a−4=0，
即3a=3，
解得，a=1．
故选：C．
根据关于x的一元二次方程x2+3ax−4=0的一个根是1，将x=1代入方程即可求得a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
5.【答案】C
【解析】解：x2−6x=16，
配方得：x2−6x+9=16+9，
(x−3)2=25，
故选：C．
先根据完全平方公式配方得出x2−6x+9=16+9，求出(x−3)2=25即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=−x2+2中，a=−1<0，
∴开口向下，对称轴是y轴，故A错误，B正确；
∴函数有最大值，当x<0时，函数y随x的增大而增大，
故C、D错误．
故选：B．
利用二次函数的图象与性质判断．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是x，
∴该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100(x+1)万元，十二月棉签产值达100(x+1)2万元．
根据题意得：100+100(x+1)+100(x+1)2=331．
故选：D．
由该棉签生产工厂2022年十月棉签产值及月平均增长率，可得出该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100(x+1)万元，十二月棉签产值达100(x+1)2万元，结合该棉签生产工厂2022年第四季度总产值达331万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接AD，CD，BC，BD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=30°．
故选：B．
根据直径得出∠ADC=90°，求出∠ACB的度数，由圆周角定理即可推出∠BDC的度数．
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．
9.【答案】C
【解析】解：∵第①个图中共有3个●，即3=1+2=1+2×1，
第②个图中共有7个●，即7=3+4=1+2+2×2，
第③个图中共有12个●，即12=6+6=1+2+3+2×3，
第④个图中共有18个●，即18=10+8=1+2+3+4+2×4，
…，
∴第n个图中●的个数为：2×4+1+2+3+…+n=2n+n(n+1)2，
∴第⑩个图中●的个数为：2×10+10×112=75．
故选：C．
根据已知图形得出图n中点的个数为2n−(1+2+3+…+n)=2n+n(n+1)2，据此可得．
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为2n+n(n+1)2．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CG，
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2cm，
∴AC=2BC=4cm，
∵∠DAC=90°，∠ACD=45°，
∴AD=AC=4cm，
∴CD=4 2cm，
∵点E为CD的中点，
∴CE=CG=2 2cm，
∴BG= CG2−BC2=2cm，
∴∠BCG=45°，
∴∠GCE=60°，
∴阴影部分的面积为60π×(2 2)2360+12×2×2=(43π+2)cm2．
故选：C．
根据已知求出AC=2BC=4cm，CD=4 2cm，CE=CG=2 2cm，所以BG= CG2−BC2=2cm，∠BCG=45°，∠GCE=60°，所以阴影部分的面积是扇形ECG的面积与△BCG的面积的和．
本题考查扇形的面积、圆周角定理等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积．
11.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：nx=3(x−4)+2(x−3)，
整理得：(n−5)x=−18，
解得：x=185−n，
由分式方程有正整数解，得到n=−13，−4，−1，2，3，4，
当n=−1时，x=3，原分式方程无解，
所以n=−13，−4，2，3，4，
不等式组整理得：y
所以n≤1，
∴n=−13，−4，
∴−13−4=−17．
故选：C．
根据分式方程有正整数解确定出n的值，再由不等式组无解确定出满足题意n的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−32，
∴b=3a<0，
∴ab>0，故①错误；
由上述可知，b=3a，
∴b−3a=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=−32时，y取得最大值为m，
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m−2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−32=−1.5，−1.5−(−4.5)=1.5−(−1.5)，
∴y1=y2，故④正确；
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴94a−32b+2=m，
整理得：9a−6b+8=4m，
∵b=3a，
∴9a−18a+8=4m，
∴9a=8−4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故选：C．
根据抛物线的开口方向得a<0，由顶点坐标可得b=3a<0，b−3a=0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x=−32时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标(−32,m)代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题．
13.【答案】2
【解析】解： 16−(−3)2+(5−π)0
=4−3+1
=1+1
=2，
故答案为：2．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
14.【答案】y=100x
【解析】解：x万人=10000x人，100万平方米=1000000平方米．
根据题意，得y=100000010000x，即y=100x．
故答案为：y=100x．
分别将人口数量和绿地面积的单位换算为人和平方米，再写出y与x之间的函数表达式并化简即可．
本题考查一次函数的应用，正确理解题意并写出函数表达式是解答本题的关键．
15.【答案】59
【解析】解：列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中数字之积不小于9的共有4结果，
所以抽取的两张卡片上的数字积不小于9的概率是416=14，
故答案为：14．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．注意：概率=所求情况数÷总情况数．
16.【答案】250
【解析】解：设签字笔的单价为x元、钢笔的单价为y元、圆规的单价为z元，
则：2(2x+6y+4z)−(4x+8z)=24012×2x+0.7×6y+0.8×4z+12=4x+8z，
则：y=20，x=32−1.6z，
∵签字笔的单价不超过10元，x、z都是整数，
∴x=8，y=20，z=15，
∴12×0.5×8+11×0.7×20+0.8×15×4=48+154+48=250(元)，
故答案为：250．
设签字笔的单价为x元、钢笔的单价为y元、圆规的单价为z元，根据“两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元”和“1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元”，列方程组求解．
本题考查了一元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵x2+6x=7，
∴x2+6x−7=0，
∴(x−1)(x+7)=0，
∴x−1=0或x+7=0，
解得x1=1，x2=−7；
(2)2x2−3x=2，
x2−32x=1，
x2−32x+(34)2=1+(34)2，
(x−34)2=2516，
x−34=±54，
∴x−34=54或x−34=−54，
解得x1=2，x2=−12．
【解析】(1)先移项，然后因式分解即可；
(2)根据配方法可以解答此方程．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
18.【答案】60 35 6
【解析】解：(1)在这项调查中，共调查的学生为：9÷15%=60(名)，
∴a%=126°÷360°×100%=35%，
∴a=35，
∴喜欢乒乓球的学生为：60×35%=21(名)，
∴喜欢跳绳的学生为：60−3−9−21−18−3=6(名)，
∴b%=6÷60×100%=10%，
∴b=10，
故答案为：60，35，10；
(2)将条形统计图补充完整如下：
扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为：360°×10%=36°；
(3)把九年级七班喜欢足球的3名学生分别记为A、B、C，喜欢铅球的3名学生分别记为D、E、F，
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中选出的两名学生喜欢的运动项目相同的结果有12种，
∴选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率为1230=25．
(1)由喜欢篮球的学生人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由(1)的结果即可解决问题；
(3)画树状图，共有30种等可能的结果，其中选出的两名学生喜欢的运动项目相同的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在BA的延长线上，
连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA=(r−0.8)米，∵OB⊥CD，
∴CA=DA=12CD=12×3.2=1.6(米)，
在Rt△OAC中，1.62+(r−0.8)2=r2，
解得r=2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，
∵DH=0.4米，
∴AH=AD−DH=1.2米，
∵∠GEA=∠EAH=∠GHA=90°，
∴四边形AHGE为矩形，
∴AE=GH，GE=AH=1.2米，
在Rt△OEG中，OE= OG2−EG2= 22−1．22=1.6(米)，
∵OA=OB−AB=2−0.8=1.2(米)，
∴AE=OE−OA=1.6−1.2=0.4(米)，
∴GH=0.4米．
即支撑杆HG的高度为0.4米．
【解析】(1)利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA=DA=1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA=(r−0.8)米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+(r−0.8)2=r2，然后解方程即可；
(2)过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE=GH，GE=AH=1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE=1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度．
本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
20.【答案】解：(1)如图，BG即为所求．
(2)∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠FCA=∠BAF，
∵BG⊥AF，
∴∠BGA=90°，
∴∠BGA=∠AFC，
∵AC=AB，
∴△ABG≌△CAF(AAS)，
∴BG=AF=5，AG=CF=8，
∴FG=AG−AF=3．
【解析】(1)根据垂线的作图方法作图即可．
(2)根据全等三角形的判定方法证明△ABG≌△CAF，即可得BG=AF=5，AG=CF=8，则FG=AG−AF=3．
本题考查作图−复杂作图、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握垂线的作图方法以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】当x>0时，y随x的增大而减小 2≤x≤6
【解析】解：(1)反比例函数y=mx(m≠0且x>0)过点A(2,3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x，性质是：当x>0时，y随x的增大而减小，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点A(2,3)和点B(6,1)，
∴2k+b=36k+b=1，
解得：k=−12b=4，
∴一次函数的解析式为：y=−12x+4；
如图所示：
(2)根据图象得，关于不等式kx+b≥mx(x>0)的解集为：2≤x≤6；
故答案为：2≤x≤6；
(3)△AOB的面积=12×4×8−12×4×2−12×8×1=8．
(1)利用待定系数法即可解答；
(2)根据图象即可求得；
(3)根据面积差可得结论．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
22.【答案】解：(1)设图书店每次降价的百分率为x，
由题意得：15(1−x)2=9.6，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意舍去)，
答：图书店每次降价的百分率为20%；
(2)国庆节的总利润为：500×(9.6−8)=800(元)，
国庆节后的进货量为：500(1+3a%)本，进货价为：8×(1+a%)售价为：15×0.8=12(元)，
由题意得：500(1+3a%)[12−8(1+a%)]=800+1200，
解得：a%=16或a%=0(不符合题意舍去)，
∴a%=16，
答：a%的值为16．
【解析】(1)设图书店每次降价的百分率为x，利用连续两次降价后的价格=15×(1−图书店每次降价的百分率)2，列出一元二次方程，解方程即可；
(2)求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)A=3512：因为2−1=1≠2，
所以3512不是“阶梯数”；
A=6846：因为8−6=2，6−4=2，
所以6846是“阶梯数”，G(M)=|6846−8466|9=180；
(2)∵C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m，
∴C的百位数字为n+2，个位数字为7，D的百位数字为6，十位数字为m−2，
∴M(C)+M(D)=10n+7+10(n+2)+5+40+m+60+m−2=20n+2m+130，
由题意得：20n+2m+130是11的倍数，且n是整数且1≤n≤7，m是整数且5≤m≤9，n
当m=6时，n=5，此时D=4646，G(D)=202，
当m=7时，n=6，此时D=4657，G(D)=213，
当m=8时，n=7，此时D=4668，G(D)=224，
∴G(D)的最大值为：224．
【解析】(1)根据新定义判断，计算；
(2)先根据新定义表示出D的值，再计算G(D)的值，最后比较出最大值．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把点A(0,−4)，B(−4,0)，C(1,0)代入y=ax2+bx+c，
则得c=−416a−4b+c=0a+b+c=0，
∴a=1b=3c=−4，
∴该抛物线的函数表达式为y=x2+3x−4．
(2)设直线AB为y=kx+b1则，
把点A(0,−4)，B(−4,0)代入y=kx+b1，
∴−4k+b1=0b1=−4，
解得k=−1b1=−4，
∴直线AB的解析式为y=−x−4．
∵PE//y轴，且PD⊥AB，
∴∠DPE=∠ABC，
∴PD=PE⋅cos∠DPE=PE⋅cos∠ABC，
∵OA=OB=4，
∴∠ABC=45°，
∴PD= 22PE，
∴PE+PD=PE+ 22PE=(1+ 22)PE，
设点P为(t,t2+3t−4)，则E为(t,−t−4)，
∴PE=−t−4−t2−3t+4)=−t2−4t，
∴PE+PD=(1+ 22)PE=−(1+ 22)(t2+4t)=−(1+ 22)(t+2)2+4+2 2，
∵a=−(1+ 22)<0，
∴当t=−2时，PE+PD有最大值4+2 2，
此时，点P的坐标为(−2,−6)．
(3)∵将抛物线y=x2+3x−4向左平移2个单位得抛物线y=(x+2)2+3(x+2)−4=x2+7x+6，
∴新抛物线对称轴是直线x=−72×1=−72，
在y=x2+7x+6中，令x=0得y=6，
∴A′(0,6)，
将P(−2,−6)向左平移2个单位得P′(−4,−6)，
设M(−72,n)，N(r,r2+7r+6)，
①当A′P′、MN为对角线时，A′P′、MN的中点重合，
∴0+(−4)2=−72+r26+(−6)2=n+r2+7r+62，
解得r=−12，
∴N(−12,114)；
②当A′M、P′N为对角线时，A′M、P′N的中点重合，
∴0+(−72)2=−4+r26+n2=−6+r2+7r+62，
解得r=12，
∴N(12,394)；
③当A′N、P′M为对角线时，A′N、P′M的中点重合，
∴0+r2=−4+(−72)26+r2+7r+62=−6+n2，
解得r=−152，
∴N(−152,394)；
综上所述，N的坐标为：(−12,114)或(12,394)或(−152,394).
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=x2+3x−4；
(2)设直线AB解析式为y=kx+b1，把A(0,−4)，B(−4,0)代入可得直线AB解析式为y=−x−4，设点P为(t,t2+3t−4)，则E为(t,−t−4)，根据PD= 22PE，可得PE+PD=PE+ 22PE=(1+ 22)PE，进而求得PE+PD=−(1+ 22)(t+2)2+4+2 2，最后利用二次函数求最值的方法，求出最大值及点P坐标；
(3)将抛物线y=x2+3x−4向左平移2个单位得抛物线y=x2+7x+6，对称轴是直线x=−72，即可得A′(0,6)，P′(−4,−6)，设M(−72,n)，N(r,r2+7r+6)，分三种情况：①当A′P′、MN为对角线时，A′P′、MN的中点重合，②当A′M、P′N为对角线时，A′M、P′N的中点重合，③当A′N、P′M为对角线时，A′N、P′M的中点重合，求得点N的三个坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键在于：(1)点坐标代入解析式，(2)PD线段的转化，(3)分类讨论思想及中点坐标公式的运用．
25.【答案】解：(1)BE=CD，BE⊥CD，理由如下：
如图1，延长BE交CD于H，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ABE+∠ADC=90°，
∴∠BHD=90°，
∴BE⊥CD，
∴BE=CD，BE⊥CD；
(2)CE=2AH，
证明：延长AH至F，使FH=AH，
∴AF=2AH，
∵点H为线段BD的中点，
∴BH=DH，
∵∠AHB=∠FHD，
∴△AHB≌△FHD(SAS)，
∴AB=FD，∠HAB=∠F，
∴AB//FD，
∴∠ADF+∠BAD=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE+∠BAD=180°，
∴∠ADF+∠CAE，
∵AB=AE，AB=FD，
∴AE=DF，
∵AD=AC，
∴△ADF≌△CAE(SAS)，
∴AF=CE，
∴CE=2AH；
(3)取AC的中点H，连接BH，GH，
∵点G为CD的中点，H为AC的中点，
∴GH=12AD=3 22，AH=12AC=12AB=5 22，
∴BH= AB2+AH2=5 102，
在△BGH中，BH−HG≤BG≤BH+HG，
∴5 102−3 22≤BG≤5 102+3 22．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE=CD，∠ABE=∠ACD，由余角的性质可得BE⊥CD；
(2)延长AH至F，使FH=AH，则AF=2AH，由“SAS”可证△AHB≌△FHD，可得AB=FD，∠HAB=∠F，则AB//FD，根据同角的补角相等得∠ADF=∠CAE，由“SAS”可证△ADF≌△CAE，可得AF=CE，即可得CE=2AH；
(3)取AC的中点H，连接BH，GH，则GH=12AD=3 22，利用勾股定理求出BH= AB2+AH2=5 102，由三角形的三边关系即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，
作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
∴BD=c⋅sinA=3sin30°=32，
即b边对应的高的长度是32；
(2)证明：∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12AB⋅BD⋅sin∠1+12BC⋅BD⋅sin∠2=12AB⋅BC⋅sin(∠1+∠2)，
∴2BD⋅sin∠1+BD⋅sin∠2=2×1⋅sin(∠1+∠2)，
∴BD=2sin(∠1+∠2)2sin∠1+sin∠2；
(3)证明：如图2，
作边长为1的等边三角形ABC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，
且AD=a，BD=b，BE=c，EC=d，CF=e，AF=f，
∵S△ADF+S△BDE+S△CEF
∴af+bc+de<1×1，
∴af+bc+de<1．
【解析】(1)作BD⊥AC，可得BD=c⋅sinA=3sin30°=32；
(2)由S△ABC=S△ABD+S△BCD得12AB⋅BD⋅sin∠1+12BC⋅BD⋅sin∠2=12AB⋅BC⋅sin(∠1+∠2)，化简求得结果；
(3)作边长为1的等边三角形ABC，其中AD=a，BD=b，BE−c，EC=d，CF=e，AF=f，由S△ADF+S△BDE+S△CEF
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