2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十二讲导数与函数的极值最值课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十二讲导数与函数的极值最值课件，共48页。PPT课件主要包含了答案D，故fx无极值，况如下表，题后反思，则f′x＜0，答案B，规律方法，反思感悟，④回归实际问题作答，该极值点就是最值点等内容，欢迎下载使用。

(1)函数的极小值：函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为
[注意]极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.
(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不
断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
(1)若函数 f(x)在[a，b]上是单调函数，则 f(x)一定在区间端点
(2)若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值
点一定是函数的最值点.
考点一 利用导数解决函数的极值问题考向 1 根据函数图象求极值问题[例 1](2022 年郑州市模拟)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)·f′(x)的图象如图 2-12-1 所示，则下列结
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值.
【题后反思】由图象判断函数 y＝f(x)的极值时，要抓住两点：(1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数 y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
考向 2 求已知函数的极值
[例 2]已知函数 f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当 a＞0 时，讨论 f(x)的
解：∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝ln 2a(a＞0).
故 f(x)有极大值 f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，极小值 f(1)＝a－e.
故 f(x)有极大值 f(1)＝a－e，极小值 f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2.
【题后反思】利用导数研究函数极值问题的一般流程
考向 3 已知函数极值求参数的值或范围
极大值，则 a 的取值范围是________________.
答案：(－9，0)∪(0，1)
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)某点的导数值为 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用
待定系数法求解后必须检验.
【考法全练】1.(考向 1)已知定义域为(0，＋∞)的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且函数 g(x)＝(lg3x－1)f′(x)的部分图象如图 2-12-2 所示，则下列说
A.f(x)有极小值 f(6)，极大值 f(1)B.f(x)有极小值 f(6)，极大值 f(10)C.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(3)和 f(10)
D.f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(10)
解析：观察题图可知，当 0＜x＜1 时，g(x)＞0，lg3x－1＜0，
当 1＜x＜3 时，g(x)＜0，lg3x－1＜0，则 f′(x)＞0；当 3＜x＜10 时，g(x)≥0，lg3x－1＞0，则 f′(x)≥0；当 x＞10 时，g(x)＜0，lg3x－1＞0，则 f′(x)＜0.
综上所述，函数 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，10)上单调递增，在(10，＋∞)上单调递减，所以 f(x)有极小值 f(1)，极大值 f(10).故选 D.
(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求a的值；(2)求函数 f(x)的极值.
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此 f(x)无极大值与极小值；
当 a>0 时，令 f′(x)>0，则 x>ln a，所以 f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令 f′(x)<0，则 x所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，
且极小值 f(ln a)＝ln a，但是无极大值.
综上所述，当 a≤0 时，f(x)无极大值与极小值；当 a>0 时，f(x)有极小值 ln a，但是无极大值.
[例 4]已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，请说明理由.
(2)满足题设条件的 a，b 存在.
①当 a≤0 时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以 f(x)在区间[0，1]上的最小值为 f(0)＝b＝－1，最大值为 f(1)＝2－a＋b＝1，解得 a＝0.
②当 a≥3 时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递减，所以 f(x)在区间[0，1]的最大值为 f(0)＝b＝1，最小值为 f(1)＝2－a＋b＝－1，解得 a＝4.
与 0＜a＜3 矛盾.综上所述，当且仅当 a＝0，b＝－1 或 a＝4，b＝1 时，f(x)在[0，1]上的最小值为－1，最大值为 1.
(1)求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数 f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值.
已知函数 f(x)＝ln x－ax－2(a≠0).(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若函数 f(x)有最大值 M，且 M>a－4，求实数 a 的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由 f(x)＝ln x－ax－2(a≠0)，
当 a<0 时，f′(x)>0，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
因此有－ln a－3>a－4，得 ln a＋a－1<0，设 g(a)＝ln a＋a－1，
所以 g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
又 g(1)＝0，所以 g(a)⊙利用导数研究生活中的优化问题
利用导数研究生活中的优化问题，主要是建立数学模型，利
[例 5](2021 年南通市模拟)如图 2-12-3 所示，现有一张边长为10 cm 的正三角形纸片 ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角)，然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以三角形 A1B1C1 为底面的无盖正三棱柱.(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；
(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值.
(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
①设自变量、因变量，建立函数关系式 y＝f(x)，并确定其定
②求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
③比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 处的点的函数值的大小，较
大(小)者为最大(小)值；
(2)如果函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义
【高分训练】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y
(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝
10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.