2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件，共40页。PPT课件主要包含了答案B，答案D，种方法，题后反思，＝424，答案424等内容，欢迎下载使用。

2.三种函数模型的性质比较
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符
号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
考点一 用函数图象刻画变化过程1.如图 2-9-1，有一直角墙角，两边的长度足够长，若 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4 m 和 a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数
u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(
解析：依题意，设 AD 的长为 x m，则 CD 的长为(16－x) m，则矩形ABCD的面积为x(16－x) m2.因为要将点 P 围在矩形 ABCD内，所以 a≤x≤12.当 0＜a≤8 时，当且仅当 x＝8 时，u＝64；当8＜a＜12 时，u＝a(16－a).作出函数图象可得其形状与 B 选项接近.故选 B.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程，图 2-9-2 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.
A.消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 10 L 汽油
D.某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市用丙
解析：根据图象知消耗1 L汽油，乙车最多行驶里程大于5 km，A 错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，B 错误；甲车以80 km/h的速度行驶时燃油效率为 10 km/L，行驶 1 h，里程为 80 km，消耗 8 L 汽油，C 错误；最高限速 80 km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，D 正确.
3.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间 t 与水面高度 y 之间的关系如图 2-9-3 所示.若图中 PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是
解析：由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.又因为PQ为线段，则这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，所以只有 B 选项的容器的形状符合题意.故选 B.
【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两
(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先建立函
数模型，再结合模型选择图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案，选择出符合实际情况的答案.
构建函数模型求解实际问题
考向 1 构建二次函数、分段函数模型[例 1]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元.(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
(2)设旅行社获利 S 元，
因为 S＝900x－15 000 在区间(0，30]上单调递增，故当 x＝30时，S 取最大值 12 000.又 S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30，75]，所以当 x＝60 时，S 取得最大值 21 000.故当每团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润.
考向 2 构建指数(对数)型函数模型
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到 2023 年为止，该森林已砍伐了多少年？
[例 3]某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：万元)与营运年数 x 的关系如图 2-9-4 所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.
解析：根据题图，求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，
∴要使年平均利润最大，每辆客车营运年数为 5.答案：5
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的
最大(最小)值中的最大(最小)值.
(2)指数型函数、对数型函数模型的解题关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
【考法全练】1.(考向 2)基本再生数 R0 与世代间隔 T 是某流行病学基本参数.基本再生数 R0 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔 T 指相邻两代间传染所需的平均时间.在流行病发生的初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在流行病发生的初始阶段，
累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(
2.(考向 3)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60°(如图 2-9-5).考虑防洪堤坚固性及石块用料等
米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________米.图 2-9-5
3.(考向 1)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元.在年产量不足 8 万件
38.每件产品售价为 5 元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；
(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润
最大？最大利润是多少？
解：(1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，
综上所述，当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为 15 万元.
⊙已知函数模型求解实际问题[例 4]为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚
建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造成本与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.解：(1)当 x＝0 时，C(0)＝8，∴k＝40，
此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70.∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70万元.
【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点(1)分析所给函数模型，分清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.
1.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为________元.
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，代入得 f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)
2.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔
慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过
8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.